材料力学 孙训方 习题答案

精品文档 1欢迎下载 习题习题 2 2 2 2 一打入基地内的木桩如图所示 杆轴单位长度的摩擦力 f kx 2 试做木桩的后 力图 解 由题意可得 33 0 233 11 0 3 3 l l N fdxFklF kF l FxFxl dxF xl 1 有 3 习题习题 2 3 2 3 石砌桥墩的墩身高 其横截面面尺寸如图所示 荷载 ml10 kNF1000 材料的密度 试求墩身底部横截面上的压应力 3 35 2 mkg 解 墩身底面的轴力为 2 3 图gAlFGFN 942 31048 935 2 10 114 3 23 1000 2 kN 墩身底面积 14 9 114 3 23 22 mA 因为墩为轴向压缩构件 所以其底面上的正应力均匀分布 MPakPa m kN A N 34 0 71 339 14 9 942 3104 2 习题习题 2 7 2 7 图示圆锥形杆受轴向拉力作用 试求杆的伸长 精品文档 2欢迎下载 2 7 图 解 取长度为截离体 微元体 则微元体的伸长量为 dx xEA Fdx ld ll xA dx E F dx xEA F l 00 l x rr rr 12 1 22 112 1 12 d x l dd rx l rr r 2 2 112 22 u d x l dd xA dx l dd du d x l dd d 2 22 12112 du dd l dx 12 2 2 2 2 21 2 12 u du dd l du u dd l xA dx 因此 2 2 0 21 00 u du ddE Fl xA dx E F dx xEA F l lll l l d x l dd ddE Fl uddE Fl 0 112 21021 22 1 21 2 2 1 22 1 2 1112 21 dd l l dd ddE Fl 1221 22 2 ddddE Fl 21 4 dEd Fl 习题习题 2 10 2 10 受轴向拉力 F 作用的箱形薄壁杆如图所示 已知该材料的弹性常数为 E 试求 C 与 D 两点间的距离改变量 CD 精品文档 3欢迎下载 解 EA F E AF 式中 故 aaaA4 22 Ea F 4 Ea F a a 4 E F aaa 4 E F aa 4 aaaCD 12 145 2 4 3 2 3 2 12 145 2 4 3 2 3 2 aaaDC E F E F aaCDDCCD 4 003 1 412 145 12 145 习题习题 2 11 2 11 图示结构中 AB 为水平放置的刚性杆 杆 1 2 3 材料相同 其弹性模量 已知 试求GPaE210 ml1 2 21 100mmAA 2 3 150mmA kNF20 C 点的水平位移和铅垂位移 2 11 图 解 1 求各杆的轴力 以 AB 杆为研究对象 其受力图如图所示 因为 AB 平衡 所以 0 X 045cos 3 o N0 3 N 受力图 变形协调图 精品文档 4欢迎下载 由对称性可知 0 CH 10205 05 0 21 kNFNN 2 求 C 点的水平位移与铅垂位移 A 点的铅垂位移 mm mmmmN mmN EA lN l476 0 100 210000 100010000 22 1 1 1 B 点的铅垂位移 mm mmmmN mmN EA lN l476 0 100 210000 100010000 22 2 2 2 1 2 3 杆的变形协 谐 调的情况如图所示 由 1 2 3 杆的变形协 谐 调条 件 并且考虑到 AB 为刚性杆 可以得到 C 点的水平位移 476 0 45tan 1 mml o BHAHCH C 点的铅垂位移 476 0 1 mml C 习题习题 2 12 2 12 图示实心圆杆 AB 和 AC 在 A 点以铰相连接 在 A 点作用有铅垂向下的力 已知杆 AB 和 AC 的直径分别为和 钢的弹性模量kNF35 mmd12 1 mmd15 2 试求 A 点在铅垂方向的位移 GPaE210 解 1 求 AB AC 杆的轴力 以节点 A 为研究对象 其受力图如图所示 由平衡条件得出 0 X 045sin30sin o AB o AC NN a ABAC NN2 0 Y 03545cos30cos o AB o AC NN b 7023 ABAC NN a b 联立解得 kNNNAB117 18 1 kNNNAC621 25 2 2 由变形能原理求 A 点的铅垂方向的位移 2 2 2 2 1 1 2 1 222 1 EA lN EA lN F A 1 2 2 2 2 1 1 2 1 EA lN EA lN F A 精品文档 5欢迎下载 式中 141445sin 1000 1 mml o 160030sin 800 2 mml o 22 1 1131214 325 0mmA 22 2 1771514 3 25 0 mmA 故 366 1 177210000 160025621 113210000 141418117 35000 1 22 mm A 习题习题 2 13 2 13 图示 A 和 B 两点之间原有水平方向的一根直径的钢丝 在钢丝的中mmd1 点 C 加一竖向荷载 F 已知钢丝产生的线应变为 其材料的弹性模量0035 0 GPaE210 钢丝的自重不计 试求 1 钢丝横截面上的应力 假设钢丝经过冷拉 在断裂前可认为符合胡克定律 2 钢丝在 C 点下降的距离 3 荷载 F 的值 解 1 求钢丝横截面上的应力 7350035 0 210000MPaE 2 求钢丝在 C 点下降的距离 其中 AC 和 BC 各 7 210000 2000 735mm E l EA Nl l mm5 3 996512207 0 5 1003 1000 cos o 7867339 4 5 1003 1000 arccos 7 837867339 4 tan1000mm o 3 求荷载 F 的值 以 C 结点为研究对象 由其平稀衡条件可得 0 Y 0sin2 PaN sin2sin2AaNP 239 96787 4 sin114 3 25 0 7352 02 N 习题习题 2 15 2 15 水平刚性杆 AB 由三根 BC BD 和 ED 支撑 如图 在杆的 A 端承受铅垂荷载 F 20KN 三根钢杆的横截面积分别为 A1 12 平方毫米 A2 6 平方毫米 A 3 9 平方毫米 杆 的弹性模量 E 210Gpa 求 1 端点 A 的水平和铅垂位移 2 应用功能原理求端点 A 的铅垂位移 解 1 精品文档 6欢迎下载 3 0 3 233 11 0 3 123 1 111 7 1 1 96 1 2 2 2 3 3 cos450 sin450 0 450 150 60 401 0 60 100 15 3 87 210 1012 10 40 1 l l N N NN N N N fdxFklF kF l FxFxl dxF xl F FFFF FF FKN FKN FKN F l l EA F l l EA 1 有 3 由胡克定理 7 96 x2 y21 00 15 4 76 210 1012 10 4 76 2320 23 Al All 从而得 2 y1122 y 0 20 33 VFAFlFl A 习题习题 2 17 2 17 简单桁架及其受力如图所示 水平杆 BC 的长度 保持不变 斜杆 AB 的长度可l 随夹角的变化而改变 两杆由同一种材料制造 且材料的许用拉应力和许用压应力相等 要求两杆内的应力同时达到许用应力 且结构的总重量为最小时 试求 1 两杆的夹角 2 两杆横截面面积的比值 解 1 求轴力 取节点 B 为研究对象 由其平衡条件得 0Y 0sin FNAB sin F NAB 0X 0cos BCAB NN 2 17 cotcos sin cosF F NN ABBC 精品文档 7欢迎下载 2 求工作应力 sin ABAB AB AB A F A N BCBC BC BC A F A N cot 3 求杆系的总重量 是重力密度 简称重度 单位 BCBCABAB lAlAVW 3 mkN cos lA l A BCAB cos 1 BCAB AAl 4 代入题设条件求两杆的夹角 条件 sin ABAB AB AB A F A N sin F AAB cot BCBC BC BC A F A N cot F ABC 条件 的总重量为最小 W cos 1 BCAB AAlW cos 1 BCAB AAl cot cos 1 sin FF l sin cos cossin 1 Fl cossin cos1 2 Fl 2sin cos12 2 Fl 从的表达式可知 是角的一元函数 当的一阶导数等于零时 取得WW WW 最小值 0 2sin 22cos cos1 2sinsincos22 2 2 Fl d dW 022cos 2 2cos3 2sin 2 02cos2cos32sin 22 12cos3 3333 02cos o 47 109 3333 0 arccos 2 445474 54 oo 5 求两杆横截面面积的比值 精品文档 8欢迎下载 sin F AAB cot F ABC cos 1 cotsin 1 cot sin F F A A BC AB 因为 12cos3 3 1 1cos2 2 3 1 cos2 3 1 cos 3 cos 1 所以 3 BC AB A A 习题习题 2 18 2 18 一桁架如图所示 各杆都由 两个等边角钢组成 已知材料的许用应力 试选择 AC 和 CD 的角钢MPa170 型号 解 1 求支座反力 由对称性可知 220 kNRR BA 2 求 AC 杆和 CD 杆的轴力 以 A 节点为研究对象 由其平 衡条件得 2 180 Y 0cos ACA NR 667 366 5 3 220 sin kN R N A AC 以 C 节点为研究对象 由其平衡条件得 0 X 0cos ACCD NN 333 2935 4 5 3 220 coskNNN ACCD 精品文档 9欢迎下载 3 由强度条件确定 AC CD 杆的角钢型号 AC 杆 22 2 569 2186 2156 170 366667 cmmm mmN NN A AC AC 选用 2 面积 780 2 72 2186 102cm CD 杆 22 2 255 17488 1725 170 293333 cmmm mmN NN A CD CD 选用 2 面积 675 2 594 17797 8 2cm 习题习题 2 19 2 19 一结构受力如图所示 杆件 AB CD EF GH 都由两根不等边角钢组成 已知 材料的许用应力 材料的弹性模量MPa170 杆 AC 及 EG 可视为刚性的 试选择GPaE210 各杆的角钢型号 并分别求点 D C A 处的铅垂位 移 D C A 解 1 求各杆的轴力 240300 4 2 3 kNNAB 60300 4 8 0 kNNCD 0 F M 2 1902 1605 13003 GH N 174 72450 3 1 kNNGH 0 Y 030060174 EF N 186 kNNEF 2 由强度条件确定 AC CD 杆的角钢型号 AB 杆 22 2 12 14765 1411 170 240000 cmmm mmN NN A AB AB 精品文档 10欢迎下载 选用 2 面积 55690 2 424 14212 7 2cm CD 杆 22 2 529 3 941 352 170 60000 cmmm mmN NN A CD CD 选用 2 面积 32540 2 78 3 89 1 2cm EF 杆 22 2 412 10118 1094 170 186000 cmmm mmN NN A EF EF 选用 2 面积 54570 2 218 11609 5 2cm GH 杆 22 2 353 10529 1023 170 174000 cmmm mmN NN A GH GH 选用 2 面积 54570 2 218 11609 5 2cm 3 求点 D C A 处的铅垂位移 D C A 7 2694 2 4 1442210000 3400240000 mm EA lN l AB ABAB AB 907 0 378210000 120060000 mm EA lN l CD CDCD CD 580 1 8 1121210000 2000186000 mm EA lN l EF EFEF EF 477 1 8 1121210000 2000174000 mm EA lN l GH GHGH GH EG 杆的变形协调图如图所示 3 8 1 GHEF GHD ll l 3 8 1 477 1 580 1 477 1 D 54 1mm D 45 2 907 0 54 1 mmlCD DC 精品文档 11欢迎下载 7 2mmlAB A 习题习题 2 21 2 21 1 刚性梁 AB 用两根钢杆 AC BD 悬挂着 其受力如图所示 已知钢杆 AC 和 BD 的直径分别为和 钢的许用应力 弹性模量mmd25 1 mmd18 2 MPa170 试校核钢杆的强度 并计算钢杆的变形 及 A B 两点的竖向位GPaE210 AC l BD l 移 A B 解 1 校核钢杆的强度 求轴力 667 66100 5 4 3 kNNAC 333 33100 5 4 5 1 kNNBC 计算工作应力 22 2514 3 25 0 66667 mm N A N AC AC AC MPa882 135 2 21 22 1814 3 25 0 33333 mm N A N BD BD BD MPa057 131 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力 170MPa 即 AC 所以 AC 及 BD 杆的强度足够 不会发生破坏 BD 2 计算 AC l BD l 618 1 625 490210000 250066667 mm EA lN l AC ACAC AC 560 1 34 254210000 250033333 mm EA lN l BD BDBD BD 3 计算 A B 两点的竖向位移 A B 618 1 mmlAC A 560 1 mmlBD B 精品文档 12欢迎下载 习题习题 3 2 3 2 实心圆轴的直径 长 其两端所受外力偶矩mmd100 ml1 材料的切变模量 试求 mkNMe 14GPaG80 1 最大切应力及两端面间的相对转角 2 图示截面上 A B C 三点处切应力的数值及方向 3 C 点处的切应变 解 1 计算最大切应力及两端面间的相对转角 p e p W M W T max 式中 3 2 19634910014159 3 16 1 16 1 333 mmdWp 故 MPa mm mmN W M p e 302 71 196349 1014 3 6 max 式中 p GI lT 981746910014159 3 32 1 32 1 444 mmdIp 故 o p rad mmN mmN GI lT 02 1 0178254 0 109817469 1080 114000 41229 2 求图示截面上 A B C 三点处切应力的数值及方向 由横截面上切应力分布规律可知 MPa BA 302 71 max A B C 三点的切应力方向如图所示 MPa BC 66 35302 715 0 2 1 3 计算 C 点处的切应变 34 3 10446 0 104575 4 1080 66 35 MPa MPa G C C 习题习题 3 3 3 3 空心钢轴的外径 内径 已知间距为的两横mmD100 mmd50 ml7 2 截面的相对扭转角 材料的切变模量 试求 o 8 1 GPaG80 1 轴内的最大切应力 2 当轴以的速度旋转时 轴所传递的功率 min 80rn 解 1 计算轴内的最大切应力 9203877 5 01 10014159 3 32 1 1 32 1 44444 mmDIp 精品文档 13欢迎下载 184078 5 01 10014159 3 16 1 1 16 1 34343 mmDWp 式中 Dd p GI lT mm mmmmN l GI T p 2700 9203877 80000180 14159 3 8 1 42 mmN 45 8563014 563 8 mkN MPa mm mmN W T p 518 46 184078 45 8563014 3 max 2 当轴以的速度旋转时 轴所传递的功率min 80rn 563 8 80 549 9 549 9 mkN N n N MT kk e 74 71549 9 80563 8 kWNk 习题习题 3 5 3 5 图示绞车由两人同时操作 若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力 F 均为 0 2kN 已知轴材料的许用切应力 MPa40 试求 1 AB 轴的直径 2 绞车所能吊起的最大重量 解 1 计算 AB 轴的直径 AB 轴上带一个主动轮 两个手柄所施加的外力偶 矩相等 08 0 4 02 0mkNMM ee 右左 16 0 2mkNMM ee 右主动轮 扭矩图如图所示 3 5 由 AB 轴的强度条件得 16 3 max d M W M e p e右右 mm mmN mmNM d e 7 21 4014159 3 8000016 16 3 2 3 右 精品文档 14欢迎下载 2 计算绞车所能吊起的最大重量 主动轮与从动轮之间的啮合力相等 35 0 2 0 从动轮主动轮ee MM 28 0 16 0 20 0 35 0 mkNMe 从动轮 由卷扬机转筒的平衡条件得 从动轮e MP 25 0 28 0 25 0 P 12 1 25 0 28 0 kNP 习题习题 3 6 3 6 已知钻探机钻杆 参看题 3 2 图 的外径 内径 功率mmD60 mmd50 转速 钻杆入土深度 钻杆材料的kWP355 7 min 180rn ml40 许用切应力 假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的 GMPaG80 MPa40 试求 1 单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度 m 2 作钻杆的扭矩图 并进行强度校核 3 两端截面的相对扭转角 解 1 求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m 390 0 180 355 7 549 9 549 9mkN n N M k e 设钻杆轴为轴 则 x0 x M e Mml 00975 0 40 390 0 mkN l M m e 2 作钻杆的扭矩图 并进行强度校核 作钻杆扭矩图 xxmxxT00975 0 40 39 0 40 0 x 0 0 T 390 0 40 mkNMT e 扭矩图如图所示 强度校核 p e W M max 式中 21958 60 50 1 6014159 3 16 1 1 16 1 34343 mmDWp MPa mm mmN W M p e 761 17 21958 390000 3 max 因为 即 所以轴的强度足够 MPa761 17 max MPa40 max 精品文档 15欢迎下载 不会发生破坏 3 计算两端截面的相对扭转角 40 0 p GI dxxT 式中 658752 60 50 1 6014159 3 32 1 1 32 1 44444 mmDIp 40 0 2 40 0 41226 40 0 2 10658752 1080 00975 0 00975 0 1 x mmkN xdx GIGI dxxT pp 0 5 8 148 0 rad 习题习题 3 8 3 8 直径的等直圆杆 在自由端截面上承受外力偶 而mmd50 mkNMe 6 在圆杆表面上的 A 点将移动到 A1点 如图所示 已知 圆杆材料的弹性mmAAs3 1 模量 试求泊松比 提示 各向同性材料的三个弹性常数 E G 间存在GPaE210 如下关系 1 2 E G 解 整根轴的扭矩均等于外力偶矩 设两截面之间的相对对转角mkNMT e 6 1 OO 为 则 2 d s d s 2 d s GI lT P 2 式 中 6135925014159 3 32 1 32 1 444 mmdIp 3 8 GPaMPa mmmm mmmmmmN sI dlT G p 4874 81372 81487 36135922 501000106 2 4 6 由得 1 2 E G289 0 1 4874 812 210 1 2 G E 习题习题 3 10 3 10 长度相等的两根受扭圆轴 一为空心圆轴 一为实心圆轴 两 者的材料相同 受力情况也一样 实心轴直径为 d 空心轴的外径为 D 内径为 d0 且 试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力 8 0 0 D d max 精品文档 16欢迎下载 扭矩 T 相等时的重量比和刚度比 解 1 求空心圆轴的最大切应力 并求 D p W T max 式中 故 1 16 1 43 DWp 1 27 8 01 16 343 max D T D T 空 3 10 1 27 3 T D 1 求实心圆轴的最大切应力 式中 故 p W T max 3 16 1 dWp 1616 33 max d T d T 实 16 3 T d 69375 1 16 1 27 3 T T d D 192 1 d D 3 求空心圆轴与实心圆轴的重量比 512 0 192 1 36 0 36 0 8 01 25 0 25 0 2222 2 2 0 2 d D d D ld ldD W W 实 空 4 求空心圆轴与实心圆轴的刚度比 444 01845 0 8 01 32 1 DDI p 空 44 03125 0 32 1 ddI p 实 192 1 192 1 5904 0 5904 0 03125 0 01845 0 44 4 4 d D d D GI GI p p 实 空 习题习题 3 11 3 11 全长为 两端面直径分别为的圆台形杆 在两端各承受一外力偶矩l 21 d d e M 如图所示 试求杆两端面间的相对扭转角 解 如图所示 取微元体 则其两端面之间的扭转角为 dx P e GI dxM d 式中 4 32 1 dIp 精品文档 17欢迎下载 l x rr rr 12 1 22 112 1 12 d x l dd rx l rr r 1 12 2dx l dd rd 44 1 124 udx l dd d dx l dd du 12 du dd l dx 12 故 l e l e l e l p e l p e u du ddG lM du dd l uG M d dx G M I dx G M GI dxM 0 4 1212 0 4 0 4 00 3213232 l ele l e dx l dd ddG lM uddG lM u du ddG lM 0 3 1 12 12 0 3 12 0 4 12 1 3 32 3 1 32 32 3 2 3 1 2 221 2 1 3 2 3 1 3 2 3 1 21 3 1 3 212 3 32 3 3211 3 32 dd dddd G lM dd dd ddG lM ddddG lM eee 习题习题 3 12 3 12 已知实心圆轴的转速 传递的功率 轴材料的许min 300rn kWp330 用切应力 切变模量 若要求在 2m 长度的相对扭转角不超过 MPa60 GPaG80 o 1 试求该轴的直径 解 180 1 p e P GI lM GI lT 式中 故 504 10 300 330 549 9549 9 mkN n N M k e 4 32 1 dIp G lM I e p 180 G lM d e 180 32 1 4 mm mmN mmmmN G lM d e 292 111 8000014 3 200010504 101803218032 4 22 6 4 2 精品文档 18欢迎下载 取 mmd 3 111 习题习题 3 16 3 16 一端固定的圆截面杆 AB 承受集度为的均布外m 力偶作用 如图所示 试求杆内积蓄的应变能 已矩材料的切 变模量为 G 解 Gd dxxm dG dxxm GI dxxT dV p 4 22 4 222 16 32 1 2 2 3 16 p l GI lm Gd lm Gd lm dxx Gd m V 6 32 1 6 3 1616 32 4 32 4 32 0 2 4 2 习题习题 3 18 3 18 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力 F 如图 簧丝直径 材料的mmd10 许用切应力 切变模量为 G 弹簧的有效圈数为 试求 MPa500 n 1 弹簧的许可切应力 2 证明弹簧的伸长 16 2 2 2 121 4 RRRR Gd Fn 解 1 求弹簧的许可应力 用截面法 以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离 体 由平衡条件可知 在簧杆横截面上 剪力扭矩FQ FRT 最大扭矩 2max FRT 4 1 16164 2 3 2 3 2 2 max max R d d FR d FR d F W T A Q p N mm mm mm mmNmm R d R d F 3 957 1004 10 1 10016 5001014 3 4 1 16 233 2 2 3 因为 所以上式中小括号里的第二项 即由102010 200 dD Q 所产生的剪应力可以忽略不计 此时 N mm mmNmm R d R d F25 981 10016 5001014 3 4 1 16 233 2 2 3 精品文档 19欢迎下载 2 证明弹簧的伸长 16 2 2 2 121 4 RRRR Gd Fn 外力功 FW 2 1 p GI dRT dU 2 2 d n RR R GI F dR GI F GI dRFR U n p n p n p 3 2 0 12 1 2 2 0 3 2 2 0 2 2 222 12 4 1 4 2 2 4RR RR GI nF p UW 12 4 1 4 2 2 42 1 RR RR GI nF F p 16 2 21 2 2 2 1 4 12 4 1 4 2 RRRR dG nF RR RR GI nF p 习题习题 3 19 3 19 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶 已知材料的切变模量mkNMe 3 试求 GPaG80 1 杆内最大切应力的大小 位置和方向 2 横截面短边中点处的切应力 3 杆的单位长度扭转角 解 解 1 求杆内最大切应力的大小 位置和方向 由表得 长边中点处的切应力 在上面 由外指向里 2 计算横截面短边中点处的切应力 MPa 精品文档 20欢迎下载 短边中点处的切应力 在前面由上往上 3 求单位长度的转角 单位长度的转角 习题习题 3 23 3 23 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面 其壁厚及管壁中线的周长均相同 两杆的长度和材料也相同 当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时 试求 1 最大切应力之比 2 相对扭转角之比 解 1 求最大切应力之比 开口 t e I M 开口max 3 0 3 0 3 2 2 3 1 rrIt 依题意 故 ar42 0 33 0 3 0 3 4 3 2 2 3 1 a rrIt 23 max 4 3 4 3 a M a M I M e e t e 开口 闭口 2 0 max 22a M A M ee 闭口 2 32 4 3 2 2 max max a M a a M e e 闭口 开口 3 求相对扭转角之比 开口 33 0 3 0 3 4 3 2 2 3 1 a rrIt 3 4 3 Ga M GI M GI T e t e t 开口 闭口 342 0 2 0 4 4 44Ga M Ga aM GA sM GA Ts eee 闭口 精品文档 21欢迎下载 2 23 3 4 3 4 3 a M Ga Ga M e e 闭口 开口 4 1 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩 a 5 h 4 0 0 0 1 100 1 1000 2 2 22 2000 2 2 13 224 1111 22312 114 0 222 233 RARB S S q FFaq a q Fq aaq a a Mq aqaq a FMq aaqaaq a b 5 f 4 4 2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程 并作剪力图和弯矩图 a 5 a 4 精品文档 22欢迎下载 b 5 b 4 f 5 f 4 精品文档 23欢迎下载 4 3 试利用载荷集度 剪力和弯矩间的微分关系做下列各梁的弯矩图和剪力 e 和 f 题 e f h 4 4 试做下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图 精品文档 24欢迎下载 4 4 b 4 5 b 4 5 根据弯矩 剪力与荷载集度之间的关系指出下列玩具和剪力图的错误之处 并改正 4 6 已知简支梁的剪力图如图所示 试做梁的弯矩图和荷载图 梁上五集中力偶作用 4 6 a 4 7 a 4 7 根据图示梁的弯矩图做出剪力图和荷载图 4 8 用叠加法做梁的弯矩图 精品文档 25欢迎下载 4 8 b 4 8 c 4 9 选择合适的方法 做弯矩图和剪力图 4 9 b 4 9 c 精品文档 26欢迎下载 4 10 精品文档 27欢迎下载 4 14 长度 l 2m 的均匀圆木 欲锯做 Fa 0 6m 的一段 为使锯口处两端面开裂最小 硬是 锯口处弯矩为零 现将圆木放在两只锯木架上 一只锯木架放在圆木一段 试求另一只锯 木架应放位置 x 0 4615m 4 18 精品文档 28欢迎下载 4 19M 30KN 4 21 精品文档 29欢迎下载 4 23 精品文档 30欢迎下载 4 25 4 28 精品文档 31欢迎下载 4 29 精品文档 32欢迎下载 4 33 精品文档 33欢迎下载 4 36 精品文档 34欢迎下载 4 35 5 2 精品文档 35欢迎下载 精品文档 36欢迎下载 5 3 精品文档 37欢迎下载 精品文档 38欢迎下载 5 7 精品文档 39欢迎下载 5 15 精品文档 40欢迎下载 5 22 精品文档 41欢迎下载 5 23 选 22a 工字钢 5 24 精品文档 42欢迎下载 6 4 6 23 3 A lFlEA 精品文档 43欢迎下载 6 12 精品文档 44欢迎下载 精品文档 45欢迎下载 精品文档 46欢迎下载 7 3 55mpa7 3 55mpa 55mpa 55mpa 7 4 7 4 习题习题 7 3 7 3 一拉杆由两段沿面胶合而成 由于实用的原因 图中的角限于nm 范围内 作为 假定计算 对胶合缝作强度计算时 可以把其上的正应力和切应 0 60 0 力分别与相应的许用应力比较 现设胶合缝的许用切应力为许用拉应力的 且 4 3 这一拉杆的强度由胶合缝强度控制 为了使杆能承受最大的荷载 F 试问角的值应取多 大 解 A F x 0 y 0 x 精品文档 47欢迎下载 2sin2cos 22 x yxyx 2 2cos1 2cos 22 A F A F A F 2 2cos1 A F cos2 A F 2 cos A F 2 max cos A F N 2cos2sin 2 x yx 4 3 2sin 2 A F 2sin 5 1A F 2sin 5 1 max A F T 0 0 910203036 8833 405060 N Fmax A 1 000 1 031 1 132 1 333 1 563 1 704 2 420 4 000 T Fmax A 47 754 4 386 2 334 1 732 1 562 1 523 1 523 1 732 最大荷载随角度变化曲线 0 000 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 0102030405060 斜面倾角 度 Fmax N Fmax T Fmax NFmax T 由以上曲线可知 两曲线交点以左 由正应力强度条件控制最大荷载 交点以右 由切应 力强度条件控制最大荷载 由图中可以看出 当时 杆能承受最大荷载 该荷载 0 60 为 AF 732 1 max 7 6 7 6 习题习题 7 7 7 7 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为的截面上 在顶m72 0 面以下的一点处的最大及最小主应力 并求最大主应力与轴之间的夹角 mm40 x 精品文档 48欢迎下载 解 1 求计算点的正应力与切应力 MPa mm mmmmN bh My I My z 55 10 16080 401072 0 101212 43 6 3 MPa mmmm mmN bI QS z z 88 0 8016080 12 1 60 4080 1010 43 33 2 写出坐标面应力 X 10 55 0 88 Y 0 0 88 3 作应力圆求最大与最小主应力 并求最大主应力与轴的夹角x 作应力圆如图所示 从图中按 比例尺量得 MPa66 10 1 MPa06 0 3 0 0 75 4 7 7 7 7 习题习题 7 8 7 8 各单元体面上的应力如图所示 试利用应力圆的几何关系求 1 指定截面上的应力 2 主应力的数值 3 在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向 习题习题 7 87 8 a a 解 坐标面应力 X 20 0 Y 40 0 根据以上数据作出如图所示的应 0 60 力圆 图中比例尺为代表 按比例尺量得斜面的应力为 cm1MPa10 MPa25 0 120 精品文档 49欢迎下载 MPa26 0 120 MPa20 1 MPa40 3 0 0 0 习题习题 7 87 8 b b 解 坐标面应力 X 0 30 Y 0 30 根据以上数据作出如图所示的应力 0 30 圆 图中比例尺为代表 按比例尺量得斜面的应力为 cm1MPa10 MPa26 0 60 MPa15 0 60 MPa30 1 MPa30 3 0 0 45 习题习题 7 87 8 c c 解 坐标面应力 X 50 0 Y 50 0 根据以上数据作出如图所示的应力 0 30 圆 图中比例尺为代表 按比例尺量得斜面的应力为 cm1MPa20 MPa50 0 60 0 0 60 MPa50 2 MPa50 3 1 3 单元体图应力圆 O Mohr 圆 主单元体图 单元体图应力圆 O Mohr 圆 主单元体图 精品文档 50欢迎下载 习题习题 7 87 8 d d 解 坐标面应力 X 0 50 Y 20 50 根据以上数据作出如图所示的应力 0 0 圆 图中比例尺为代表 按比例尺量得斜面的应力为 cm1MPa20 MPa40 0 45 10 0 45 MPa41 1 MPa0 2 MPa61 3 0 0 3539 习题习题 7 10 7 10 已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示 试利用应力圆求 该点处的主应力值和主平面方位 并求出两截面间的夹角值 平面应力状态下的两斜面应力应力圆 解 两斜面上的坐标面应力为 2 3 单元体图应力圆 O Mohr 圆 主单元体图 单元体图应力圆 O Mohr 圆 主单元体图 精品文档 51欢迎下载 A 38 28 B 114 48 由以上上两点作出的直线 AB 是应力圆上的一条弦 如图所示 作 AB 的垂直平分线交水平坐标轴于 C 点 则 C 为应力圆的圆心 设圆心坐标为 C 0 x 则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等 性质 可列以下方程 2222 480 114 280 38 xx 解以上方程得 即圆心坐标为 C 86 0 86 x 应力圆的半径 570 55 280 3886 22 r 主应力为 MParx57 14157 5586 1 MParx43 3057 5586 2 0 3 2 主方向角 上斜面 A 与中间主应力平面之间的夹角 上斜面 A 与最大主应力平面之间的夹角 3 两截面间夹角 习题习题 7 14 7 14 单元体各面上的应力如图所示 试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应 力 习题习题 7 157 15 a a 解 坐标面应力 X 70 40 Y 30 40 Z 50 0 精品文档 52欢迎下载 由 XY 平面内应力值作a b点 连接a b交 轴得圆心C 50 0 应力圆半径 习题习题 7 157 15 b b 解 坐标面应力 X 60 40 Y 50 0 Z 0 40 由XZ平面内应力作a b点 连接a b交 轴于C点 OC 30 故应力圆圆心 C 30 0 单元体图应力圆 单元体图应力圆 精品文档 53欢迎下载 应力圆半径 习题习题 7 157 15 c c 解 坐标面应力 X 80 0 Y 0 50 Z 0 50 由YZ平面内应力值作a b点 圆心为O 半径为 50 作应力圆得 习题习题 7 19 7 19 D 120mm d 80mm 的空心圆轴 两端承受一对扭转力偶矩 如图所示 在轴的中部表面A点处 测得与其母线成 方向的线应变为 已知材 料的弹性常数 试求扭转力偶矩 单元体图应力圆 精品文档 54欢迎下载 解 方向如图 习题习题 7 20 7 20 在受集中力偶作用矩形截面简支梁中 测得中性层上 k 点处沿方向 e M 0 45 的线应变为 已知材料的弹性常数和梁的横截面及长度尺寸 试求集 0 45 Eldahb 中力偶矩 e M 解 支座反力 l M R e A l M R e B K 截面的弯矩与剪力 精品文档 55欢迎下载 l aM aRM e Ak l M RQ e Ak K 点的正应力与切应力 0 Al M A Q ek 2 3 5 1 故坐标面应力为 X 0 Y 0 Al Me xyx yz 2 3 4 2 1 2 22 1 0 2 Al Me xyx yz 2 3 4 2 1 2 22 3 yx x 2 2tan 0 最大正应力的方向与正向的夹角 故 0 0 45 1 x 1 311 450 E 1 2 3 2 3 2 3 1 0 45 EAl M Al M Al M E eee 0 0 45 45 1 3 2 1 3 2 Ebhl EAl Me 习题习题 7 22 7 22 已知图示单元体材料的弹性常数 试求该单元体的形GPaE200 3 0 状改变能密度 解 坐标面应力 X 70 40 Y 30 40 Z 50 0 在 XY 面内 求出最大与最小应力 22 max 4 2 1 2 xyx yz 721 94 40 4 3070 2 1 2 3070 22 max MPa 精品文档 56欢迎下载 22 min 4 2 1 2 xyx yz 279 5 40 4 3070 2 1 2 3070 22 max MPa 故 721 94 1 MPa MPa50 2 279 5 3 MPa 单元体的形状改变能密度 6 1 2 13 2 32 2 21 E vd 721 94279 5 279 5 50 50721 94 102006 3 01 222 3 3 99979 1201299979 0 mmkNMPa 习题习题 7 25 7 25 一简支钢板梁承受荷载如图 a 所示 其截面尺寸见图 b 已知钢材的许用应力 为 试校核梁内的最大正应力和最大切应力 并按第四MPa170 MPa100 强度理论校核危险截面上的 a 点的强度 注 通常在计算 a 点处的应力时 近似地按点 a 的位置计算 解 左支座为 A 右支座为 B 左集中力作用点为 C 右集中力作用点为 D 支座反力 710 840550550 2 1 kNRR BA 43433 1004 2 2040746670800230 12 1 840240 12 1 mmmIz 精品文档 57欢迎下载 1 梁内最大正应力发生在跨中截面的上 下边缘 870440 2 1 35504710 2 max mkNM MPa m mmN I yM z 179 1004 2 1042010870 43 33 maxmax max 超过 的 5 3 在工程上是允许的 2 梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处 3 在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度 超过 的 3 53 在工程上是允许的 习题习题 7 27 7 27 用 Q235 钢制成的实心圆截面杆 受轴向拉力 F 及扭转力偶矩共同作用 e M 且 今测得圆杆表面 k 点处沿图示方向的线应变 已知杆FdMe 10 1 5 30 1033 14 0 直径 材料的弹性常数 试求荷载 F 和 若其许用mmd10 GPaE200 3 0 e M 精品文档 58欢迎下载 应力 试按第四强度理论校核杆的强度 MPa160 解 计算 F 和 e M 的大小 在 k 点处产生的切应力为 e M 2333 max 5 8 10 161616 d FFd dd M d T W T e P F 在 k 点处产生的正应力为 2 4 d F A F 即 X Y 0 2 4 d F 2 5 8 d F 2 5 8 d F 广义虎克定律 1 000 603030 E 2sin2cos 22 x yxyx 10967 13 5 3415 60sin 5 8 60cos 22 3 2 0 2 0 22300 MPaF d F d F d F d F F 以 N 为单位 d 以 mm 为单位 下同 F d F d F d F d F 3 2 0 2 0 2260 10228 1 5 345 120sin 5 8 120cos 22 0 10228 1 3 010967 13 10200 1 1033 14 33 3 5 FF 228 1 3 0967 13 10200 1033 14 3 2 F F 52 107993 6 1033 14 kNNF108 2 570 2107 mNmmNmmNFdMe 108 22108102108 10 1 10 1 按第四强度理论校核杆件的强度 741 10 1014 3 5 21088 5 8 222 MPa mm N d F x 精品文档 59欢迎下载 854 26 1014 3 210844 222 MPa mm N d F x 22 1 4 2 1 2 xyx yx 622 30 741 10 4854 26 2 1 2 854 26 2 2 1 MPa 0 2 768 3 741 10 4854 26 2 1 2 854 26 2 2 3 MPa 2 1 2 13 2 32 2 21 622 30768 3 768 3 0 0622 30 2 1 222 MPaMPa160 669 32 符合第四强度理论所提出的强度条件 即安全 习题习题 8 1 8 1 14 号工字钢悬臂梁受力情况如图所示 已知 ml8 0 kNF5 2 1 试求危险截面上的最大正应力 kNF0 1 2 解 危险截面在固定端 拉断的危险点在前上角点 压断的危险点在后下角 因钢材的拉 压性能相同 故只计算最大拉应力 精品文档 60欢迎下载 式中 由 14 号工字钢 查型钢表得到 故 z W y W 3 102cmWz 3 1 16 cmWy MPaPa m mN m mN 1 7910 1 79 10 1 16 8 0100 1 101022 8 0105 23 6 36 3 3