初一数学一题多解.docx

例题一、如图1，已知AB/CD，试找出、和的关系并证明。我们找出他们的关系是：。证明如下：方法一：如图2，过点E作EF/AB。因为，所以；因为，所以，所以，所以。方法二：如图3，过点E作EF/AB。因为，所以，即；因为，所以，所以，即；因为，所以。方法三：如图4，连接BD。因为，所以，即；在BED中，所以。方法四：如图5，过点E做，垂足为点F，交CD于点G。因为，所以；在直角EGD中，在直角EFB中，所以。方法五：如图6，延长BE交CD于点F。因为，所以；在EFD中，又因为，所以。例题二、证明： 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形已知：如图1，在ABC中，AD=BD=CD求证：ABC是直角三角形证法1 如图1，利用两锐角互余AD=CD，CD=BD，1=A，2=B。在ABC中，A+B+ACB=180，A+B+1+2=180，2（A+B）=180，A+B=90，ACB=90，ABC是直角三角形。证法2 如图2，利用等腰三角形的三线合一延长AC到E使CE=AC，连接BEAD=BD，CD是ABE的中位线。，AB=BEBCAC，ABC是直角三角形证法3 如图3，利用此三角形与某个直角三角形相似（或全等）过点D作DEBC交BC于点ECD=BD，B是公共角，BDEBAC。ACB=DEB=90，ABC是直角三角形。证法4 如图4，利用如果一条直线垂直于两平行线中的一条，则也垂直于另一条取BC中点E，连接DEAD=BD，DE是ABC的中位线DEACCD=BD，CE=BE，DEBCACBC，ABC是直角三角形证法5 如图5，构造四边形，并证其为矩形延长CD到E使DE=CD，连接AE、BEAD=BD=CDAD=BD=CD=DE,且AB=CE四边形ABCD是矩形ACB=90，ABC是直角三角形证法6 如图6，利用勾股定理的逆定理设AC=b，BC=a，AB=c，取BC中点E，连接DEDE是ABC的中位线。CD=BD，DEBC。在RtDEB中，。，ABC是直角三角形。证法7 如图7，利用两直线平行，再证同旁内角相等。延长CD到E使DE=CD，连接BE。AD=BD，1=2，ADCBDE（SAS），ACD=E，AC=BE，ACBE，ACB+EBC=180。又AD=CD，AB=CE。BC是公共边，ACBEBC（SSS）。ACB=EBC。ACB=90，ABC是直角三角形。证法8 如图8，利用直径所对的圆周角是直角。以D为圆心，DA长为半径作圆。AD=BD=CD，点C、B在圆上，AB是直径。ACB=90。ABC是直角三角形。例题三、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元，如果买2个鸡蛋、4个鸭蛋、3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个，共需多少钱？这类题目的特点是所能列出的方程的个数少于未知数的个数，看似不可解，但由于所求的并不是每一个未知数的值，而是一个代数式的值。所以可解。这类题对学生来说是有一些难度的，但如果掌握了以下方法，既可以化繁为简，又可以收到一题多解，提高学生能力的效果。下面让我们先来列出方程。设鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋的单价分别为x、y、z元，则根据题意，可得方程，求的值。解法一：变元法：把z看成常数，解关于x、y的方程，可得然后代入所求式中，得：答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个，共需1.05元。解法二：直接构造法：因为题目中要求的值，所以将原方程互助组变形直接构造出。4+得答：略解法三：间接构造法：将原方程组中的两边同乘以常数a，的两边同乘以常数b，得+得我们想要求的代数式是x+y+z，令可得a=1，b=4，代入上式得 21x+21y+21z=9.25+12.80=22.05 x+y+z=1.05例题四、三角形一题多解如图：已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D。求证：FD=DE。证法一 证明：过E点作EM AB交DC延长线于M点，则M=B，又因为ACB=BACB=ECM=M，所以CE=EM， 又EC=BF 从而EM=BF，BFD=DEM则DBFDME，故 FD=DE；证法二证明：过E点作EM AB交DC延长线于M点，则M=B，又因为ACB=BACB=ECM=M，所以CE=EM， 又EC=BF 从而EM=BF，BFD=DEM则DBFDME，故 FD=DE；证法二 证明：过F点作FMAE，交BD于点M，则1=2 = B 所以BF=FM，又 4=3 5=E所以DMFDCE，故 FD=DE。例题五、平行四边形一题多解如图4，平行四边形 ABCD中AD=2AB,E、F在直线AB上，且AE=BF=AB,求证：DFCE.证法一、易知ADF、BCE为等腰三角形，故1=F, 2=E,又CDAB,故3=F, 4=E,从而1=3，2=4，而1+2+3+4=1800，故3+4=900，表明COD=900，所以DFCE。证法二、如图5，连接MN，则CD=BF,且CDBF，故BFCD为平行四边形，则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CNDM，得平行四边形CDMN，易见CD=DM，故CDMN也是菱形，根据菱形的对角线互相垂直，结论成立。证法三、如图6，连接BM、AN, 可证AFN中，BN=BF=BA,则AFN为直角三角形，即DFAN,利用中位线定理可知ANCE，故DFCE。证法四、如图7，作DGCE交AE延长线于G，则EG=CD=AB=AE,故AD=AG=AF,从而DFDG,而DGCE,故DFCE例题六、如图所示，一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影都是长