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第二章 众数的计算例：某班50名学生统计学考试成绩分组如下表，要求分别用下限公式和上限公式计算众数。按考试成绩分组（分） 学生人数（人） 60以下 6070 7080 8090 90以上 2 12 25 9 2 合 计 50解法一：利用下限公式计算众数v 考分在70-80分这一组出现的学生人数（频数）最多。v 70-80这一组就是众数组。于是：v L=70 f=25 f-1=12 f+1=9 i=10解法二：利用上限公式计算众数v 考分在70-80分这一组的学生人数（频数）出现次数最多。v 70-80分这一组就是众数组。于是：v S=80 f=25 f-1=12 f+1=9 i=10中位数的计算例：某班50名学生统计学考试成绩组距分组资料如下表，要求分别采用下限公式和上限公式计算中位数。按考试成绩分组（分）学生人数（人）F 累计频数 向上累计 向下累计 60以下 6070 7080 8090 90以上 2 12 25 9 2 2 14 39 48 50 50 48 36 11 2 合计（） 50 解法一：用下限公式计算中位数（Me）v 中位数位置=F/2=50/2=25 因为：向上累计频数39刚好大于中位数位置25，所以39所在组70-80分这一组就是中位数所在组。于是：L=70 Sm-1=14 fm=25 i=10解法二：用上限公式计算中位数（Me）中位数位置=F/2=50/2=25 因为：向下累计频数36刚好大于中位数位置25，所以：36所在组70-80分这一组就是中位数所在组。于是：S=80 Sm+1=11 fm=25 i=10简单均值的计算简单均值主要适用于：“未分组整理的原始数据”的计算。设：一组数据为：X1 X2 .XN 或x1 x2xn则：简单均值的计算公式为：总体均值：样本均值：例：已知10名成年人的身高资料如下（单位：厘米）：166 169 172 177 180 170 172 174 168 173求：这10名成年人的身高的均值。解：这10名成年人的身高的均值加权均值的计算单变量分组数据计算均值即：利用“一个变量”作为“一组”的分组数据，计算“均值”。总体加权均值：样本加权均值：例：某车间100名工人日产量数据分组及有关计算如下表，要求计算这100名工人的平均日产量。按日产量件数分组（件） （X）工人人数（人) (F)各组总产量（件）（XF) 20 22 24 26 15 20 40 25 300 440 960 650 合计 （）F =100XF=2350解：100名工人平均日产量为：例：某企业青年班组每月奖金分组数据及有关计算如下表，要求计算平均奖金。月奖金分组 （元）组中值 X 工人人数（人）F 各组奖金总额（元） XF 500600 600700 700800 800900 9001000 550 650 750 850 95010103040 10 5500 6500 22500 34000 9500 100 78000解：该青年班组月平均奖金为加权均值公式变形后的计算简单算术均值”是“加权算术均值”的特殊形式。即：当：权数F1=F2=FK=F 时，则：例：某车间100名工人日产量的数据及有关计算如下表，要求计算平均产量。日产量分组（件） X 各组工人人数比重（%）F/F X F/F 20 22 24 26 15 20 40 25 3.00 4.40 9.60 6.50 100 23.50解：根据表中计算可得，平均日产量如下：几何均值例：某厂有4个流水作业车间，。某月它们的产品合格率分别为：98%、97%、95%和90%，则各车间产品的平均合格率为加权几何平均数的计算v 适用条件：适用于各变量值出现次数不相同的场合。v 计算公式为：例：某市GDP1995-1996两年的的平均发展速度为108%，1997-1998两年的平均发展速度为107.9%，1999年的平均发展速度为107.8%。则该市1995-1999年5年的平均发展速度为：.几何平均数与均值的关系“几何均值”可以看作是“均值”的一种变形。可以看出：几何均值的对数是各变量值对数的算术平均数。 第四章 抽样与抽样分布样本均值的抽样分布例2：一个具有n=64个观察值的随机样本抽自于均值等于20，标准差等于16的总体。（1）给出的抽样分布（重复抽样）的均值和标准差。（2）描述的抽样分布的形状。你的回答依赖于样本容量吗？（3）计算标准正态统计量Z对应于的值。（4）计算标准正态统计量Z对应于的值。解：（1）样本均值的抽样分布的均值=样本均值的数学期望=总体均值。即：在重复抽样的情况下，样本均值的方差为总体方差的1/n。即：（2）因为属于大样本，所以根据中心极限定理可知，样本均值的抽样分布近似服从均值为20，方差为4的正态分布。我的回答是依赖于样本容量的。（3）当时，标准 正态统计量的值：（4）当时，标准正态统计量的值：第五章 参数估计总体均值区间估计区间估计例1：（正态总体-方差已知）某种零件的长度服从正态分布，现从该产品中随机抽取9件，测得其平均长度为21.4厘米。根据以往的经验，该批产品的总体标准差=0.15厘米。要求以95%的置信度估计该种零件平均长度的置信区间。例1解：依题意得：零件长度XN(,0.152)n=9, , =0.15 ， 1-=0.95， =0.05查P434的“标准正态分布表”得出“临界值”为：Z/2=Z0.05/2=Z0.025=Z1-/2=Z1-0.025=Z0.975=1.96于是：抽样平均误差：抽样极限误差：区间估计例2：（总体分布未知或非正态总体且大样本、总体方差已知）某财经大学从该校学生中随机抽取100人，调查得到他们平均每天参加体育锻炼的时间为26分钟。又知总体方差为36（分钟)2，试以95%的置信水平估计该财经大学全体学生每天平均参加体育锻炼时间的置信区间。例2解：由于总体的分布形式未知，且总体方差2=36(分钟)2已知，且样本容量n=10030为“大样本”，故可以近似地认为：总体X服从N(，2/n),依题意知道： 查表得到： ，于是：抽样平均误差： 抽样极限误差：区间估计例3：（总体分布未知或非正态总体且大样本、总体方差未知）在大兴安岭林区，随机抽取了120块面积为1公顷的样地，根据调查测量求得每公顷林地平均出材量为88（m3)，标准差为10（m3）,试在99%的置信水平下估计大兴安岭林区每公顷地平均出材量的置信区间。例3解：总体分布形式和总体方差2均未知，但由于n=12030,属于大样本，故可近似地采用正态分布处理，并用样本方差代替总体方差。依题意又知： 查标准正态分布表得：于是抽样平均误差： 抽样极限误差（允许误差）区间估计例4（正态总体、总体方差未知且小样本）设某上市公司的股票价格服从正态分布，为了掌握该上市公司股票的平均价格情况，现随机抽取了26天的交易价格进行调查，测得平均价格为35元，方差为4(元2)，试以98%的置信度估计该上市公司股票平均交易价格的置信区间。例5解：因为总体服从正态分布，但n=2630属于“大样本”，所以“样本标准差S”近似服从“正态分布”。又知：S=0.08 1-=0.95,=0.05 查表得：Z/2=Z0.025=Z1-/2=Z0.975=1.96某自动车床加工的某种零件长度X，XN( ,2)，现随机抽查16个零件，测得其方差为0.00244(mm)2，试以95%的置信度估计该种零件方差的置信区间。解：S2=0.00244 1-=0.95，=0.05，/2=0.025 查“2分布表”得：20.025(16-1)=20.025(15)=27.48821-0.025(16-1)=20.975(15)=6.262第六章 假设检验假设检验的步骤一、 提出原假设和备择假设 二、从所研究总体中抽取一个随机样本 三、选择检验统计量，并确定其分布形式 四、选择显著性水平，确定临界值 五、作出决策（或结论）总体均值假设检验例1：（正态总体、总体方差已知、双侧检验）某厂生产铜丝，其主要质量指标为折断力X，根据历史资料统计，可假定XN(570,82)。今新换材料生产，抽取的样本值为：578、572、570、568、572、570、570、572、596、584（斤），欲检验“新材料生产的铜丝的折断力X”有无明显变化。（假定方差2=82仍保持不变，=0.05）例1解：依题意 样本均值为：问题可归结为正态总体均值的假设检验问题： 原假设 H0: = 570 备择假设H1：570由于铜丝折断力X服从正态分布且总体方差2=82已知，故可以采用“Z检验法”。 总体均值假设检验例2：（正态总体、总体方差已知、左侧检验）完成生产线上某件工作所需的平均时间不少于15.5分钟，标准差为3分钟，对随机抽选的9名职工讲授一种新方法，训练期结束后这9名职工完成此项工作所需的平均时间为13.5分钟，这个结果是否提供了充分证据，说明用新方法所需的时间短？设=0.05，并假定完成这件工作的时间服从正态分布。例2解：要检验的假设为：原假设H0：15.5 备择假设H1:15.5 由于总体服从正态分布且总体方差已知，故采用“Z检验法”。依题意已知： 检验统计量Z的计算为：显著性水平=0.05时，临界值Z=Z0.05=1.645因为：Z=-218.3由于总体服从正态分布且总体方差已知，故可用“Z检验法”。总体均值假设检验例4：（正态总体、总体方差未知且小样本、双侧检验）某车床加工一种零件，要求长度为150mm，现从一批加工后的这种零件中随机抽取9个，测得其长度（单位：mm)为：147 150 149 154 152 153 148 151 155，如果零件长度服从正态分布，问这批零件是否合格？（=0.05）例4解：根据题中数据计算得到：样本均值，样本方差 ,样本标准差s=2.739，n=930,属于小样本，故在总体方差未知的情况下，采用“t检验法”，所要检验的假设为：H0：=150 H1：150当=0.05时，查“t分布表”得出临界值为：因为： 所以：应不拒绝原假设H0而拒绝H1，可以认为该批零件是合格的。 总体均值假设检验例5：（正态总体、总体方差未知且小样本、右侧检验）某公司年度报表指出其应收账款的平均计算误差不超过50元，审计师从该公司年度应收账款账户中随机抽取17笔进行调查，测得应收账款的平均计算误差为56元，标准差为8元。假定应收账款的平均计算误差服从正态分布。问：当检验水平=0.01时，该公司应收账款的平均计算误差是否超过50元？例5解：依题意： ，总体服从正态分布，总体方差未知，且n=1750 检验统计量t：当=0.01时，查“t分布表”得出临界值为：因为：所以：应拒绝H0而接受H1，可以认为该公司应收账款的平均计算误差超过50元。总体均值假设检验例6：（正态总体、总体方差未知且小样本、左侧检验）某番茄罐头中，维生素C的含量X服从正态分布，按规定标准，维生素C的含量不得少于21mg。现从一批罐头中随机抽取17罐，测得样本均值，样本标准差S=3.98，试问该批罐头中维生素C的含量是否合乎标准？（=0.05）例6解：此题属于正态总体、总体方差未知且小样本（n=1730),故采用t检验法。所要检验的假设为： H0:21 H1: 5，属于大样本，故采用Z检验法。检验统计量为：对于给定的显著性水平=0.05，查“标准正态分布表”得出临界值因为： 或所以：应拒绝H0而接受H1，由此可以判定：业务科长的说法不可信，即参加保险的户数不足80%。总体比率假设检验例2：某生产商向供应商购一批西红柿，双方规定若优质西红柿的比例在40%以上按一般市场价格收购，否则按低于市场价格收购。现随机抽取了100个西红柿，只有34个为优质品。于是，生产商欲按低于市场价格收购，而供应商则认为样本比例不足40%是由随机因素引起的。请用=0.05进行检验并加以说明。例2解：依题意，可建立如下假设H0:P0.4 H1:P5，属于大样本，故采用“Z检验法”。检验统计量为：当=0.05时，查“正态分布表”得出左侧检验临界值：因为：所以：接受原假设H0而拒绝备择假设H1，即：根据样本数据还不能认为优质西红柿的比例显著地低于40%，故而生产商仍应按一般市场价格收购。第七章 方差分析单因素方差分析的步骤一、提出假设 二、构造检验统计量F 三、对于给定的显著性水平，查F分布表得出F临界值 四、列出方差分析表 五、作出接受或拒绝原假设的决策单因素方差分析举例欲考察包装颜色对产品销量的影响。现将不同包装颜色的同种产品放到四家销售条件基本相同的商店销售，进行对比试验，其结果及水平均值和总均值的计算如下表：试分析包装颜色对产品销量有无显著影响？（）例解：提出假设 原假设 备择假设计算水平均值和总均值 计算离差平方和：SST的计算SSE的计算注意：用每一列中的每一个数据，与其列均值离差平方，然后求和！SSA的计算是各列的数据个数分别乘以各自列均值与总均值的离差平方，然后求和自由度的确定 注意n-1=(r-1)+(n-r)=2+9=11 若不等，说明计算有误！计算平均平方：组间方差和组内方差注意：与前面的方差计算的基本思想是完全一致的！计算F统计量的值列出方差分析表方差来源离差平方和SS自由度 df平均平方 MS F值组间差异组内差异总差异SSA=72SSE=102SST=174r-1=2n-r=9n-1=11MSA=36MSE=11.33 F=3.18 作出决策第八章 相关与回归分析相关系数例：随机抽取某班10同学的身高和体重资料如下表，要求计算相关系数。学 生 身高 x体重 yx2 y2 xyABCDEFGHIJ1581601621641661681701721741764750485562605261706524964256002624426896275562822428900295843027630976220925002304302538443600272137214900422574268000777690201029210080884010492121801144016705702792203303295546解：10名同学身高和体重的相关系数为：计算结果表明：这10名同学的身高和体重之间呈高度的线性正相关关系。相关系数的显著性检验例：以前面10名同学身高和体重的相关系数检验为例（=0.05） 例：假设对15户居民家庭的人均月收入和人均月食品消费支出进行调查，试就表中资料计算简单样本线性相关系数，并进行检验。例解（1）计算样本相关系数（2）样本相关系数显著性检验 提出假设： H0:=0 ,H1:0对于给定的显著性水平=0.05，查t分布表，得出临界值t(a/2)=t(0.025)(15-2)=2.1604 |t|=19.5768 拒绝原假设H0，表明样本线性相关系数在统计上是显著的。回归系数的估计例：仍以前面10名同学身高和体重的有关资料，拟合样本线性回归方程。 可决系数例：仍以前面10名同学的身高和体重资料为例计算样本可决系数（r2）回归系数显著性检验例1：仍以前面10名同学的身高和体重资料为例，进行回归系数的显著性检验例2：仍以前面10名同学的身高和体重资料为例，进行回归系数的显著性检验线性关系检验步骤1.提出假设 H0：b1=b2=bp =0 线性关系不显著 H1：b1，b2，bp至少有一个不等于02. 计算检验统计量F3. 确定显著性水平a和分子自由度p、分母自由度n-p-1找出临界值F a4. 作出决策：若FF a，拒绝H0回归系数的检验1.提出假设 H0： bi = 0 (自变量 xi 与 因变量 y 没有线性关系) H1： bi 0 (自变量 xi 与 因变量 y有线性关系) 2.计算检验的统计量 t 3.确定显著性水平a，并进行决策 tt2/a，拒绝H0； tt2/a，不能拒绝H0第九章 时间序列分析线性趋势方程的最小二乘估计例：拟合某公司1991-2000年销售额的趋势方程有关计算如下表，请拟合趋势方程并预测2005年的销售额。年 份 时间t 销售额 yt ytt t2199119921993199419951996199719981999200012345678910104010070401301001301901601080300280200780700104017101600149162536496481100 559706700385解：有关趋势方程拟合过程及预测如下：线性趋势方程拟合的简捷方法 例：仍以前例为例 年 份 时间t 销售额 yt ytt t21991199219931994199519961997199819992000-9-7-5-3-11357910401007040130100130190160-90-280-500-210-40130300650133014408149259119254981 09702730330解：简捷法拟合线性趋势方程及预测2005年的销售额。 则线性趋势方程为： 与前一种方法的预测结果254.23大体相同第十章 统计指数例：三种商品的销售量和价格资料及有关计算如下表商 品计 量单 位价 格销 售 量销售额（万元）基期p。报告期p1基 期q。 报 告 期 q1p。q。 p。q1p1q。p1q1甲乙丙件支个2.000.400.154.000.600.15120800100000100100012000024032015000200400180004804801500040060018000-15560186001596019000要求计算：（1）拉氏销售量综合指数；（2）拉氏价格综合指数；（3）帕氏销售量综合指数；（4）帕氏价格综合指数。解：（1）计算三种商品的拉氏销售量综合指数：计算结果表明：三种商品的销售量报告期与基期相比总的增长（上升）或者平均增长（上升）了19.54%，在价格不变的情况下，使得销售额增加的绝对额 =p。q1-p。q。=18600-15560=3040元。（2）计算三种商品的拉氏价格综合指数：计算结果表明：三种商品的价格报告期与基期相比总的增长（上升）或平均增长（上升）了2.57%，在商品销售量不变的情况下，使得销售额增加的绝对额 = p1q。-p。q。=15960-15560=400元。（3）计算三种商品的帕氏销售量综合指数计算结果表明：三种商品的销售量报告期与基期相比总的增长（上升）或者平均增长（上升）了19.05%，在价格不变的情况下，使得销售额增加的绝对额=p1q1-p1q。=19000-15960=3040元。（4）计算三种商品的帕氏价格综合指数计算结果表明：三种商品的价格报告期与基期相比总的增长（上升）或平均增长（上升）了2.15%，在商品销售量不变的情况下，使得销售额增加的绝对额= p1q1-p0q1=15960-15560=400元。v 拉氏指数采用了基期加权v 帕氏指数则采用了报告期加权例1：某公司三种商品的有关资料及其计算表如下：商品名称计量单位 销售量（q) 价格（元）p 销 售 额 (万元）基期 q0报告期 q1 基期 p0报告期 p1基 期 q0p0报告期 q1p1假 定 q1p0甲乙丙件米台10