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文档简介
万学教育 海文考研 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)设,求的零点个数( )01 23解:分析:令,则可得零点的个数为3.(2)曲线方程为函数在区间上有连续导数,则定积分( )曲边梯形面积. 梯形面积.曲边三角形面积.三角形面积.解:分析:,其中是矩形面积,为曲边梯形的面积,所以为曲边三角形的面积。(3)在下列微分方程中,以(为任意常数)为通解的是( ).解:.分析;由可知其特征根为.故对应的特征方程为 ,即所以所求微分方程为, 选.(4)判断函数间断点的情况( )有1个可去间断点,1个跳跃间断点有1个跳跃间断点,1个无穷间断点有两个无穷间断点有两个跳跃间断点解:分析:的间断点为,而,故是可去间断点; ,故是跳跃间断点 故选。(5)设函数在内单调有界,为数列,下列命题正确的是( )若收敛,则收敛. 若单调,则收敛.若收敛,则收敛.若单调,则收敛.解:分析:若单调,则由在内单调有界知,单调有界,因此收敛,应选.(6)设连续,则,则( ) 解:选A分析;用极坐标得(7)设为阶非零矩阵,为阶单位矩阵. 若,则( )不可逆,不可逆.不可逆,可逆.可逆,可逆. 可逆,不可逆. 解:分析:,故均可逆。(8)设,则在实数域上与合同的矩阵为( ). . 解:分析:则。记,则则二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9)连续,则解:分析:,由连续,则(10)曲线在点处的切线方程为.解:.分析:设,斜率,在处,所以切线方程为,即(11)求函数的拐点_.解:分析:,令,得,而时,左右两边不变号,故不是拐点,时,二阶导数不存在且左右两边正负号改变,故是拐点。(12)已知,则.解:分析;令,从而,对方程两边去对数得,对改方程两边对求导,所以,(13)矩阵的特征值是,其中未知,且=-48,则=_.解:=-1分析:由矩阵特征值与矩阵行列式之间的关系得,故=-1(14)设为2阶矩阵,为线性无关的2维列向量,则的非零特征值为.解:1分析:记可逆,故与有相同的特征值,故非零的特征值为1。三、解答题:1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求极限.解: (17)(本题满分10分)求积分 解:分析:令,则(18)(本题满分10分)求函数在在约束条件和下的最大和最小值.解:设得方程组即,解得 或得 .(19)(本题满分10分)曲线满足对于任意的曲线是严格递增,在轴上,该曲线与直线及围成一曲边梯形.该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体,其体积为,侧面积为.如果二阶可导,且,求曲线.解:旋转体体积 旋转体的侧面积 由两边求导,得 从而 ,得.所以特征方程为 , 特征根为.则通解为 .由 ,得 .所以 .故该曲线方程为(20)(本题满分11分)求二重积分其中解: 分析:(21)(本题满分11分)证明(1)积分中值定理;(2)已知在上连续且可导,证明至少存在一点,.证明:(1) 定积分中值定理:如果函数在积分区间上连续,则在上至少存在一个点,使下式成立:设及分别是函数在区间上的最大值及最小值,则不等式各除以,得.这表明,确定的数介于函数的最小值及最大值之间.根据闭区间上连续函数的介值定理,在上至少存在一点,使得函数在点处的值与这个确定的数值相等,即应有两端各乘以,即得所要证的等式.(2)证明:由积分中值定理,则至少存在一点,使得,由题得若,则由罗尔定理存在点,使得;若,不妨设,由连续与介值定理存在点,使,在区间上应用罗尔定理,存在点,使得;若,同理可得存在点,.证毕(22)(本题满分11分)设矩阵,现矩阵满足方程,其中,(1)求证(2)为何值,方程组有唯一解,求(3)为何值,方程组有无穷多解,求通解解:方程组有唯一解由,知,又,故。记,由克莱姆法则知,方程组有无穷多解由,有,则故的同解方程组为,则基础解系为,为任意常数。又,故可取特解为所以的通解为为任意常数。(23)(本题满分11分) 设为3阶矩阵,为的分别属于特征值特征向量,向量满足,证明(1)线性无关;(2)令,求解:(1)假设线性相关,则可由线性表出,不妨
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