化工传递课件(陈涛版)

第四章边界层理论基础 边界层理论由普朗特1904年 Prantdl 提出 用于处理高Re数的流动问题 边界层理论不但在动量传递中非常重要 它还与传热 传质过程密切相关 本章简要讨论边界层的概念 边界层理论的要点以及某些简单边界层的求解等问题 对于某些流动问题 其惯性力 黏性力 采用理想流体理论简化处理时 流体的压力与实验结果非常吻合 但流动阻力的结果偏差很大 Prandtl发现 其根本原因是 在物体与流体接触的界面附近的薄层流体内 惯性力 黏性力 应单独处理 边界层理论 为什么要提出边界层理论 第四章边界层理论基础 4 1边界层的概念 一 普朗特边界层理论的要点 二 边界层的形成过程 三 边界层厚度的定义 第四章边界层理论基础 1 当流体以高Re流过固体壁面时 由于流体的黏性作用 在壁面上流速降为零 2 在壁面附近区域存在一极薄的流体层 其内速度梯度很大 一 普兰德边界层理论的要点 3 在远离壁面的流动区域 其速度梯度几乎为零 可视其为理想流体的势流 二 边界层的形成过程 1 平板壁面上的速度边界层 当黏性流体 高Re 在一半无穷平板壁面上流动时 速度边界层的形成过程见图 首先 在壁面附近有一薄层流体 速度梯度很大 在薄层之外 速度梯度很小 可视为零 壁面附近速度梯度较大的流体层称为边界层 边界层外 速度梯度接近于零的区称为外流区或主流区 二 边界层的形成过程 x 0 x y u0 u0 u0 u0 层流边界层和湍流边界层 在板前缘附近 边界层内流速较低 为层流边界层 而后逐渐过渡为湍流边界层 湍流边界层分为3层 近壁面的薄层流体为层流内层 其次为缓冲层 然后为湍流核心 二 边界层的形成过程 x 0 x y u0 u0 u0 u0 层流边界层 过渡区 湍流边界层 层流内层 缓冲层 湍流核心 临界距离和临界雷诺数 临界距离xc 由层流边界层开始转变为湍流边界层的距离 平板流动Re x 由平板前沿算起的距离 mu0 主流区流体流速 m s 临界Rexc 二 边界层的形成过程 x 0 x y u0 u0 u0 u0 xc 层流边界层 过渡区 湍流边界层 层流内层 缓冲层 湍流核心 2 管内边界层形成过程 黏性流体以u0的流速流进管内 在进口附近形成速度边界层 二 边界层的形成过程 a u0较小 在管中心汇合依然为层流边界层 汇合以后为充分发展的层流 二 边界层的形成过程 Lf ri Lf ri a 层流边界层 b 层流与湍流边界层 层流边界层 湍流边界层 b u0较大 在汇合之前已发展为湍流边界层 汇合以后为充分发展的湍流 u0 u0 流动进口段 由管进口开始至边界层汇合以前的距离Lf 充分发展的流动 边界层汇合以后的流动 二 边界层的形成过程 管内流动雷诺数 d 圆管直径 m ub 主体流速 m s Re 2000时 管内流动为层流 二 边界层的形成过程 三 边界层厚度的定义 1 平板边界层厚度 2 管内边界层的厚度 进口段区 汇合后 Lf 进口段长度 m d 管道内径 m Re 雷诺数 三 边界层厚度的定义 第四章边界层理论基础 4 1边界层的概念 4 2普朗特边界层方程 一 普朗特边界层方程的推导 二 普朗特边界层方程的解 一 普朗特边界层方程的推导 不可压缩流体沿平壁作稳态二维层流流动的变化方程 非线性二阶偏微分方程 大Re数下的边界层流动有两个重要性质 2 边界层内粘性力与惯性力的量级相同 1 边界层厚度 物体特征尺寸x 对平板上流动的变化方程作量阶分析 量阶 指物理量在整个区域内相对于标准量阶而言的平均水平 不是指该物理量的具体数值 一 普朗特边界层方程的推导 取如下两个标准量阶 1 取坐标x为距离的标准量阶 外流速度u0为流速的标准量阶 即 2 取边界层厚度 为另一个标准量阶 一 普朗特边界层方程的推导 1 ux 0 u0 ux O 1 2 3 4 y 在边界层的范围内 y由0 5 uy 由连续性方程 6 一 普朗特边界层方程的推导 7 1 1 1 1 2 1 分析结果 获得边界层流动 流体的粘性要非常低 一 普朗特边界层方程的推导 1 1 2 1 分析结果 1 各项的量阶均小于或等于 2 y方向的运动方程较次要 可忽略不计 一 普朗特边界层方程的推导 3 沿边界层法线方向上流体的压力梯度可忽略 即压力可穿过边界层保持不变 根据理想流体理论 边界层外部边界上的压力分布是确定的 于是边界层内的压力变成了已知函数 一 普朗特边界层方程的推导 二 普朗特边界层方程的解 普朗特边界层方程 边界层外为理想流体的势流 可用Bernolli方程描述 在流动的同一水平高度上 有 考虑不可压缩流体沿平板作稳态层流流动的情况 边界层内 二 普朗特边界层方程的解 流函数 二 普朗特边界层方程的解 相似变换法求解 令 将流函数转变为无量纲形式的流函数 二 普朗特边界层方程的解 二 普朗特边界层方程的解 级数解 二 普朗特边界层方程的解 二 普朗特边界层方程的解 边界层内的速度分布 对于给定的位置 x y f f ux uy 二 普朗特边界层方程的解 边界层厚度 当时 壁面的法向距离y即为边界层厚度 此时 二 普朗特边界层方程的解 局部摩擦曳力系数 二 普朗特边界层方程的解 流体流过长度为L 宽度为b的平板壁面的总曳力 平均曳力系数 二 普朗特边界层方程的解 第四章边界层理论基础 4 1边界层的概念 4 2普朗特边界层方程 4 3边界层积分动量方程 二 平板层流边界层的近似解 一 边界层积分动量方程的推导 一 边界层积分动量方程的推导 普朗特边界层方程虽然比一般化的奈维 斯托克斯方程简单 但仍然只有在少数几种简单的流动情形例如平板 楔形物体等才能获得精确解 工程实际中 许多较复杂的问题直接求解普兰德边界层方程相当困难 本节介绍一种计算量较小 工程上广泛采用的由卡门 Karman 提出的积分动量方程法 基本思想是 在边界层内 选一微分控制体作微分动量衡算 导出一个边界层积分动量方程 然后用一个只依赖于的单参数速度剖面近似代替真实速度侧形 将其代入边界层积分动量方程中积分求解 从而可以得到若干有意义的物理量如边界层厚度 曳力系数的表达式 一 边界层积分动量方程的推导 在距壁面前缘x处 取一微元控制体dV dx 1 y x u0 0 dx 1 4 2 3 将动量守恒原理应用于微元控制体dV 得 x方向 1 一 边界层积分动量方程的推导 1 2截面 流入 3 4截面 流出 一 边界层积分动量方程的推导 2 3截面 流入 1 4截面 无对流 一 边界层积分动量方程的推导 整个微元控制体内的净动量变化速率为流出与流入之差 即 2 一 边界层积分动量方程的推导 u0 作用在控制体x方向上的力 取x坐标方向为正号 1 4截面 壁面剪应力 1 2截面 压力 一 边界层积分动量方程的推导 3 4截面 压力 2 3截面 压力 因该截面与理想流体接壤 故无剪应力 仅存在着流体的压力 一 边界层积分动量方程的推导 y 0 作用在整个微元控制体上的x方向的合外力为 3 将式 2 和 3 代入 1 中 得 仅沿x方向流动 Karman边界层积分动量方程 一 边界层积分动量方程的推导 适用条件 1 对于层流边界层和湍流边界层均适用 2 可用于曲面物体边界层 对于平板壁面的层流边界层 一 边界层积分动量方程的推导 二 平板层流边界层的近似解 平板层流边界层内的速度分布可近似表示为 待定系数 由以下B C 确定 1 在y 边界层外缘 2 在y 0 壁面处 为何y 0处满足上述B C 请证明 采用线性多项式 二 平板层流边界层的近似解 2 采用二次多项式 二 平板层流边界层的近似解 3 采用三次多项式 二 平板层流边界层的近似解 4 采用四次多项式 二 平板层流边界层的近似解 以最常用的三次多项式为例求解平板层流边界层 积分得 二 平板层流边界层的近似解 联立得一阶常微分方程 边界层厚度 二 平板层流边界层的近似解 局部摩擦曳力系数 平均曳力系数 二 平板层流边界层的近似解 二 平板层流边界层的近似解 第四章边界层理论基础 4 1边界层的概念 4 2普兰德边界层方程 4 3边界层积分动量方程 4 4流体在管道进口段的流动 管道进口段的流动分析 管道进口段的流动分析 仅讨论进口段为层流边界层的情况 边界层内为二维流动 对于不可压缩流体 稳态流动 由于流动沿管轴对称 运动方程可简化为 管道进口段的流动分析 Langhaar给出的近似解为 式中 I0 I1 分别是第一类修正的贝塞尔函数 Besselfunction r ri 分别是距管中心的距离坐标和管半径 管道进口段的流动分析 管道进口段的流动分析 流动进口段长度 管道进口段的流动分析 第四章边界层理论基础 4 1边界层的概念 4 2普兰德边界层方程 4 3边界层积分动量方程 4 4边界层分离与形体曳力 4 4管道进口段的流体流动 一 边界层分离的概念 二 形成边界层分离的过程 三 边界层分离的条件 边界层分离指原来紧贴壁面运动的边界层流动在某些条件下 脱离壁面而进入外部流场 分离出来的流体在物体后面形成尾涡区 从而产生很大的尾部阻力 因此有必要研究边界层为什么会从物面分离 又应该如何防止或推迟分离边界层分离 一 边界层分离的概念 现以流体绕长圆柱流动为例 考察边界层分离的大致过程 见图 二 形成边界层分离的过程 当粘性流体以大Re绕过圆柱体流动时 由于流体的粘性作用 沿柱体表面的法线上将建立起速度边界层 并沿流动方向逐渐加厚 A B点 上游区 边界层外 势流 流道截面减小 u p 边界层内 黏性流 u p p推动流体向前流动 一部分转化为动能 其它用于摩擦阻力消耗 顺压区 作用 黏性力作用流体质点沿流动方向 贴壁面向前运动 二 形成边界层分离的过程 B点以后 下游区 边界层外 势流 流道截面变大 u p 边界层内 黏性流 u p p阻止流体向前流动 摩擦阻力阻止流体流动 逆压区 作用 黏性力作用 二者阻止流体质点向前运动 二 形成边界层分离的过程 在逆压梯度和摩擦阻力双重作用下 边界层内流体的流速愈来愈慢 以致于在壁面附近的某一点P处 质点的动能消耗殆尽而停滞下来 形成一个新的停滞点P 在P点处 流体速度为零 由于P点处的压力较上游压力大 后继的流体质点因P点处的高压不能接近该点 被迫脱离壁面和原来的流向向下游流去 造成边界层脱离壁面 边界层分离 P点为分离点 二 形成边界层分离的过程 在 P点下游的壁面区域形成一个流体的空白区 在逆压梯度作用下 必然有倒流的流体来补充 但这些倒流的流体又不能靠近处于高压下的P点而被迫倒退回来 由此点下游的区域产生流体的旋涡 二 形成边界层分离的过程 边界层分离是产生形体曳力Fdf的主要原因 由于边界层分离时产生大量的旋涡 消耗了流体能量 流体流经管件 阀门 管路突然扩大与突然缩小以及管路的进 出口等局部地方 由于流向的改变和流道的突然变化的原因 都会出现边界层的分离现象 二 形成边界层分离的过程 三 边界层分离的条件 外部条件 内部条件上述条件称为 发生边界层分离的必要条件 外部流体具有逆压性质 流体有粘性 1 某粘性流体以速度u0稳态流过平板壁面形成边界层 在边界层内流体的剪应力不随y方向变化 1 试从适当的边界条件出发 确定边界层内速度分布的表达式 2 试从卡门边界层积分动量方程 出发 确定的表达式 习题 2 20 的水以0 1m s的流速流过一长为3m 宽为1m的的平板壁面 试求算距平板前缘0 1m位置处沿法向距壁面2cm点的流速ux uy 并求算局部曳力系数CDx 平均曳力系数CD及流体对平板壁面施加的总曳力 设 习题 习题 3 不可压缩流体稳态流过平板壁面形成层流边界层 在边界层内x方向的速度分布为 式中 为边界层厚度 试求边界层内y方向速度分布uy的表达式 4 不可压缩流体以u0的速度流入宽为b 高为2h的矩形通道 b a 从进口开始形成速度边界层 已知边界层的厚度可近似按下式估算 式中x为沿流动方向的距离 习题 试