数学人教版八年级上册13.4-课题学习-最短路径问题.4-课题学习-最短路径问题)

人教2011版 数学八年级上册第十三单元13.4 课题学习 最短路径问题第1课时执教教师：武夷山二中 张彩华 联系电话导教师：武夷山二中 李昌旸 联系电话、教学内容利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）二、设计理念新的教学理念倡导课程教学内容既要体现义务教育的基础性、普及性和发展性；又要体现数学的工具性、语言性、创造性和文化性。基于此本课的教学设计中，我按照新课标的要求和理念，创设不同情境，引起学生的兴趣，引导学生用已学的数学知识，去解决未知的问题。让学生能将实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟数学建模、转化思想同时能通过逻辑推理证明所求距离最短，加强几何图形的逻辑推理能力。让学生真正感到他们是数学学习的主人，教师只是数学学习的组织者、引导者与合作者”。三、教学目标知识与技能：能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用.过程与方法：在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化思想.情感与价值观：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性.四、学情分析最短路径问题本质上就是最值问题,作为初中学生,在此前很少涉及最值问题,解决这方面问题的数学经验尚不足,特别是面对具有实际问题背景的最值问题,更会感到陌生。基于此，本课我注重创设有趣的生活实际问题，让学生先有情感上的认同感，想学、愿学。同时通过层层递进问题解决，让学生充分的感受到数学来源于生活，又服务于生活，使其感受到数学学习的快乐,避免死做题,读死书,以达到提高学习能力的目的。五、重难点和关键重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题,如何说明“最短”.关键：培养学生抽象能力和数学建模思想及转化思想。六、教学课时1课时七、教学准备多媒体，课件，几何画板，直尺，圆规八、教学过程（一）整体构思在教学实践中，本人深深体会到，注重了情感培养的教学活动对学生学习兴趣的培养，课堂教学效果提高，全面发展学生素质都可以起到意想不到的作用。因此本课我以知识为载体，情感为主线，能力培养为目标，遵循因材施教，循序渐进原则，借助多媒体教学手段，创设民主、和谐、愉悦、充满求知激情的课堂气氛，从而在探索“最短路径问题”中达成“教”与“学”的统一。（二）教学流程图创设情境导入课题情境探究构建转化典例示范实践应用深入思考发展思维归纳梳理总结提升布置作业巩固提高（三）教学实施1、创设情境、导入课题抢位子的游戏北边条桌上放的是苹果，东边条桌上放的是香蕉，甲、乙两个队员从A点出发，既要拿到一个苹果，又要拿到一串香蕉，然后坐到B处的椅子上。看谁先抢着位子，谁就赢。(注：甲、乙队员速度相同）游戏开始只见甲队员径直跑向东北角两张条桌的交点处，左手拿着苹果，右手拿着香蕉，回头又直奔B处。可是，还未跑到B处，只见乙队员已经手捧香蕉、苹果，泰然坐在B处的椅子上了。(注：如果乙队员不比甲队员跑得快） 乙队员走路线？师生活动：教师展示游戏，学生思考乙队员走什么路线？最终获胜。在学生疑难时引入课题。【设计意图】创设情境，设疑，激发学生数学课堂学习兴趣2、情境探究，构建转化问题1有一天，一位将军要从山峰A处出发，到河边饮马，然后到B地，请问到河边什么地方饮马可使他所走的路程最短？师生活动：学生回答，连接AB，线段AB与l的交点即为最佳饮马点【设计意图】让学生感受“两点之间，线段最短”，为把“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫问题2相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识:（1）将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线；（2）在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的概念，同时提高学生的抽象能力。问题3 如图，点A，B 在直线l 的同侧，在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小？师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.如果学生有困难，教师可作如下提示：（1）如果点B在点A的异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小（2）现在点B与点A在同侧，能否将点B移到l 的另一侧点处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持 ?（3）你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点 吗？师生共同完成作图，如下图.作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C则点C 即为所求【设计意图】教师一步一步引导学生，如何将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路，渗透转化思想.问题4 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？师生活动：通过几何画板验证最短，然后从如何证明某位同学身高是最高的引发学生思考证明线段最短，突出C选择的任意性。学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线l 上任取一点 （与点C 不重合），连接AC，BC， 由轴对称的性质知，即AC +BC 最短追问1：证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点 （与点C但不重合）？师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小【设计意图】让学生体会作法的正确性，提高逻辑思维能力追问2：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？师生活动：学生回答，相互补充.【设计意图】学生在反思中，体会轴对称的桥梁作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验3、典例示范，实践应用如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径师生活动：学生分析问题，独立完成画图，教师适时点拔【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法。4、深入思考，发展思维再现抢位子游戏，让学生思考乙队员到底走什么路线？最终获胜。能否用前面“轴对称知识求最短路径”来解决本游戏问题呢？师：同学们乙队员走路径知道了，你们有没有想一下为什么他比甲队员路径更短呢？师：甲队员的路径为什么大于乙队员的路径呢?ABABCDM师生活动：教师分析问题，学生参与思考，小组合作交流完成画图，教师适时点拔【设计意图】让学生深化解决最短路径问题的基本策略和基本方法。让学生再次经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“三角形两边之和大于第三边”5、归纳梳理，总结提升教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.（1）我们本节课解决了什么问题？主要用到了什么数学知识？（2）我们运用了什么数学思想呢？师生活动：教师引导，学生小结.【设计意图】引导学生把握研究问题的基本策略和方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.6、布置作业，巩固提高教科书复习题13第15题补充作业：一、精心选一选1在平面直角坐标系中有两点，要在轴上找一点，使它到的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是（）A BC D 考查目的：本题主要考查利用轴对称解决简单的路径问题，体现了转化的思想答案：D解析：利用轴对称的性质，把y轴同侧的两点转化为y轴异侧的两点，根据“两点之间，线段最短”，找到点C的位置，故选D2如图，在等边ABC中，边BC的高AD=4，点P是高AD上的一个动点，E是边AC的中点，在点P运动的过程中，存在PE+PC的最小值，则这个最小值是（）A4B5C6D8考查目的：本题主要考查等边三角形的性质及利用轴对称解决最短的线段和问题答案：A解析：根据等边三角形的性质可知点B是点C关于AD的对称点，PE+PC的最小值就是BE的长，即等边ABC的高，故选A3如图，正方形ABCD的边长为8，BCE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A4B6C8D10考查目的：本题主要考查利用轴对称解决简单的路径问题，体现了转化的思想答案：C解析：由题意知，点B是点D关于AC的对称点，因此，PD+PE的和可以转化为PB+PE的和因为PB+PE的和的最小值BE，即为8，故选C二、拓展提升1、如图，公园内有两条小河，两河形成的半岛上有一处古迹P，现计划在两条小河上各