数学人教版八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题 教学设计.doc

134 课题学习 最短路径问题能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理一、创设情景，明确目标前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？二、合作探究，达成目标探索最短路径问题（将“将军饮马”问题分解成两个层面的问题）活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教几个百思不得其解的问题：问题一：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到河流的另一侧B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？AB 引导学生将实际问题抽象为数学问题，再利用“两点之间，线段最短”解决最短路径问题。（第一个问题学生解决比较轻松，为第二个问题的解决打下基础.) 问题二：如果从图中的A地出发，河边l 饮马后到河流同侧点B地这时在河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？，精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题你能将这个问题抽象为数学问题吗？追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？答：将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 答：(1)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； (2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地，再回到B 地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图)问题2：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC与CB的和最小？ 追问1：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？追问2：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B吗？展示点评：作法：(1)作点B 关于直线l 的对称点B；(2)连接AB，与直线l 交于点C.则点C 即为所求问题3你能用所学的知识证明AC BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C(与点C 不重合)，连接AC，BC，BC.由轴对称的性质知， BC BC，BCBC. AC BC AC BC AB， ACBC ACBC. 在ABC中， ABACBC， AC BCACBC.即 AC BC 最短. 小组讨论：证明AC BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C(与点C 不重合)，证明AC BC ACBC？这里的“C”的作用是什么？反思小结：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题利用三角形的三边关系，若直线l上任意一点(与点C 不重合)与A，B 两点的距离和都大于AC BC，就说明AC BC 最小. C的代表的是除点C以外直线l上的任意一点三、拓展应用，巩固提高：应用一：八年级十班同学做游戏，在活动区域边放了一些球，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A处。路线：小明PA（本题数学模型和合作探究的问题二一致，学生通过独立解决，感悟知识方法的迁移运用）E应用二：在上个游戏中，如果另一侧放着一些小木棍，小明先去捡球，还要跑到另一侧去取木棍，则小明又应按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，小木棍，才能最快跑到目的地A处。CDP路线：小明DEA（本题在上一题的基础上增加了一条直线，轴对称变换也增加了难度，老师