高考数学复习高考达标检测三十二空间角3类型_线线角线面角二面角理.docx

高考达标检测（三十二）空间角3类型线线角、线面角、二面角1如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，ABBEEC2，G，F分别是线段BE，DC的中点(1)求证：GF平面ADE；(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值解：(1)如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，所以GHAB，且GHAB.又F是CD的中点，所以DFCD.由四边形ABCD是矩形，得ABCD，ABCD，所以GHDF，且GHDF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GFDH.又GF平面ADE，DH平面ADE，所以GF平面ADE.(2)如图，在平面BEC内，过点B作BQEC.因为BECE，所以BQBE.又因为AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ.以B为原点，分别以， ， 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1)因为AB平面BEC，所以(0,0,2)为平面BEC的法向量设n(x，y，z)为平面AEF的法向量又(2,0，2)，(2,2，1)，由得取z2，得n(2，1,2)从而cosn，所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.2(2016全国丙卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值解：(1)证明：由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为MN平面PAB，AT平面PAB，所以MN平面PAB.(2)取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE .以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，(0,2，4)， ， .设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0,2,1)于是|cosn，|.所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.3(2017潍坊统考)如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，平面APD平面ABCD，PAPD，E在AD上，且ABBCCDDEEA2.(1)求证：平面PEC平面PBD；(2)设直线PB与平面PEC所成的角为，求平面APB与平面PEC所成的锐二面角的余弦值解：(1)证明：连接BE.在PAD中，PAPD，AEED，所以PEAD.又平面APD平面ABCD，平面APD平面ABCDAD，所以PE平面ABCD，故PEBD.在四边形ABCD中，BCDE，且BCDE，所以四边形BCDE为平行四边形，又BCCD，所以四边形BCDE为菱形，故BDCE，又PEECE，所以BD平面PEC，又BD平面PBD，所以平面PEC平面PBD.(2)取BC的中点F，连接EF.由(1)可知，BCE是一个正三角形，所以EFBC，又BCAD，所以EFAD.又PE平面ABCD，故以E为坐标原点，分别以直线EF、直线ED、直线EP为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设PEt(t0)，则D(0,2,0)，A(0，2,0)，P(0,0，t)，F(，0,0)，B(，1,0)因为BD平面PEC，所以(，3,0)是平面PEC的一个法向量，又(，1，t)，所以cos，.由已知可得sin |cos，|，得t2.故P(0,0,2)，(，1，2)，(，1,0)设平面APB的法向量为n(x，y，z)，则由可得取y，则x，z，故n(，)为平面APB的一个法向量，所以cos，n.设平面APB与平面PEC所成的锐二面角为，则cos |cos，n|.4(2017郑州模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC平面AA1C1C，A1AC60，BCA90.(1)求证：A1BAC1；(2)已知点E是AB的中点，BCAC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值解：(1)证明：取AC的中点O，连接A1O，因为四边形AA1C1C是菱形，且A1AC60，所以A1AC为等边三角形，所以A1OAC.又平面ABC平面AA1C1C，平面ABC平面AA1C1CAC，所以A1O平面ABC，所以A1OBC.又BCAC，A1OACO，所以BC平面AA1C1C，所以AC1BC.在菱形AA1C1C中，AC1A1C，所以AC1平面A1BC，所以A1BAC1.(2)连接OE，以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz，则A(0，1,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,2，)，(2,2,0)，(0,1，)，设m(x，y，z)是平面AB