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第三章 多维随机变量及其分布八.课后习题解答及三级测试题答案 1.在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每一次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样.我们定义随机变量如下：试分别就（1），（2）两种情况，写出和的联合分布律.解 由乘法公式容易得的分布律，易知，放回抽样时 且 于是的分布律为 0 101 （）不放回抽样，则，在第一次抽出一正品后，第二次抽取前的状态：正品9个，次品2个.故 且 则的联合分布律为 0 1 0 1 2.盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以表示取到黑球的只数，以表示取到红球的只数，求和的联合分布律. 解 的可能取值为0，1，2，3，的可能取值为0，1，2，总取法为： 于是的联合分布律为 01230001020 3. 设随机变量的概率密度为 （1） 确定常数k；（2） 求；（3） 求；（4） 求；解 （1）由有故 （2） （3） （4） 4.将一硬币抛掷三次，以表示在三次中出现正面的次数，以表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出和的联合分布律以及的边缘分布律. 解 由为出现正面的次数知，出现反面的次数为， 所以，的值为0，1，2，3，得的取值为3，1，1，3且，于是而均为不可能事件，故和的联合分布律及边缘分布律为 012310030015.设二维随机变量的概率密度为求边缘概率密度. 解故 故 6.设二维随机变量的概率密度为求边缘概率密度 解 ，则当时，当时，由于，当时， 在其它情形， 于是，边缘概率密度为 7.设二维随机变量（）的概率密度为（1）试确定常数C.（2）求边缘概率密度.解 （1）由，有从而.又由有 故 （2）故 故 8. 将某一医药公司9月份和8月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为和，据以往积累的资料知和的联合分布律为 5152535455510.060.050.050.010.01520.070.050.010.010.01530.050.100.100.050.05540.050.020.010.010.03550.050.060.050.010.03 （1）求边缘分布律； （2）求8月份的订单数为51时，9月份订单的条件分布律. 解 （1）因为可知其边缘分布为515253545551525354550.180.150.350.120.200.280.280.220.090.13因为条件分布律： 易知，其条件分布律为 51525354559. 以记某医院一天出生的婴儿的个数，记其中男婴的个数，记和的联合分布律为 （1）求边缘分布律；（2）求条件分布律；（3）特别，写出当时，的条件分布律.解 （1）边缘分布律 注意到，这里 （2）条件分布律 （3） 10. 求1例1中的条件分布律： 解 因为则而由1121123123411.在第7题中，（1）求条件概率密度，特别写出当时的条件概率密度；（2）求条件概率密度，特别，分别写出当，时的条件概率密度；（3）求条件概率 解 由第9题知从而（1）（2）（3） 12. 设随机变量（）的概率密度为求条件概率密度， 解 故 即 即 13. （1）问第1题中的随机变量和是否相互独立？（2）问第12题中的随机变量和是否相互独立？ 解（1）放回抽样时，两次抽样互不影响，故彼此独立，不放回抽样，每一次抽样对第二次抽样有影响，不相互独立.（2）因为，两边缘概率密度之积为故和不相互独立.14.设和是两个相互独立的随机变量，在（0，1）上服从均匀分布，的概率密度为 （1）求和的联合概率密度；（2）设含有a的二次方程为，试求a有实根的概率解（1）依题意由于和相互独立，因此和的联合概率密度为 （2）方程有实根的充要条件为，即，从而方程有实根的概率为 15. 进行打靶，设弹着点的坐标和相互独立，且都服从分布，规定点落在区域得分；点落在得分；点落在得分.以记打靶的得分.写出，的联合概率密度，并求的分布律解 ，相互独立 于是 的分布律为0 1 2 16. 设和是互相独立的随机变量，其概率密度分别为 其中是常数，引如随机变量 （1）求条件概率密度；（2）求的分布律和分布函数.救（1）因为和相互独立，故 （2） 则 故的分布律为01 17. 设和是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为，求随机变量的概率密度.解 由卷积公式知的概率密度为 当时 当时， 当时，由于知，故 18. 某种商品一周繁荣需要量四一个随机变量，其概率密度为 设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周；（2）三周的需要量的概率密度.解 （）设两周的需求量为，则，当故（）设为三周需求量，则当时可知，其概率密度为.设随机变量的概率密度为.（） 问和是否相互独立？（） 求的概率密度.解（），同理，故和不是互相独立的.（）当且仅当即时上述积分不为零.当时， 即.设和是相互独立的随机变量，它们都服从正态分布.试验证随机变量具有概率密度。我们称服从参数为的瑞利（ayleigh）分布.证明由独立同分布有而当时，是不可能事件，从而当时， 从而故.设随机变量的概率密度为（） 试确定常数；（） 求边缘概率密度（） 求函数的分布函数。解（）bbb（）由得b（），即（）由知相互独立于是。设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从分布，随机地选取只，求其中没有一只寿命小于的概率.解随机地取只，记其寿命分别为，由题设知，它们独立同分布，且记，事件“没有一只寿命小于”就是所以.某种电子装置的输出测量了次，得到观察值.设它们相互独立的随机变量且都服从参数的瑞利分布.（）求的分布函数；（）求解由题设知相互独立，且具有相同的密度函数由此得到分布函数为（）由，得即（2） 24.设随机变量 相互独立，且服从同一分布.试证明 证 相互独立 同分布 25. 设是相互独立的随机变量，其分布律为 证明随机变量的分布律为 证明 因为和相互独立，故 所以 26.设是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为的泊松分布， 证明：服从参数为的泊松分布. 解 由24题结论可知 即 服从参数为的泊松分布.27. 设是相互独立的随机变量，.证明：服从参数为的二项分布. 证明 由24题结论可知 即 服从参数为的二项分布. 28. 设随机变量（）的分布律为 0123450 1 2300.010.010.010010.020.030.020.030.040.050.040.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05（） 求