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磁场对运动电荷的作用责编：张金虎目标认知学习目标1理解洛伦兹力和安培力的关系，能够由已知的安培力的大小和方向推知洛伦兹力的大小和方向。2理解洛伦兹力大小的决定因素，弄清弄清洛伦兹力与电场力的区别，能够熟练地运用洛伦兹力的计算公式。3理解洛伦兹力方向与磁场方向、电流方向的关系，能够熟练地运用左手定则判断洛伦兹力的方向。4掌握并能熟练地运用洛伦兹力的特点：与速度方向垂直，永远不做功，不改变运动电荷的动能。5掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的特点和解决此类运动的方法。6理解质谱仪和回旋加速器的工作原理和作用。学习的重点1洛伦兹力大小的计算和方向的确定2解决带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题学习的难点利用洛伦兹力的计算公式、圆周运动的知识、几何关系去解决带电粒子在匀强磁场中运动的有关问题。知识要点梳理知识点一：洛伦兹力的大小和方向要点诠释：1洛伦兹力运动电荷在磁场中所受的力叫做洛伦兹力。2洛伦兹力与安培力的关系（1）安培力是洛伦兹力的宏观表现，洛伦兹力是安培力的微观解释。电流是带电粒子定向运动形成的，通电导线在磁场中受到磁场力（安培力）的作用，提示了带电粒子的定向运动的电荷数。（2）大小关系：，式中的N是导体中的定向运动的电荷数。3洛伦兹力的方向左手定则伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内，让磁感线从掌心进入，并使四指指向正电荷运动的方向，这时拇指所指的方向就是运动的正电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向。负电荷受力的方向与正电荷受力的方向相反。4洛伦兹力的大小洛伦兹力的大小用公式来计算，其中为电荷速度方向与磁感应强度方向的夹角。（1）当运动电荷运动方向与磁感应强度方向垂直时：F=qvB；（2）当运动电荷运动方向与磁感应强度方向平行时：F=0；（3）当电荷在磁场中静止时：F=0。5洛伦兹力公式F=qvB的另一种推导设导体内单位长度上自由电荷数为n，自由电荷的电荷量为q，定向移动的速度为v，设长度为L的导线中的自由电荷在t时间内全部通过截面A，如图所示，设通过的电荷量为Q，有Q=nqL=nqvt。又因为，故。安培力可以看作是作用在每个运动电荷上的洛伦兹力的合力，这段导线中含有的运动电荷数目为nL，所以洛伦兹力 。知识点二：对洛伦兹力的理解要点诠释：1如何正确理解洛伦兹力的方向（1）洛伦兹力的方向可由左手定则判定，决定洛伦兹力方向的因素有三个：电荷的电性（正、负）、速度方向、磁感应强度的方向。当电荷一定即电性一定时，其他两个因素中，如果只让一个因素的方向相反，则洛伦兹力方向必定相反；如果同时让两个因素的方向相反，则洛伦兹力方向将不变。（2）在电荷的运动方向与磁场方向垂直时，由左手定则可知，洛伦兹力的方向既与磁场方向垂直，又与电荷的运动方向垂直，即洛伦兹力垂直于v和B两者决定的平面。（3）电荷运动的方向v和B不一定垂直，但洛伦兹力一定垂直于磁感应强度B和速度v的方向。2应用洛伦兹力公式应注意的问题（1）公式F=qvB仅适用于vB的情况，式中的v是电荷相对于磁场的运动速度。（2）当电荷的运动方向与磁场方向相同或相反，即v与B平行时，由实验可知，F=0。所以只有当v与B不平行时，运动电荷才受洛伦兹力。当电荷运动方向与磁场方向夹角为时，电荷所受洛伦兹力的计算公式为：F=Bqvsin。（3）当v=0时，F=0。即磁场对静止的电荷无作用力，磁场只对运动电荷有作用力。这与电场对其中的静止电荷或运动电荷总有电场力作用是不同的。3洛伦兹力与安培力、电场力有何区别和联系（1）洛伦兹力与安培力的关系洛伦兹力是单个运动电荷在磁场中受到的力，而安培力是导体中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表现；尽管安培力是自由电荷定向移动时受到的洛伦兹力的宏观表现，但也不能认为安培力就简单地等于所有定向移动电荷所受洛伦兹力的和，一般只有当导体静止时才能这样认为；洛伦兹力恒不做功，但安培力却可以做功。可见安培力与洛伦兹力既有紧密相关、不可分割的联系，也有显著的区别。（2）洛伦兹力与电场力的比较这两种力是带电粒子在两种不同的场中受到的力，反映了磁场和电场都有力的性质，但这两种力的区别也是十分明显的。 洛伦兹力电场力作用对象仅在运动电荷的速度方向与B不平行时，运动电荷才受到洛伦兹力带电粒子只要处在电场中，一定受到电场力大小、方向F=qvBsin，方向与B垂直，与v垂直，用左手定则判断F=qE，F的方向与E同向或反向特点洛伦兹力永不做功电场力可做正（或负）功知识点三：电视机显像管的工作原理要点诠释：1构造电视机显像管由电子枪、偏转线圈和荧光屏三部分组成，如图所示。 2原理阴极发射电子，经过偏转线圈（偏转线圈产生的磁场和电子运动方向垂直）电子受洛伦兹力发生偏转，偏转后的电子打在荧光屏上，使荧光屏发光。3扫描在电视机显像管的偏转区有两对线圈，叫做偏转线圈，偏转线圈中通入大小、方向按一定规律变化的电流，分别在竖直方向和水平方向产生偏转磁场，其方向、强弱都在不断地变化，因此电子束打在荧光屏上的光点就像下图那样不断移动，这种电视技术叫做扫描。4工作过程电视机显像管发射电子，在加速电场中被加速后进入偏转磁场。在偏转磁场的作用下，电子束在荧光屏上扫描。电子束从最上一行到最下一行扫描一遍，叫做一场，电视机中每秒要进行50场扫描，加上人的“视觉暂留”，所以我们感到整个荧光屏都在发光。知识点四：带电粒子在匀强磁场中的运动要点诠释：1运动轨迹带电粒子（不计重力）以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场中：（1）当vB时，带电粒子将做匀速直线运动；（2）当vB时，带电粒子将做匀速圆周运动；（3）当v与B的夹角为（0，90，180）时，带电粒子将做等螺距的螺旋线运动。2轨道半径和周期（vB时）如图所示，带电粒子以速度v垂直磁场方向入射，在磁场中做匀速圆周运动，设带电粒子的质量为m，所带的电荷量为q。（1）轨道半径：由于洛伦兹力提供向心力，则有，得到轨道半径。（2）周期：由轨道半径与周期之间的关系可得周期。说明：由公式知，在匀强磁场中，做匀速圆周运动的带电粒子，其轨道半径跟运动速率成正比。要注重对轨道半径的组合理解和变式理解，例如（P是带电粒子的动量，为比荷的倒数）由公式知，在匀强磁场中，做匀速圆周运动的带电粒子，周期跟轨道半径和运动速率均无关，而与比荷成反比。知识点五：质谱仪要点诠释：1质谱仪的作用及工作过程质谱仪是利用电场和磁场控制电荷运动的精密仪器，它是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具。其结构如甲图所示，容器A中含有电荷量相同而质量有微小差别的带电粒子。经过S1和S2之间的电场加速，它们进入磁场将沿着不同的半径做圆周运动，打到照相底片的不同地方，在底片上形成若干谱线状的细条，叫做质谱线，每一条谱线对应于一定的质量。从谱线的位置可以知道圆周的半径，如果再已知带电粒子的电荷量，就可以算出它的质量，这种仪器叫做质谱仪。2比荷的计算如图乙所示，设飘入加速电场的带电粒子带电荷量为+q、质量为m，两板间电压为U、粒子出电场后垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场。在加速电场中，由动能定理得。粒子出电场时，速度。在匀强磁场中轨道半径。所以粒子质量。若粒子电荷量q也未知，通过质谱仪可以求出该粒子的比荷（电荷量与质量之比）。知识点六：回旋加速器要点诠释：1直线加速器（多级加速器）如图所示，电荷量为q的粒子经过n级加速后，根据动能定理获得的动能可以达到Ek=q(U1+U2+U3+Un)。这种多级加速器通常叫做直线加速器，目前已经建成的直线加速器有几千米甚至几十千米长。各加速区的两板之间用独立电源供电，所以粒子从P2飞向P3、从P4飞向P5时不会减速。2回旋加速器利用电场对带电粒子的加速作用和磁场对运动电荷的偏转作用来获得高能粒子，这些过程在回旋加速器的核心部件两个D形盒和其间的窄缝内完成，如图所示。（1）磁场的作用：带电粒子以某一速度垂直磁场方向进入匀强磁场后，并在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，其周期和速率、半径均无关（），带电粒子每次进入D形盒都运动相等的时间（半个周期）后平行电场方向进入电场中加速。（2）电场的作用：回旋加速器的两个D形盒之间的窄缝区域存在周期性变化的并垂直于两D形盒正对截面的匀强电场，带电粒子经过该区域时被加速。（3）交变电压：为了保证带电粒子每次经过窄缝时都被加速，使之能量不断提高，须在窄缝两侧加上跟带电粒子在D形盒中运动周期相同的交变电压。（4）带电粒子的最终能量当带电粒子的速度最大时，其运动半径也最大，由牛顿第二定律，得，若D形盒的半径为R，则r=R，带电粒子的最终动能。说明：由上式可以看出，要使粒子射出的动能Ekm增大，就要使磁场的磁感应强度B以及D形盒的半径R增大，而与加速电压U的大小无关（U0）。规律方法指导1安培力是洛伦兹力的宏观表现洛伦兹力的大小和方向可由安培力的大小和方向求得。2洛伦兹力的方向总是垂直于电荷的运动方向它永远不对运动电荷做功，不改变电荷速度的大小（或动能）。但洛伦兹力能够改变运动电荷的运动状态，产生加速度。3带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动半径但其运动周期与运动速度的大小和圆周运动的半径大小无关。4在相同的条件下，正、负电荷受到洛伦兹力的方向相反解决问题时必须引起注意5带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析方法研究带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的问题，应遵循“一找圆心，二找半径R=mv / qB，三找周期T=2m / Bq或时间”的基本方法和规律，具体分析为：（1）圆心和半径的确定带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关键。首先应有一个最基本的思路：即圆心一定在与速度方向垂直的直线上。通常有两种确定方法：已知入射方向和出射方向时，可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和射出方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点。O为轨道圆心）。已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图乙所示，P为入射点，M为出射点。O为轨道圆心）。（2）运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为时，其运动时间可由下式表示：（或）。说明：式中的以“度”为单位（或中的以“弧度”为单位），T为该粒子做圆周运动的周期，以上两式说明转过的圆心角越大，所用时间越长，与运动轨道长度无关。确定带电粒子运动圆弧所对圆心角的两个重要结论：带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角叫做偏向角，偏向角等于圆弧轨道对应的圆心角，即，如图所示。圆弧轨道所对圆心角等于PM弦与切线的夹角（弦切角）的2倍，即，如图所示。6带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题的解题步骤带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法三步法：（1）画轨迹：即确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹。（2）找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系。（3）用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式。典型例题透析题型一：带电粒子在匀强磁场中运动的解题方法1、质子（）和粒子（）从静止开始经相同的电势差加速后垂直进入同一匀强磁场做圆周运动，则这两个粒子的动能之比Ek1Ek2=_，轨道半径之比r1r2=_，周期之比T1T2=_。思路点拨：本题考查了带电粒子经电场加速后进入匀强磁场做匀速圆周运动的问题。解析：粒子在电场中加速时，只有电场力做功，由动能定理得。故Ek1Ek2=（q1U）（q2U）=q1q2=12。由得。又由牛顿第二定律，粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动，则。故圆周半径 。所以。粒子做圆周运动的周期 。故 。答案：12 1 12总结升华：理解粒子的动能与电场力做功之间的关系，掌握粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径和周期公式是解决此题的关键。题型二：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时间的计算2、一个负离子，质量为m，电荷量大小为q，以速率v垂直于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中，如图甲所示。磁感应强度B的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图中纸面向里。（1）求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离。（2）如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P，证明：直线OP与离子入射方向之间的夹角跟t的关系是。 解析：（1）离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动。设圆半径为r，则据牛顿第二定律可得：，解得。 如图乙所示，离子回到屏S上的位置A与O点的距离为：AO=2r，所以。（2）当离子到位置P时，圆心角： 因为，所以。举一反三【变式】如图所示，一束电子（电荷量为e）以速度v垂直射入磁感应强度为B，宽度为d的匀强磁场中，穿过磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角为30，则电子的质量是_，穿入磁场的时间是_解析：电子在磁场中运动，只受洛伦兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为F洛v，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛伦兹力方向的交点上，如图中O点。由几何知识可知，所对圆心角，OB为半径r。r=d / sin30=2 d，又由r=mv / Be得m=2dBe / v。由于所对圆心角是30，因此穿过磁场区域的时间，由于，故。答案： 总结升华：对带电粒子的匀速圆周运动的求解，关键是画出匀速圆周运动的轨迹，利用几何知识找出圆心及相应的半径，从而找到圆弧所对应的圆心角。题型三：带电粒子在有界磁场中运动的临界问题3、一磁场宽度为L，磁感应强度为B，如图所示，一电荷质量为m，带电荷量为q，不计重力，以一速度（方向如图）射入磁场。若不使其从右边界飞出，则电荷的速度应为多大？思路点拨：这是一道带电粒子在有界磁场中的极值问题。若要粒子不从右边界飞出，则当达到最大速度时，半径最大，此时运动轨迹如图所示，即轨迹恰好和右边界相切。解析：由几何关系可求得最大半径r，即.所以 。由牛顿第二定律得Bqv=mv2 / r。所以 。答案：总结升华：解答此类问题的关键是画出粒子的轨迹，定出圆心，并根据粒子进入磁场时的初始条件和射出条件找到极值（边界）条件。确定半径时要用到几何知识，且根据边角关系来确定。题型四：带电粒子在匀强磁场中运动的边界问题4、如图甲所示，在x轴的上方（y0）存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m，电荷量为q的正离子，速率都为v，对那些在xy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的最大值为x=_，y=_。思路点拨：不知道哪些离子将打到最远是本题解答错误的一个重要原因。解析：根据左手定则可以判断出：正离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，其偏转方向为顺时针方向，射到y轴上最远的离子是沿x轴负方向射出的离子。而射到x轴上最远的离子是沿y轴正方向射出的离子。这两束离子可能到达的最大x、y值恰好是圆周的直径，如图乙所示。答案： 总结升华：粒子在磁场中做匀速圆周运动时到达的最远点在以入射点为圆心，以轨道的直径为半径的圆周上。边界上的入射状态或某些特殊放射方向，往往决定着带电粒子的运动范围（或边界）。例本题中，沿x轴负方向射入的粒子和沿着y轴正方向射入的粒子，决定着它在y方向和x方向上到达的最远点。题型五：带电粒子进入圆形磁场中运动5、电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏技术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图甲所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度，此时磁场的磁感应强度B应为多少？解析：题目选取一个现实问题，解题的关键是根据题意作图，如图乙所示。电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心为C，半径为R。以v表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表示电子的质量和电荷量，则 又有由以上各式解得。总结升华：带电粒子射入圆形匀强磁场区域时，入射方向和粒子离开磁场时的方向存在着对称性。由数学的知识可以证明：粒子沿着圆形区域半径的方向入射必将沿着半径的方向射出！一般地说入射方向与圆形磁场的半径成多大的角，则出射方向也与半径成多大的角。题型六：带电粒子在匀强磁场中的偏转6、一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于x轴以速度v从y轴上的a点进入图a中第一象限所示的区域，为了使该质点能从x轴上b点以垂直于x轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面，磁感强度为B的匀强磁场，若此磁场仅分布在一个圆形内，试求这圆形磁场区域的最小半径（重力忽略不计）。（94全国） 解析：粒子运动速度方向转过90角，所以粒子必在磁场中转过圆弧，并且圆弧半径必为，圆弧轨迹与过a点且与y轴相垂直的直线和过b点与x轴相垂直的直线相切。分别过a点和b点作平行于x轴和y轴的两条直线，它们与粒子圆弧轨迹相切于a和b，则实线为粒子在磁场中运动的轨迹，如图（b）所示。为保证在磁场内，并且磁场区域为最小的圆，显见磁场区域应以连线为其直径，如图中的虚线圆所示。所示，磁场圆形区域半径的数学表达式为：。总结升华：数学知识的灵活运用是解决本题的关键。不能认为粒子从a到b点始终在磁场中运动。题型七：关于回旋加速器的计算分析7、回旋加速器是用来加速一群带电粒子使它获得很大动能的仪器，其核心部分是两个D形金属扁盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以便在盒间窄缝中形成匀强电场，使粒子每穿过狭缝都得到加速，两盒放在匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射出的粒子电荷量为q，质量为m，粒子最大回旋半径为Rmax，其运动轨迹如图，问：（1）盒内有无电场？（2）粒子在盒内做何种运动？（3）所加交流电频率应是多大，粒子角速度为多大？（4）粒子离开加速器时速度为多大，最大动能为多少？（5）设两D形盒间电场的电势差为U，盒间距离为d，其电场均匀，求加速到上述能量所需时间。解析：扁形盒由金属导体制成，扁形盒可屏蔽外电场，盒内只有磁场而无电场，带电粒子在扁形盒内做匀速圆周运动，在窄缝间做匀加速直线运动，由于粒子在电场内运动时间极短，要使粒子每次在窄缝间都得到加速，交流电压频率必须等于粒子在D形盒间运动的回旋频率。由，可求出最大回旋半径所对应的最大动能，粒子每旋转一周两次通过窄缝，旋转一周增加能量2qU。据求得的最大能量便可求得粒子在磁场中旋转次数n，粒子在磁场中运动时间即为nT。在旋转n次过程中，粒子在D形盒的两窄缝间通过总路程为2nd，每次通过时粒子加速度未变，粒子通过2nd的整个过程可视为初速度为零的匀加速直线运动，由匀变速直