实验五 用matlab求二元函数的极值.doc

实验五 用matlab求二元函数的极值1计算二元函数的极值对于二元函数的极值问题,根据二元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:步骤1.定义二元函数.步骤2.求解方程组,得到驻点.步骤3.对于每一个驻点,求出二阶偏导数步骤4. 对于每一个驻点,计算判别式,如果,则该驻点是极值点,当为极小值, 为极大值;如果,需进一步判断此驻点是否为极值点; 如果则该驻点不是极值点.2计算二元函数在区域D内的最大值和最小值设函数在有界区域上连续，则在上必定有最大值和最小值。求在上的最大值和最小值的一般步骤为：步骤1. 计算在内所有驻点处的函数值；步骤2. 计算在的各个边界线上的最大值和最小值；步骤3. 将上述各函数值进行比较，最终确定出在内的最大值和最小值。3函数求偏导数的MATLAB命令MATLAB中主要用diff求函数的偏导数,用jacobian求Jacobian矩阵。diff(f,x,n) 求函数f关于自变量x的n阶导数。jacobian(f,x)求向量函数f关于自变量x(x也为向量)的jacobian矩阵。可以用help diff, help jacobian查阅有关这些命令的详细信息例1 求函数的极值点和极值.首先用diff命令求z关于x,y的偏导数clear; syms x y;z=x4-8*x*y+2*y2-3;diff(z,x)diff(z,y)结果为ans =4*x3-8*y ans =-8*x+4*y即再求解方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve命令，当方程组不存在符号解时，solve将给出数值解。求解方程的MATLAB代码为：clear; x,y=solve(4*x3-8*y=0,-8*x+4*y=0,x,y)结果有三个驻点，分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数：clear; syms x y;z=x4-8*x*y+2*y2-3;A=diff(z,x,2)B=diff(diff(z,x),y)C=diff(z,y,2)结果为A=2*x2B =-8 C =4由判别法可知和都是函数的极小值点，而点Q(0,0)不是极值点，实际上，和是函数的最小值点。当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。clear; x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5;X,Y=meshgrid(x,y);Z=X.4-8*X.*Y+2*Y.2-3;mesh(X,Y,Z)xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z)结果如图16.5.1图16.5.1 函数曲面图可见在图6.1中不容易观测极值点,这是因为z的取值范围为-500,100,是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值.contour(X,Y,Z, 600)xlabel(x),ylabel(y)结果如图16.5.2图16.5.2 等值线图由图16.5.2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点和.根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点周围没有等高线环绕,不是极值点,是鞍点.例 求函数在条件下的极值.构造Lagrange函数求Lagrange函数的自由极值.先求关于的一阶偏导数clear; syms x y kl=x*y+k*(x+y-1);diff(l,x)diff(l,y)diff(l,k)得再解方程clear; syms x y kx,y,k=solve(y+k=0,x+k=0,x+y-1=0,x,y,k)得进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值.例3 抛物面被平面截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离.这个问题实际上就是求函数在条件及下的最大值和最小值问题.构造Lagrange函数求Lagrange函数的自由极值.先求关于的一阶偏导数clear; syms x y z u vl=x2+y2+z2+u*(x2+y2-z)+v*(x+y+z-1);diff(l,x)diff(l,y)diff(l,z)diff(l,u)diff(l,v)得再解方程clear;x,y,z,u,v=solve(2*x+2*x*u+v=0,2*y+2*y*u+v=0,2*z-u+v=0,x2+y2-z=0,x+y+z-1=0,x,y,z,u,v)得上面就是Lagrange函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数在有界闭集，上连续，从而存在最大值与最小值）