安徽马鞍山第二中学高三数学下学期模拟考试文

安徽省马鞍山市第二中学2019届高三数学下学期模拟考试试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则集合中子集的个数是（）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出集合M与N，进而由交集的定义求得MN，结合集合的元素数目与集合的子集数目分析可得答案【详解】根据题意，A=xN|-2x4=0，1，2，3，B=x|0=x|-1x3，则AB=0，1，2，则集合AB中子集的个数是23=8；故选：B【点睛】本题考查集合的交集计算，关键是求出集合M、N，属于基础题2.已知i为虚数单位，mR，若复数（2-i）（m+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则复数的虚部为（）A. 1B. iC. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算以及复数的几何意义，求出m的值结合复数虚部的定义进行求解即可【详解】（2-i）（m+i）=2m+1+（2-m）i，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则2-m=0得m=2，复数，即复数的虚部是1，故选：A【点睛】本题主要考查复数的计算，结合复数的几何意义是解决本题的关键3.折扇由扇骨和扇面组成，初名腰扇，滥觞于汉末，曾是王公大人的宠物到了明清时期在折扇面上题诗赋词作画，则成为当时的一种时尚，并一直流行至今现有一位折扇爱好者准备在下图的扇面上作画，由于突然停电，不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域，则墨汁恰好落入扇面的概率约为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出扇面的面积和扇子的面积，再利用几何概型的概率公式求解.【详解】由题得，扇面的面积为S1=，扇子的面积为S2=，则墨汁恰好落入扇面的概率P=故选：D【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.已知双曲线C：的左焦点为F，直线x=c（c为半焦距长）与C的渐近线的交点为A、B，若FAB为等腰直角三角形，则C的离心率为（）A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出A、B、F的坐标，利用FAB为等腰直角三角形，求解双曲线的离心率即可【详解】双曲线C：的左焦点为F（-c，0），双曲线的渐近线方程：bxay=0，由x=c，可得A（c，），B（c，-）；FAB为等腰直角三角形，可得2c=，可得b=2a，所以双曲线的离心率为：e=故选：C【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.CPI是居民消费价格指数（consumerpriceindex）的简称居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标如图是根据国家统计局发布的2017年6月-2018年6月我国CPI涨跌幅数据绘制的折线图（注：2018年6月与2017年6月相比较，叫同比；2018年6月与2018年5月相比较，叫环比），根据该折线图，则下列结论正确的是（）A. 2018年1月至6月各月与去年同期比较，CPI有涨有跌B. 2018年2月至6月CPI只跌不涨C. 2018年3月以来，CPI在缓慢增长D. 2018年8月与同年12月相比较，8月环比更大【答案】B【解析】【分析】根据同比，环比的定义，结合所给调查数据逐项分析判断得解【详解】A选项，因为同比数据有增无减，故描述不正确；B选项，2018年2月至6月，环比都是负数，所以2月至6月CPI只跌不涨，故B选项正确 C选项，本图表的调查数据为比较数据，即为与去年同期比较，或者与上月比较的增长或减少的情况，而非CPI的真实数据，故C错 D选项，图中没有2018年8月与同年12月的数据，故无法判断 综上，B正确， 故选：B【点睛】本题主要考查新定义，考查折线图，意在考查学生对这些知识理解掌握水平和分析推理能力.6.设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则的一个充分条件是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】利用线面位置关系和充分条件的定义对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于选项A，B，若n，则，故A，B错误； 对于选项C，若=l，mnl，m，n为，外的直线，显然有m，n，故C错误； 对于选项D，若m，mn，则n，又n，故，故D正确 故选：D【点睛】本题主要考查空间几何元素的位置关系的判断证明，考查充分条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知函数，若，则a、b、c之间的大小关系是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，求出函数的定义域，结合函数的解析式可得，即函数为偶函数，设，利用复合函数单调性的判断方法分析可得在，上为减函数，又由的值，可得在区间，上，由此可得在区间，上为增函数，据此分析可得答案【详解】根据题意，函数，其定义域为，则，即函数为偶函数，设，有，设，则，当时，为减函数且，而在为增函数，则在，上为减函数，又由，则在区间，上，又由，则在区间，上为增函数，又由，则有，故选：【点睛】本题考查复合函数的单调性的判定和应用，考查函数奇偶性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，BAD=60，点E在CD上，且点E是三等分点，靠近点D，BE与AC的交点为F，则=（）A. B. C. D. 4【答案】C【解析】【分析】建立坐标系，求出相关的坐标，推出所求向量的坐标然后求解向量的数量积即可【详解】建立如图所求的坐标系：则，所以 的方程：，的方程为：，联立直线方程可得，所以故选：【点睛】本题考查向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考查转化思想以及计算能力9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某组合体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】几何体为半圆柱和直三棱柱的组合体，作出直观图计算面积即可【详解】由三视图可知几何体为半圆柱与三棱柱的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为2，三棱柱的底面为直角三角形，直角边为1和2，高为2，几何体的表面积为故选：【点睛】本题考查三视图还原几何体，考查组合体的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知函数的部分图象如图所示，其，把函f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移2个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件先求出和，结合函数图象变换关系进行求解即可【详解】，即，则，即，则，则，即，得，即，把函的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到，再把所得曲线向左平移2个单位长度，得到函数的图象，即到，故选：【点睛】本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出 和的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键11.已知中心在原点的椭圆C的左焦点恰好为圆F：的圆心，有两顶点恰好是圆F与y轴的交点若椭圆C上恰好存在两点关于直线y=x+t对称，则实数t的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】求得圆的圆心，可得椭圆的，求得圆与轴的交点，可得，进而得到，可得椭圆方程，设出椭圆上关于直线对称的两点连线的方程为，设两点的坐标为，联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，可得中点坐标代入已知直线，可得，的关系，进而得到所求范围【详解】的圆心为，可得椭圆的，圆与轴的交点为，可得椭圆的，可得，即有椭圆方程为，设椭圆上关于直线对称的两点连线的方程为，设两点的坐标为，由，得，设的中点，则，中点在上，即，得故选：【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题12.对于函数y=f（x），y=g（x），若存在，使f（）=g（-），则称M（，f（），N（-，g（-）是函数f（x）与g（x）图象的一对“雷点”，已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，恒有f（x+1）=f（x），且0x1时，f（x）=x，若g（x）=，函数f（x）与g（x）的图象怡好存在一对“雷点”，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由即时定义的理解得：函数与的图象怡好存在一对“雷点”，即函数的图象与函数在恰有一个交点，函数的图象是将函数的图象向上或向下平移个单位，当曲线的图象与直线相切时，求得，由图可知或，即得解.【详解】函数与的图象怡好存在一对“雷点”，即函数的图象与函数在恰有一个交点，函数的图象是将函数的图象向上或向下平移个单位，当曲线的图象与直线相切时，,所以.由图可知：或，即实数的取值范围为：，故选：【点睛】本题考查了对即时定义的理解、函数图象的作法及函数图象的平移，考查函数的图像和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为_【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义可知在某点处的导数为切线的斜率，先求出导函数，利用配方法求出导函数的最小值即为切线最小斜率，再用点斜式写出化简【详解】曲线，时，切线最小斜率为2，此时，切线方程为，即故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及二次函数的最值等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题14.已知，则tan=_【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数关系式和二倍角公式进行化简即可【详解】，即，即，即，则，得，则，故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数值化简和求值，利用同角三角函数关系式和二倍角公式进行化简是解决本题的关键15.已知x、y满足约束条件，若的最大值为，则a=_【答案】2【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，结合函数的单调性转化求解即可【详解】、满足约束条件的可行域如图：的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率由可行域可知，所以，所以是关于的增函数，函数的最大值为，可得，解得故答案为：2【点睛】本题主要考查线性规划求最值，考查直线斜率的应用和函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若-ccosB是与的等差中项，则sin2Atan2C的最大值为_【答案】【解析】【分析】由是与的等差中项，结合正弦定理，可以求出角为，则，求的最大值，将用替换后，换元用基本不等式处理，可得解【详解】是与的等差中项，为三角形内角，令，即，令，则，当且仅当t=时取等.故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的性质、正弦定理、三角恒等变换、基本不等式等知识，多次使用换元思想，难度较大，属于难题三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列的前n项和为（1）求证：数列为等差数列；（2）记，求数列的前n项和Rn；（3）记，求数列的前2n项和【答案】（1）见解析；(2)（3）【解析】【分析】（1）正项数列的前项和为，相减可得：，根据，可得，验证时是否成立，进而证明结论（2）由（1）可得：可得利用等比数列的求和公式即可得出（3）可得利用求和公式即可得出【详解】（1）证明：正项数列an的前n项和为，相减可得： =-，化为 ,，时，解得，满足上式即，数列为等差数列，首项为1，公差为1（2）解：由（1）可得：数列的前项和（3）解：数列的前项和【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.如图，点C在以AB为直径的上运动，PA平面ABC，且PA=AC，点D、E分别是PC、PB的中点（1）求证：PCAE；（2）若AB=2BC=2，求点D到平面PAB距离【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明平面可得，再结合即可得出平面，故而；（2）取中点，过作于，则可证平面，从而即为所求【详解】（1）证明：PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，AB是圆的直径，BCAC，又ACPA=A，BC平面PAC，又PC平面PACBCPC，DE是PBC的中位线，DEBC，PCDE，PA=AC，D是PC中点，ADPC，又ADDE=D，PC平面ADE，又AE平面ADE，PCAE（2）解：取AC中点F，过F作FMAB于M，D，F分别是PC，AC的中点，DFPA，又DF平面PAB，PA平面PAB，DF平面PAB，D到平面PAB的距离等于F到平面PAB的距离PA平面ABC，FM平面ABC，FMPA，又FMAB，PAAB=A，FM平面PAB，F到平面PAB的距离为线段FM的长在RtABC中，AB=2AC=2，AC=，C到AB的距离为=，又F为AC的中点，FM=点D到平面PAB的距离为【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质，点到平面的距离计算，属于中档题19.某大学就业部从该大学2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行了问卷调查，其中有一项是他们的月薪情况，经调查统计发现，他们的月薪收入在3000元到10000元之间，根据统计数据得到如下的频率分布直方图：若月薪落在区间的左侧，则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见其中分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s1500元（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（1）现该校2018届大学本科毕业生张茗的月薪为3600元，试判断张茗是否属于“就业不理想”的学生？（2）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000元的概率；（3）位于某省的一高校2018届某专业本科毕业生共200人，现他们决定于2019年元旦期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用假定这200人与所抽取样本中的100人月薪分布情况相同，并用样本频率进行估计，现有两种收费方案：方案一：按每人一个月薪水的10%收取；方案二：月薪高于样本平均数的毎人收取800元，月薪不低于4000元但低于样本平均数的每人收取400元，月薪低于4000元的不收取任何用问：哪一种收费方案最终总费用更少？【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1），经比较可知张茗属于就业不理想的学生；（2）月薪不超过5000的有3人，超过5000的有3人，从6人中抽2人共有15种，其中符合恰有1人月薪不超过5000的有9种，由古典概型概率公式可得；（3）方案一收取132000元，方案二收取108000元，经比较可知方案二符合题意【详解】（1）=350010000.00005+450010000.00010+550010000.00015+650010000.00030+750010000.00020+850010000.00015+950010000.00005=6650，-2s=6650-3000=36503600，所以张茗属于“就业不理想“的学生（2）第一组有10000.00005100=5人，第二组有10000.00010100=10人，第三组有10000.00015100=15人，所以按照分层抽样抽6人时，第一组抽1人，记为A，第二组抽2人，记为B，C，第三组抽3人，记为D，E，F，从这6人中抽2人共有15种：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）其中恰有一人月薪不超过5000元的有9种：（A，D），（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F）根据古典概型概率公式可得P=（3）方案一：月薪在3000-4000之间的收取10000.0000520035000.1=3500；月薪在4000-5000之间的收取10000.0001020045000.1=9000；月薪在5000-6000之间的收取10000.0001520055000.1=16500；月薪在6000-7000之间的收取10000.0003020065000.1=39000；月薪在7000-8000之间的收取10000.0002020075000.1=30000；月薪在8000-9000之间的收取10000.0001520085000.1=24500；月薪在9000-10000之间的收取10000.0000520095000.1=9500；共收取132000元方案二：月薪高于6650的收取8002001000（0.00020+0.00015+0.00005）=64000；月薪不低于4000但低于6650的收取4002001000（0.00010+0.00015+0.00030）=44000；共收取108000故方案二最终总费用更少【点睛】本题考查了频率分布直方图中平均数的计算，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.在平面直角坐标系xOy中，不过原点的动直线l：y=x+m交抛物线C：x2=2py（p0）于A、B两点，且（1）求抛物线C的方程；（2）设直线y=x与C的异于原点的交点为P，直线l与C在点P处的切线的交点为D，设，问：t是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）联立消去并整理得：，然后根据韦达定理以及向量数量积列式可得；（2）先求出在点处的切线为，联立 求出，然后联立直线的标准参数方程与，利用参数的几何意义可得，最后可得比值为定值【详解】（1）联立消去并整理得：，设，则，又因为，抛物线的方程为：（2）由可得，由求导得，所以在点处的切线为：，即，联立可得，又直线的参数方程为：为参数），将直线的参数方程代入到得，设，对应的参数为，则，为定值【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系和定值问题，考查数量积的计算，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数（1）讨论函数在上的单调性与最值；（2）证明：当时，【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1），由此利用导数性质能讨论函数在上的单调性与最值（2）推导出，从而，只要证，即证，由此能证明当时，【详解】（1），当时，函数在上的单调递增，无最值；当时，令，