2007年湖北省-高考理科数学试题(真题与答案解析)

20072007 年普通高等学校招生全国统一考试 湖北卷 年普通高等学校招生全国统一考试 湖北卷 数学 理工农医类 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 如果的展开式中含有非零常数项 则正整数的最小值为 2 3 2 3 n x x n 3 5 6 10 2 将的图象按向量平移 则平移后所得图象的解析式为 2cos 36 x y 2 4 且a 2cos2 34 x y 2cos2 34 x y 2cos2 312 x y 2cos2 312 x y 3 设和是两个集合 定义集合 如果 PQ PQx xPxQ 且且 2 log1Pxx 那么等于 21Qx x PQ 01xx 01xx 12xx 23xx 4 平面外有两条直线和 如果和在平面内的射影分别是和 给出下列 mnmn m n 四个命题 mnmn mnmn 与相交与相交或重合 m n mn 与平行与平行或重合 m n mn 其中不正确的命题个数是 1 2 3 4 5 已知和是两个不相等的正整数 且 则 pq2q 1 11 lim 1 11 p q n n n A 0B 1C D p q 1 1 p q 6 若数列满足 为正常数 则称为 等方比数列 n a 2 1 2 n n a p a pn N n a 甲 数列是等方比数列 乙 数列是等比数列 则 n a n a A 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C 甲是乙的充要条件 D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7 双曲线的左准线为 左焦点和右焦点分别为和 22 1 22 1 00 xy Cab ab l 1 F 2 F 抛物线的准线为 焦点为与的一个交点为 则等于 2 Cl 21 FC 2 CM 121 12 FFMF MFMF A B C D 1 1 1 2 1 2 8 已知两个等差数列和的前项和分别为 A 和 且 则使得 n a n bn nn B 745 3 n n An Bn 为整数的正整数的个数是 n n a b n A 2B 3C 4D 5 9 连掷两次骰子得到的点数分别为和 记向量与向量的夹角mn mn a 11 b 为 则的概率是 0 A B C D 5 12 1 2 7 12 5 6 10 已知直线 是非零常数 与圆有公共点 且公共点的横1 xy ab ab 22 100 xy 坐标和纵坐标均为整数 那么这样的直线共有 A 60 条B 66 条C 72 条D 78 条 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 25 分 把答案填在答题卡相应位置上 分 把答案填在答题卡相应位置上 11 已知函数的反函数是 则 2yxa 3ybx a b 12 复数 且 若是实数 则有序实数对可izabab R 0b 2 4zbz ab 以是 写出一个有序实数对即可 13 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为xy 0 23 xy x 2xy 14 某篮运动员在三分线投球的命中率是 他投球 10 次 恰好投进 3 个球的概率 1 2 用数值作答 15 为了预防流感 某学校对教室用药熏消毒法进行消毒 已知 药物释放过程中 室内每立方米空气中的含药量 毫克 与时y 间 小时 成正比 药物释放完毕后 与 的函数关系式为tyt 为常数 如图所示 据图中提供的信息 回答 1 16 t a y a 下列问题 I 从药物释放开始 每立方米空气中的含药量 毫克 与y 时间 小时 之间的函数关系式为 t II 据测定 当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时 学生方可进教室 那0 25 么药物释放开始 至少需要经过小时后 学生才能回到教室 三 三 解答题 本大题共解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 骤 16 本小题满分 12 分 已知的面积为 且满足 设和的夹角为 ABC 306AB AC A AB AC I 求的取值范围 II 求函数的最大 2 2sin3cos2 4 f 值与最小值 17 本小题满分 12 分 在生产过程中 测得纤维产品的纤度 表示纤维粗细 的一种量 共有 100 个数据 将数据分组如右表 I 在答题卡上完成频率分布表 并在给定的坐标系 中画出频率分布直方图 II 估计纤度落在中的概率及纤度小于 1 381 50 的概率是多少 1 40 III 统计方法中 同一组数据常用该组区间的中点 值 例如区间的中点值是 作为代 1 301 34 1 32 表 据此 估计纤度的期望 18 本小题满分 12 分 如图 在三棱锥中 底面 是的中点 且VABC VC ABCACBC DAB ACBCa VDC 0 2 分组频数 1 301 34 4 1 341 38 25 1 381 42 30 1 421 46 29 1 461 50 10 1 501 54 2 合计100 O 0 1 1 毫克 y 小时 t I 求证 平面 VAB VCD II 当解变化时 求直线与平面所成的角的取值范围 BCVAB B V A D C 19 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系中 过定点作直线与抛物线 相交于xOy 0 Cp 2 2xpy 0p 两点 AB I 若点是点关于坐标原点的对称点 求面积的最小值 NCOANB II 是否存在垂直于轴的直线 使得 被以为直径的圆截得的弦长恒为定值 若yllAC 存在 求出 的方程 若不存在 说明理由 l A B x y N C O 此题不要求在答题卡上画图 20 本小题满分 13 分 已知定义在正实数集上的函数 其中 设 2 1 2 2 f xxax 2 3lng xaxb 0a 两曲线 有公共点 且在该点处的切线相同 yf x yg x I 用表示 并求的最大值 abb II 求证 f xg x 0 x 21 本小题满分 14 分 已知为正整数 mn I 用数学归纳法证明 当时 1x 1 1 m xmx II 对于 已知 求证 6n 11 1 32 m n 1 1 32 m m m 求证 1 1 32 mm m n 12mn III 求出满足等式的所有正整数 34 2 3 nnnm nn n 参考答案与解析参考答案与解析 一 选择题 本题考查基础知识和基本运算 每小题一 选择题 本题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分 满分分 满分 50 分 分 1 答案 选 解析 由展开式通项有 2 1 3 2 3 r n r r rn TCx x 25 32 r rn rnr n Cx 由题意得 5 2500 1 2 1 2 nrnr rn 故当2r 时 正整数n的最 小值为 5 故选 点评 本题主要考察二项式定理的基本知识 以通项公式切入探索 由整数的运算性质易 得所求 本题中 非零常数项 为干扰条件 易错点 将通项公式中 r n C误记为 1r n C 以及忽略0 1 2 1rn 为整数的条件 2 答案 选 解析 法一 由向量平移的定义 在平移前 后的图像上任意取一对对应点 Px y P x y 则 2 4 a P Pxx yy 2 4 xxyy 带入 到已知解析式中可得选 法二 由 2 4 且a平移的意义可知 先向左平移 4 个单位 再向下平移 2 个单 位 点评 本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识 以平移公式切入 为简单题 易错点 将向量与对应点的顺序搞反了 或死记硬背以为是先向右平移 4 个单位 再向下 平移 2 个单位 误选 3 答案 选 解析 先解两个不等式得 02Pxx 13Qxx 由PQ 定义 故选 点评 本题通过考察两类简单不等式的求解 进一步考察对集合的理解和新定义的一种运 算的应用 体现了高考命题的创新趋向 此处的新定义一般称为两个集合的差 易错点 对新定义理解不全 忽略端点值而误选 以及解 2 log1Pxx 时出错 4 答案 选 解析 由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法 可知 均错 具体可观察如图的正方体 ACBD 但 11 AC BD不垂直 故 错 11 ABAB 但在底面上的射影都是AB 故 错 AC BD相交 但 1 AC BD异面 故 错 ABCD但 11 AB C D异面 故 错 点评 本题主要考察空间线面之间位置关系 以及射影的意义理解 关键是要理解同一条 直线在不同平面上的射影不同 线在面内 线面平行 线面相交的不同位置下 射 影也不相同 要从不用的方向看三垂线定理 充分发挥空间想象力 易错点 空间想象力不够 容易误判 正确 而错选 或 5 答案 选 C 解析 法一 特殊值法 由题意取1 2pq 则 2 1 1 11 1 limlimlim 12 122 1 11 p q nnn npn n nq nn n 可见应选 C 法二 21 11 1111 11 m m x xxx x 21 111111 mm xxxxx 令 1 x n m分别取p和q 则原式化为 21 21 1111 1 1111 11 limlim 11111 111111 p p q q nn nnnn n nnnnn 21 111 lim 11 lim 11 lim 11 p nnn nnn 所以原式 1 11 1 11 p q 分子 分母 1 的个数分别为p个 q个 点评 本题考察数列的极限和运算法则 可用特殊值探索结论 即同时考察学生思维的灵 活性 当不能直接运用极限运算法则时 首先化简变形 后用法则即可 本题也体 现了等比数列求和公式的逆用 易错点 取特值时忽略p和q是两个不相等的正整数的条件 误选 B 或不知变形而无法 求解 或者认为是 0 0 型而误选 B 看错项数而错选 D 6 答案 选 B 解析 由等比数列的定义数列 若乙 n a是等比数列 公比为q 即 2 211 2 1 nn nn aa qq aa 则甲命题成立 反之 若甲 数列 n a是等方比数列 即 2 211 2 1 nn nn aa qq aa 即公比不一定为q 则命题乙不成立 故选 B 点评 本题主要考察等比数列的定义和创新定义的理解 转换 要是等比数列 则公比应 唯一确定 易错点 本题是易错题 由 2 11 2 nn nn aa pp aa 得到的是两个等比数列 而命题乙 是指一个等比数列 忽略等比数列的确定性 容易错选 C 7 答案 选 A 解析 由题设可知点M同时满足双曲线和抛物线的定义 且在双曲线右支上 故 由定义可得 12 2 1 2MFMFa MFMD c MFMD a 2 12 22 aca MFMF caca 故原式 2 2 2 1 2 2 ac ccac ca ac aaa ca ca 选 A 点评 本题主要考察双曲线和抛物线的定义和性质 几何条件列方程组 消元后化归曲线 的基本量的计算 体现数形结合方法的重要性 易错点 由于畏惧心理而胡乱选择 不能将几何条件有机联系转化 缺乏消元意识 8 答案 选 D 解析 由等差数列的前n项和及等差中项 可得 121121 121121 11 21 22 11 21 22 nn n n nn aanaa a b bbnbb 21 21 7 2145143871912 7 2132211 n n nAnn Bnnnn nN 故1 2 3 5 11n 时 n n a b 为整数 故选 D 点评 本题主要考察等差数列的性质 等差中项的综合应用 以及部分分式法 数的整除 性 是传统问题的进一步深化 对教学研究有很好的启示作用 易错点 不能将等差数列的项与前n项和进行合理转化 胡乱选择 9 答案 选 C 解析 由向量夹角的定义 图形直观可得 当点 A m n位于直线yx 上及其下方时 满足0 点 A m n的总个数为6 6 个 而位于直线yx 上及其下方的 点 A m n有 1111 2345 6 121CCCC 个 故所求概率 217 3612 选 C 点评 本题综合考察向量夹角 等可能事件概率的计算以及数形结合的知识和方法 易错点 不能数形直观 确定点的位置 或忽略夹角范围中的 2 而误选 A 10 答案 选 A 解析 可知直线的横 纵截距都不为零 即与坐标轴不垂直 不过坐标原点 而圆 22 100 xy 上的整数点共有 12 个 分别为 6 8 6 8 8 6 8 6 10 0 0 10 前 8 个点中 过任意一点的圆的切线满足 有 8 条 12 个点中过任意两点 构成 2 12 66C 条直线 其中有 4 条直线垂直x轴 有 4 条直 线垂直y轴 还有 6 条过原点 圆上点的对称性 故满足题设的直线有 52 条 综上 可知满足题设的直线共有52860 条 选 A 点评 本题主要考察直线与圆的概念 以及组合的知识 既要数形结合 又要分类考虑 要结合圆上点的对称性来考虑过点的直线的特征 是较难问题 易错点 不能准确理解题意 甚至混淆 对直线截距式方程认识不明确 认识不到三类特 殊直线不能用截距式方程表示 对圆上的整数点探索不准确 或分类不明确 都 会导致错误 胡乱选择 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 25 分 把答案填在答题卡相应位置上 分 把答案填在答题卡相应位置上 11 答案 1 6 2 ab 解析 由互反函数点之间的对称关系 取特殊点求解 在3ybx 上取点 0 3 得点 3 0 在2yxa 上 故得6a 又26yx 上有点 0 6 则点 6 0 在 3ybx 点评 本题主要考察反函数的概念及其对称性的应用 直接求反函数也可 较为简单 易错点 运算错误导致填写其他错误答案 12 答案 2 1或满足2ab 的任意一对非零实数对 解析 由复数运算法则可知 2222 4424zbzabababbi 由题意得 2 2400 20 0abbbab ab 答案众多 如 2 1 也可 点评 本题主要考察复数的基本概念和运算 有一般结论需要写出一个具体结果 属开放 性问题 易错点 复数运算出错导致结果写错 或审题马虎 只写出2ab 不合题意要求 13 答案 3 2 解析 由约束条件得如图所示的三角形区域 令2 2xyz yxz 显然当平行直线过点 3 3 2 2 时 z取得最小值为 3 2 点评 本题主要考察线性规划的基本知识 考察学生的动手能力 作图观察能力 易错点 不能准确画出不等式组的平面区域 把上下位置搞错 以及把直线间的相对位置 搞错 找错点的位置而得到错误结果 14 答案 15 128 解析 由题意知所求概率 37 3 10 1115 22128 pC 点评 本题考察n次独立重复试验中 某事件恰好发生k次的概率 直接用公式解决 易错点 把 恰好投进 3 个球 错误理解为某三次投进球 忽略 三次 的任意性 15 答案 I 1 10 1000 1 1 0 1 16 t tt y t II 0 6 解析 I 由题意和图示 当00 1t 时 可设ykt k为待定系数 由于点 0 1 1在直线上 10k 同理 当0 1t 时 可得 0 1 11 10 10 1610 a aa II 由题意可得 1 0 25 4 y 即得 1 10 4 00 1 t t 或 1 10 11 164 0 1 t t 1 0 40 t 或 0 6t 由题意至少需要经过0 6小时后 学生才能回到教室 点评 本题考察函数 不等式的实际应用 以及识图和理解能力 易错点 只单纯解不等式 而忽略题意 在 II 中填写了其他错误答案 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 75 分 分 16 本小题主要考查平面向量数量积的计算 解三角形 三角公式 三角函数的性质等基 本知识 考查推理和运算能力 解 设中角的对边分别为 ABC ABC且且abc且且 则由 可得 1 sin3 2 bc 0cos6bc 0cot1 4 2 且 2 2sin3cos2 4 f 1 cos23cos2 2 1 sin2 3cos2 sin23cos212sin 21 3 4 2 且 2 2 363 且 22sin 213 3 即当时 当时 5 12 max 3f 4 min 2f 17 本小题主要考查频率分布直方图 概率 期望等概念和用样本频率估计总体分布的统 计方法 考查运用概率统计知识解决实际问题的能力 解 分组频数频率 1 301 34且 40 04 1 341 38且 250 25 1 381 42且 300 30 1 421 46且 290 29 1 461 50且 100 10 1 501 54且 20 02 合计1001 00 样本数据 频率 组距 1 30 1 34 1 38 1 42 1 46 1 50 1 54 纤度落在中的概率约为 纤度小于 1 40 的概 1 381 50且0 300 290 100 69 率约为 1 0 040 250 300 44 2 总体数据的期望约为 1 32 0 04 1 36 0 25 1 40 0 30 1 44 0 29 1 48 0 10 1 52 0 021 4088 18 本小题主要考查线面关系 直线与平面所成角的有关知识 考查空间想象能力和推理 运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力 解法 1 是等腰三角形 又是的中点 ACBCa ACB DAB 又底面 于是平面 CDAB VC ABCVCAB AB VCD 又平面 平面平面 AB VAB VAB VCD 过点在平面内作于 则由 知平面 CVCDCHVD HCD VAB 连接 于是就是直线与平面所成的角 BHCBH BCVAB 在中 CHDRt 2 sin 2 CHa 设 在中 CBH BHCRt sinCHa 2 sinsin 2 0 2 0sin1 2 0sin 2 又 0 2 0 4 即直线与平面所成角的取值范围为 BCVAB 0 4 且 解法 2 以所在的直线分别为轴 轴 轴 建立如图所示的空CACBCV且且xyz 间直角坐标系 则 2 0 0 0 0 0 00 00 0tan 2 22 a a CA aBaDVa 且且且且且且且且且且且且且且 A D B C H V 于是 2 tan 2 22 a a VDa 且且0 2 2 a a CD 且且 0 ABaa 且且 从而 即 22 11 0 000 2 222 a a AB CDaaaa 且且且且 ABCD 同理 22 211 0 tan00 2 2222 a a AB VDaaaaa 且且且且 即 又 平面 ABVD CDVDD AB VCD 又平面 AB VAB 平面平面 VAB VCD 设直线与平面所成的角为 平面的一个法向量为 BCVAB VAB xyz 且且n 则由 00ABVD 且nn 得 0 2 tan0 222 axay aa xyaz 且 且 可取 又 112cot 且且n 00 BCa 且且 于是 2 2 sinsin 2 22cot BCa BCa n n 0 2 0sin1 2 0sin 2 又 0 2 0 4 即直线与平面所成角的取值范围为 BCVAB 0 4 且 解法 3 以点为原点 以所在的直线分别为轴 轴 建立如图所DDCDB且xy 示的空间直角坐标系 则 222 0 0 0 00000 0 222 DAaBaCa 且且且且且且且且且且且 于是 22 0tan 22 Vaa 且且 22 0tan 22 DVaa 且且 2 0 0 2 DCa 且且 02 0 ABa 且且 A D B C V x y z 从而 即 02 0 AB DCa 且且 2 0 00 2 a 且且 ABDC 同理 即 22 02 0 0tan0 22 AB DVaaa 且且且且 ABDV 又 平面 DCDVD AB VCD 又平面 AB VAB 平面平面 VAB VCD 设直线与平面所成的角为 平面的一个法向量为 BCVAB VAB xyz 且且n 则由 得00ABDV 且 nn 20 22 tan0 22 ay axaz 且 且 可取 又 tan01 且且n 22 0 22 BCaa 且且 于是 2 tan 2 2 sinsin 21tan a BC aBC n n 0 2 0sin1 2 0sin 2 又 0 2 0 4 即直线与平面所成角的取值范围为 BCVAB 0 4 且 解法 4 以所在直线分别为轴 轴 轴 建立如图所示的空间直角坐CACBCV且且xyz 标系 则 0 0 0 0 0 00 0 2 2 a a CA aBaD 且且且且且且且且且且且 设 0 0 0 Vt t 且且 0 0 0 0 2 2 a a CVt CDABaa 且且且且且且且且 0 0 0 0000AB CVaat 且且且且 A D B C V x y A D B C V x y z 即 ABCV 22 0 000 2 222 a aaa AB CDaa 且且且且 即 ABCD 又 平面 CVCDC AB VCD 又平面 AB VAB 平面平面 VAB VCD 设直线与平面所成的角为 BCVAB 设是平面的一个非零法向量 xyz 且且nVAB 则取 得 0 0 0 0 ABxyzaaaxay AVxyzataxtz 且且且且且 且且且且且 n n za xyt 可取 又 tta 且且n 00 CBa 且且 于是 22222 1 sin 2 2 taCBt CBattata a t n n 关于 递增 0 t 且 sin t 1 0sin 2 0 4 且 即直线与平面所成角的取值范围为 BCVAB 0 4 且 19 本小题主要考查直线 圆和抛物线等平面解析几何的基础知识 考查综合运用数学知 识进行推理运算的能力和解决问题的能力 解法 1 依题意 点的坐标为 可设 N 0 Np 且 1122 A xyB xy且且且 直线的方程为 与联立得消去得ABykxp 2 2xpy 2 2xpy ykxp 且 且 y 22 220 xpkxp 由韦达定理得 12 2xxpk 2 12 2x xp 于是 12 1 2 2 ABNBCNACN SSSp xx N O A C B y x 2 121212 4p xxpxxx x 22222 4822pp kppk 当时 0k 2 min 2 2 ABN Sp 假设满足条件的直线 存在 其方程为 lya 的中点为 与为直径的圆相交于点 的中点为 AC O lACPQPQ且H 则 点的坐标为 O HPQ Q 11 22 xyp 且 2222 111 111 222 O PACxypyp 1 1 1 2 22 yp O Haayp 222 PHO PO H 222 11 11 2 44 ypayp 1 2 p aya pa 2 2 2 PQPH 1 4 2 p aya pa 令 得 此时为定值 故满足条件的直线 存在 其方程为0 2 p a 2 p a PQp l 2 p y 即抛物线的通径所在的直线 解法 2 前同解法 1 再由弦长公式得 2222222 121212 11 4148ABkxxkxxx xkp kp 22 212pkk 又由点到直线的距离公式得 2 2 1 p d k 从而 2222 2 112 21222 22 1 ABN p Sd ABpkkpk k 当时 0k 2 min 2 2 ABN Sp N O A C B y x O l 假设满足条件的直线 存在 其方程为 则以为直径的圆的方程为lya AC 11 0 0 xxxypyy 将直线方程代入得 ya 2 11 0 xx xap ay 则 2 111 4 4 2 p xap ayaya pa 设直线 与以为直径的圆的交点为 lAC 3344 P xyQ xy且且且 则有 3411 4 2 22 pp PQxxaya paaya pa 令 得 此时为定值 故满足条件的直线 存在 其方程为0 2 p a 2 p a PQp l 2 p y 即抛物线的通径所在的直线 20 本小题主要考查函数 不等式和导数的应用等知识 考查综合运用数学知识解决问题 的能力 解 设与在公共点处的切线相同 yf x 0 yg x x 00 xy且 由题意 2fxxa 2 3 a g x x 00 f xg x 00 fxg x 即由得 或 舍去 22 000 2 0 0 1 23ln 2 3 2 xaxaxb a xa x 且 且 2 0 0 3 2 a xa x 0 xa 0 3xa 即有 22222 15 23ln3ln 22 baaaaaaa 令 则 于是 22 5 3ln 0 2 h tttt t 2 1 3ln h ttt 当 即时 1 3ln 0tt 1 3 0te 0h t 当 即时 1 3ln 0tt 1 3 te 0h t 故在为增函数 在为减函数 h t 1 3 0e 且 1 3 e 且 于是在的最大值为 h t 0 且 12 33 3 2 h ee 设 22 1 23ln 0 2 F xf xg xxaxaxb x 则 F x 2 3 3 2 0 axa xa xax xx 故在为减函数 在为增函数 F x 0 a且 a 且 于是函数在上的最小值是 F x 0 且 000 0F aF xf xg x 故当时 有 即当时 0 x 0f xg x 0 x f xg x 21 本小题主要考查数学归纳法 数列求和 不等式等基础知识和