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文档简介

线性相关性的概念线性相关性的判定小结思考题 第二节向量组的线性相关性 定义4给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使 一 线性相关性的概念 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关 注意 1 若a1 a2 am线性无关 则只有当k1 k2 km 0时 才有 对于任一向量组不是线性相关的 就是线性无关的 3 向量组只包含一个向量时 若a 0 则说a是线性相关的 若a 0 则说a是线性无关的 4 包含零向量的任何向量组是线性相关的 5 对于包含两个向量的向量组 它线性相关的充分必要条件是两向量的分量对应成比例 几何意义是两向量共线 三个向量相关的几何意义是三向量共面 向量组a1 a2 am 当m 2时 线性相关的充分必要条件是a1 a2 am中至少有一个向量可由其余m 1个向量线性表示 证明 充分性 设a1 a2 am中有一个向量 比如am 能由其余向量线性表示 即有 二 线性相关性的判定 故 因 1 2 m 1 1 这m个数不全为0 故a1 a2 am线性相关 必要性 设a1 a2 am线性相关 则有不全为0的数k1 k2 km使 因k1 k2 km中至少有一个不为0 不妨设k1 0 则有 即a1能由其余向量线性表示 证毕 线性相关性在线性方程组中的应用 结论 定理4 下面举例说明定理的应用 证明 略 可通过齐次线性方程组的解的情况得到 解 例4 解 例5 分析 证 定理5 证明 说明 说明 例7设向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a2 a3 a4线性无关 证明 证 1 因a2 a3 a4线性无关 由定理5 1 知 a2 a3线性无关 而a1 a2 a3线性相关 由定理5 4 知a1能由a2 a3线性表示 2 用反证法假设a4能由a1 a2 a3线性表示 而由 1 知 a1能由a2 a3线性表示 因此a4能由a2 a3线性表示 这与a2 a3 a4线性无关矛盾 1 a1能由a2 a3线性表示 2 a4不能由a1 a2 a3线性表示 向量 向量组与矩阵之间的联系 线性方程组的向量表示 线性组合与线性表示的概念 线性相关与线性无关的概念 线性相关性在线性方程组中的应用 重点 线性相关与
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