高中数学 2.1.4两条直线的交点课件 北师大版必修2 .ppt

1 对两直线位置关系的进一步理解研究两条直线l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0的位置关系 相交 重合 平行 可以转化为两条直线方程所得的方程组的解的个数问题 具体情况如下 两直线位置关系的判断 2 两条直线相交的判定方法 若只判断两直线是否相交采用方法 1 较方便 若要求交点坐标则采用方法 2 例1 分别判断下列直线的位置关系 若相交 求出它们的交点 1 l1 2x y 7 l2 3x 2y 7 0 2 l1 2x 6y 4 0 l2 4x 12y 8 0 3 l1 4x 2y 4 0 l2 y 2x 3 审题指导 思路一 利用方程组的观点判断直线的位置关系 并求交点 思路二 利用斜率的关系判断直线的位置关系 若相交再利用方程组求交点 规范解答 方法一 1 的解为 直线l1与l2相交 交点坐标为 3 1 2 有无数组解 l1和l2重合 3 无解 l1 l2 方法二 1 l1 2x y 7 l2 3x 2y 7 0的斜率不相等 故两直线相交 由解得 直线l1与l2的交点坐标为 3 1 2 l1 2x 6y 4 0 l2 4x 12y 8 0且 l1和l2重合 3 l1 4x 2y 4 0 l2 y 2x 3即2x y 3 0且 l1 l2 互动探究 把本题 1 l1 2x y 7 换成 l1 ax y 7 求相应问题 解题提示 解方程组 按方程是否有解对参数a进行讨论 解析 由得 3 2a x 21 当时 原方程组无解 l1 l2 当时 原方程组有且只有一解 直线l1与l2相交 交点坐标为 利用两直线的位置关系求参数值的方法 已知直线的一般式且明确了直线间的关系求参数的值 或范围 时 其求解思路为 利用两直线的位置关系求参数的值 上述一般式给出的方程 其平行和重合的条件务必分清 例2 2011 徐州高一检测 已知两条直线l1 x my 6 0 l2 m 2 x 3y 2m 0问 当m为何值时 l1与l2 1 平行 2 垂直 3 重合 审题指导 方程以一般式的形式给出 直接应用两直线平行 垂直 重合的等价条件求解 规范解答 1 l1 l2 3 m m 2 0 即m2 2m 3 0 m 1或m 3 经检验当m 3时两直线重合 故m 3舍去 m 1 2 l1 l2 1 m 2 3m 0 3 由 1 可知当m 3时两直线重合 变式训练 已知直线l1 k 3 x 4 k y 1 0 与l2 2 k 3 x 2y 3 0平行 则k的值为 a 1或3 b 1或5 c 3或5 d 1或2 解析 选c 方法一 当k 3时 两直线平行 当k 3时 由两直线平行 斜率相等 得 解得 k 5 方法二 由 2 k 3 2 k 3 4 k 0得k 3或k 5 经验证当k 3或k 5时均合题意 线共点问题的求解方法 1 方程组法 选择两条较易求解交点的直线方程联立 求出相应交点的坐标p x0 y0 然后把p x0 y0 代入另一条直线方程 利用方程的思想求解参数 过交点的直线系 2 直线系法 经过两直线l1 a1x b1y c1 0 a12 b12 0 和l2 a2x b2y c2 0 a22 b22 0 交点的直线系为m a1x b1y c1 n a2x b2y c2 0 其中m n为参数 m2 n2 0 当m 1 n 0时 方程即为l1的方程 当m 0 n 1时 方程即为l2的方程 上面的直线系可改写成 a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 其中 r 但是此方程中不包括直线l2 这个参数方程形式在解题中较为常用 比较两种方法可知 如果多条直线交于一点 采用过交点的直线系求解相交问题较简单 直线系方程 a1x b1y c1 a2x b2y c2 0中 由 可知 此直线系方程恒过定点 方程y y0 k x x0 由点斜式知 它恒过定点 x0 y0 也可以化为 y y0 k x x0 0 过定点即 x0 y0 1 与直线ax by c 0垂直的直线的方程可设为bx ay m 0 其中m待定 2 与直线ax by c 0平行的直线的方程可设为ax by m 0 其中m待定 例3 已知直线l1 3x y 1 0 l2 x y 3 0 求 1 直线l1与l2的交点p的坐标 2 过点p且与l1垂直的直线方程 审题指导 由于本题l1 l2的方程已知 可利用解方程组的方法求出交点p 进而再求出所求的直线方程 规范解答 1 解方程组得所以直线l1与l2的交点p的坐标为 1 2 2 方法一 直线l1的斜率为3 故过点p且与l1垂直的直线方程为即为x 3y 7 0 方法二 由题意可设所求直线的方程为3x y 1 x y 3 0 整理得 3 x 1 y 1 3 0 又 该直线与l1垂直 故3 3 1 1 0 解得 5 即所求直线的方程为x 3y 7 0 变式训练 2011 南京高二检测 1 已知直线l经过两条直线2x 3y 3 0和x y 2 0的交点 且与直线3x y 1 0平行 求直线l的方程 2 已知直线l经过两条直线2x 2y 10 0和3x 4y 2 0的交点 且垂直于直线3x 2y 4 0 求直线l的方程 解析 1 由得又所求直线l与直线3x y 1 0平行 故所求l的方程为解得15x 5y 16 0 2 由得又所求直线l与直线3x 2y 4 0垂直 故所求l的方程为即 14x 21y 15 0 例 试求三条直线l1 x y a 0 l2 x ay 1 0 l3 ax y 1 0构成三角形的条件 审题指导 若三条直线构成三角形 则任意两条直线相交且不能交于一点 规范解答 方法一 当a 0时 显然满足条件 当a 0时 由任意两条直线相交 得所以a 1 又三条直线不共点 由得交点 1 a 1 此交点不在直线ax y 1 0上 即a 1 a 1 1 0 所以a2 a 2 0 所以a 2且a 1 综上可知 a 2且a 1 方法二 若三条直线能构成三角形 则三条直线两两相交且不共点 即任意两条直线都不平行且三条直线不共点 若l1 l2 l3交于一点 则x y a 0与x ay 1 0的交点 a 1 1 在直线l3 ax y 1 0上 所以a a 1 1 1 0 所以a 1或a 2 若l1 l2 则有且a 0 所以a 1 若l1 l3 则有 a 1 所以a 1 若l2 l3 则有且a 0 所以a 1 所以当l1 l2 l3构成三角形时 a 1且a 2 变式备选 三条直线l1 x y 0 l2 x y 2 0 l3 5x ky 15 0构成一个三角形 求k的取值范围 解析 1 当l1 l3时 知k 0且有所以有k 5 2 当l2 l3时知k 0且有所以有k 5 3 当l1 l2 l3三线交于一点时 解方程组得直线l1与l2相交于点 1 1 又l3过点 1 1 所以有5 1 k 15 0 所以有k 10 综上可知 要使三条直线构成一个三角形 需有k 5且k 10 典例 12分 已知 abc的顶点a 5 1 ab边上的中线cm所在的直线方程为2x y 5 0 ac边上的高bh所在的直线方程为x 2y 5 0 求 1 顶点c的坐标 2 直线bc的方程 审题指导 直线cm的方程已知 只需再寻找一条过点c的直线联立求解便可求出顶点c的坐标 而利用点斜式可求出ac的方程 高bh所在的直线方程已知 ab边上的中线cm所在的直线方程已知 故利用中点坐标公式求点b的坐标 进而利用两点式求直线bc的方程 规范解答 1 ac边上的高bh所在的直线方程为x 2y 5 0 故可设直线ac的方程为2x y c 0 又过点a 5 1 所以10 1 c 0 解得c 11 3分即直线ac的方程为2x y 11 0 由得即顶点c的坐标为 4 3 5分 2 设点b的坐标为 x y 则线段ab的中点在直线2x y 5 0上 即 8分又点b满足方程x 2y 5 0 联立 解得x 1 y 3 即点b的坐标为 1 3 10分由两点式求得直线bc的方程为 6x 5y 9 0 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 过点p 0 1 作一条直线l 使它与两已知直线l1 x 3y 10 0和l2 2x y 8 0分别交于a b两点 若线段ab被p点平分 求直线l的方程 解题提示 设出a b两点的坐标 利用线段ab被p点平分这个条件求解该问题 解析 由已知可设a 3b 10 b b a 2a 8 p是ab的中点 即解得a 4 b 2 即a 4 2 又直线l过p a两点 由两点式求得直线l的方程为x 4y 4 0 1 下列各组直线中 互相垂直的一组是 a 2x 3y 5 0与4x 6y 5 0 b 2x 3y 5 0与4x 6y 5 0 c 2x 3y 6 0与3x 2y 6 0 d 2x 3y 6 0与2x 3y 6 0 解析 选c 利用a1a2 b1b2 0逐一验证便可 2 下列直线中 与直线2x y 3 0相交的是 a 4x 2y 6 0 b y 2x 1 c y 2x 5 d y 2x 3 解析 选d 只要直线的斜率与直线2x y 3 0的斜率不相等 则两直线便相交 经验证选d 3 直线l y 1 k x 2 必过定点 解析 结合直线方程的点斜式可知 直线l必过定点 2 1 答案 2 1 4 直线x 2y 2 0与直线2x y 3 0的交点坐标为 解析 由方程组解得因此两直线交点坐标为答案 5 已知直线l1 ax 3y c 0 l2 2x 3y 4 0 若l1 l2的交点在y轴上 则c的值为 解析 设l1与l2的交点为p x y 由题意可知x 0 又点p在l2上 即把点p代入l1 得解得c 4 答案 4 6 已知 abc三边所在直线方程分别为ab 3x 4y 12 0 bc 4x 3y 16 0 ca 2x y 2 0 求ac边上的高所在的直线方程 解析 由解得交点b 4 0 设bd为ac边上的高 则 ac边上的高bd所在的直线的方程为即x 2y 4 0 一 选择题 每题4分 共16分 1 直线2x 3y 1 0和直线3x 2y 4 0的位置关系为 a 平行 b 垂直 c 相交但不垂直 d 以上都不对 解析 选c 直线2x 3y 1 0的斜率为直线3x 2y 4 0的斜率为显然两直线相交但不垂直 2 2011 泰安模拟 设集合a x y y ax 1 b x y y x b 且a b 2 5 则 a a 3 b 2 b a 2 b 3 c a 3 b 2 d a 2 b 3 解析 选b 由题意可知 2 5 是直线与直线的交点坐标 故5 2a 1 5 2 b 解得a 2 b 3 选b 3 若直线ax 2y 1 0与直线6x 4y c 0平行 则 a a 3 c 2 b a 3 c 2 c a 3 c 2 d a 3 c 2 解析 选b 两直线平行只需满足便可 解得a 3 c 2 4 当m取不同实数时 方程mx y 2m 1 0表示的几何图形具有的特征是 a 都经过第一象限 b 组成一个封闭的图形 c 表示直角坐标平面内的所有直线 d 相交于一点 解析 选d 方程可化为m x 2 y 1 0 表示当m取不同实数时 直线恒过点 2 1 选d 方法技巧 直线恒过定点问题的求解策略求解策略一 该类问题常常涉及到不论参数m取何值 直线系恒过定点 此时我们可以抓住 不论参数m取何值 这一条件 对参数m取特殊值 这样就把变的问题转化成了定的问题 求解策略二 逆用过定点的直线系求解 即把含参数的放在一起 不含参数的放在一起 构造成 a1x b1y c1 m a2x b2y c2 0 m r 的形式 然后解方程组便可 m r 二 填空题 每题4分 共8分 5 直线mx 10y 2与3x n 1 y 1重合 则m n 解析 由题意可知解得m 6 n 4 答案 6 4 6 2011 南京高二检测 三条直线ax 2y 8 0 4x 3y 10和2x y 10相交于一点 则a的值为 解析 由得 点 4 2 在ax 2y 8 0上 a 1 答案 1 三 解答题 每题8分 共16分 7 2011 海口高二检测 求经过直线l1 2x 3y 5 0 l2 3x 2y 3 0的交点且平行于直线2x y 3 0的直线方程 解析 由得因为所求直线平行于直线2x y 3 0 故可设所求直线的方程为2x y c 0 把点代入得故所求直线的方程为26x 13y 47 0 8 2011 岳阳高一检测 已知直线l经过直线3x 4y 2 0与直线2x y 2 0的交点p 且垂直于直线x 2y 1 0 1 求直线l的方程 2 求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积s 解析 1 由解得 点p的坐标是 2 2 又所求直线l与x 2y 1 0垂直 可设直线l的方程为2x y c 0 把点p的坐标代入得2 2 2 c 0 即c 2 所求直线l的方程为2x y 2 0 2 由直线l的方程知它在x轴 y轴上的截距分别