傅里叶变换与傅里叶级数.doc

傅里叶级数和傅里叶变换的区别与联系 以上我们分别讨论了傅里叶级数和傅里叶变换的定义及其存在条件，现简要讨论一下二者的区别。 前已述及，傅里叶级数对应的是周期信号，而傅里叶变换对应的是非周期信号；前者要求信号在一个周期内的能量是有限的，而后者要求信号在整个时间区间内的能量是有 此外，傅里叶级数的系数X(k2。)是离散的，而傅里叶变换x(jn)是的连续函数。 由此可见，傅里叶级数与傅里叶变换二者的物理含义不同，因而量纲也不同。X(k。)代表了周期信号x(t)的第k次谐波幅度的大小，而x(js2)是频谱密度的概念为说明这一点，我们可将一个非周期信号视为周期丁趋于无穷大的周期信号。由。=2/T可知，若T则必有。o，k。，将(313)式两边同乘以T，并取T时的极限，可得 该式表明，一个周期信号的傅里叶变换是由频率轴上间距为。的冲激序列(Drac函数)所组成，这些冲激序列的强度等于相应的傅里叶系数乘以2兀。这样的离散频谱又称为“线谱”。由冲激函数的定义和频谱密度的物理概念可知，周期信号的频谱应理解为在无穷小的频率范围内取得了一个“无限大”的频谱密度。无限大是从冲激函数的角度来理解的。冲激函数的强度为2zcX(kf2。)，单纯地从X(kf2。)来理解，它无密度的概念，它代表了在kf2。处的谐波的大小。 由此可以看出，本不具备傅里叶变换条件的周期信号，在引入了冲激信号后也可以作傅里叶变换。当然，变换的结果也应从冲激信号的角度来理解。这样，由(3118)式，我们可以把傅里叶级数和傅里叶变换统一在一个理论框架下来进行讨论，并建立起二者的联系。 由上述的讨论，我们不难得出如下的结论：时域连续的周期信号的傅里叶变换在频域是离散的、非周期的。 当周期信号的周期T趋于无穷大时，|由(3118)式给出的离散频谱将变成连续谱，它对应的是周期信号的一个周期的傅里叶变换，但由于周期为无穷大，因此，它对应的实际上是(317)式的非周期信号的傅里叶变换。由此我们可得出另一个结论：时域连续的非周期信号的傅里叶变换在频域上是连续的、非周期的。 读者在有关“信号与系统”的教科书(例如，参考文献E2，8，13)中都可看到有关连续时间信号傅里叶变换与傅里叶级数的详述，本书不再对此作进一步的讨论。下面仅给出几个常用周期信号傅里叶变换的例子。 3.2.1 从傅里叶级数到傅里叶变换 从例2-3可知，周期脉冲信号离散频谱函数为 其随频率的变化规律如图3.5所示（参看图2.6）。 图3.5 周期To增加对离散频谱的影响 从图中可见：当振幅值等于为最大；当基频，各谱线之间的间隔，频谱包络线第一个过零点的值按 求得 若不是整数说明过零点的频率不存在谐波分量。 现设脉冲宽度秒，周期从秒增加到2秒、4秒，则求得相应的离散频谱分别如图3.5(a)(b)(c)所示。该图表示谱线之间（相邻频率分量）的间隔，随着的增加在逐步减少。从到第一个过零点的频带宽度，因不变而保持不变，故而从之间所容纳的谐波分量随着的增加而增多，其结果使得谱线越来越密集。如果把非周期信号看作周期信号，当周期趋于无穷的极限情况，则由于，各谱线之间的间隔趋于零，使原为离散的频谱变成连续频谱，虽然这时频谱的变化规律仍按包络线在变化。但因幅度频谱趋于零，以致难以用无限小频谱函数值来描述非周期信号的频谱特性。为了避免对的影响，定义一个物理量 该式表示每单位频带宽度的复频谱，故称为频谱密度。当，则得 (3.7) 式(3.7)是连续变量的函数，称为非周期信号频谱密度函数。按理，就可以用来表征非周期信号的频谱特性，但为了与习惯上通用的定义式相一致，又称式(3.7)乘以常数，即定义频谱密度为： (3.8)式(3.8)把连续时间函数变换为频率的连续函数，称这为信号的傅里叶变换或连续时间傅里叶变换（CTFT）。由于它在频域反映了信号的基本特征，因而是非周期信号进行频域分析的理论依据和最基本的公式。3.2.2 频谱函数与频谱密度函数的区别上一页下一页 从以上推导过程可见，周期信号离散频谱函数与非周期信号连续频谱密度函数之间有着密切的关系，即 (3.9) 按周期信号的傅里叶级数表示式为 当T0 则 nw0w,wdw, 故得 （3.10） 式(3.10)与式(3.8)相对应，它把连续频率函数变换为连续时间函数，故称之为频谱密度x(w)的傅里叶反变换（ICTFT）。该式说明一个非周期信号是由频率为无限密度，幅度等于无限小，无限多的复指数信号的线性组合而成。它类似周期信 号，通过傅里叶级数把信号分解成由无穷多的复指数或正弦信号的线性组合，藕以在时间域对信号进行分析。但在频率域它们却有明显的不同，这主要表现在周期信 号的频谱是离散的复频谱，表示的是每个谐波分量（单一频率）的复振幅，而非周期信号的频谱是连续的频谱，表示的是每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅。 所以x(w)是频谱密度的函数，是个复量，即，有的书用x(jw)表示。由于它反映了x(t)分解成不同频率正弦分量的幅度和相位的变化规律，为了方便仍通称为x(t)的频谱。其模|x(w)|称为幅度频谱，幅角称为相位频谱。但应注意它与周期信号的离散频谱在内涵上有所差异。式(3.8)与式(3.10)构成一对傅里叶变换，通常可记为 (3.11) (3.12) 式中符号“F”代表傅里叶变换，“F-1”代表傅里叶反变换。为了简便也可以采用下列符号表示傅里叶变换对 双箭头的含义是x(t)的傅里叶正变换为x(w),x(w)的傅里叶反变换为x(t)。从上列关系式可见，如果采用式(3.7)作为傅里叶正变换的定义式，则其反变换式(3.12)就不出现常数。所以两种定义式都是可行的，仅仅是在正、反变换式子中的常系数互相对调，有所不同而已。这种情况，在各种数学变换关系式中经常会遇见。 傅里叶变换是一对线性变换，它们之间存在一对一的关系，其中一个积分方程是另一个积分方程的解。式(3.12)从已知x(w)恢复原有信号x(t)称为合成公式；式(3.11)从已知信号x(t)求它的组成分量x(w)称为分解公式。通过它们把时域与频域有机地联系起来。非周期信号存在傅里叶变换的条件需要满足下列狄里赫利条件： 1信号x(t)绝对可积，即 按 所以存在傅里叶变换。 2在任意有限区间内，信号x(t)只有有限个最大值和最小值。 3在任意有限区间内，信号x(t)，仅有有限个不连续点，而且在这些点都必须是有限值。 上列第一条是充分条件但不一定必要，第二、三条是必要条件量不充分。按一个绝对可积的信