南阳市2015-2016学年高二下期中数学试卷(理科)含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2015年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷（理科） 一 大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 . 1复数 的虚部是（ ） A i B i C 1 D 1 2如果命题 p（ n）对 n=k 成立（ nN*），则它对 n=k+2 也成立，若 p（ n）对 n=2 成立，则下列结论正确的是（ ） A p（ n）对一切正整数 n 都成立 B p（ n）对任何正偶数 n 都成立 C p（ n）对任何正奇数 n 都成立 D p（ n）对所有大于 1 的正整数 n 都成立 3已知函数 f（ x） = +1，则 的值为（ ） A B C D 0 4直线 与曲线 相切，则 b 的值为（ ） A 2 B 1 C D 1 5已知复数 z 的模为 2，则 |z i|的最大值为（ ） A 1 B 2 C D 3 6曲线 y=0， 1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A B 1 C 2 D 3 7用反证法证明某命题时，对其结论： “自然数 a、 b、 c 中恰有一个奇数 ”正确的 反设为（ ） A a、 b、 c 都是奇数 B a、 b、 c 都是偶数 C a、 b、 c 中至少有两个奇数 D a、 b、 c 中至少有两个奇数或都是偶数 8已知函数 f（ x） =3x+c 有两个不同零点，且有一个零点恰为 f（ x）的极大值点，则c 的值为（ ） A 0 B 2 C 2 D 2 或 2 9已知 b a，下列值： f（ x） |f（ x） | |的大小关系为（ ） A | | |f（ x） | f（ x） |f（ x） | f（ x） f（ x） |f（ x） | f（ x） f（ x） 2 页（共 18 页） D |f（ x） | f（ x） f（ x） 0设 f（ x）是函数 f（ x）的导函数，将 y=f（ x）和 y=f（ x）的图象画在同 一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） A B CD 11设函数 f（ x）是定义在（ ， 0）上的可导函数，其导函数为 f（ x），且有 2f（ x） + x） 不等式（ x+2014） 2f（ x+2014） 4f（ 2） 0 的解集为（ ） A（ ， 2012） B （ 2012， 0） C（ ， 2016） D（ 2016， 0） 12已知函数 f（ x） = ，若函数 y=f（ x） 3 个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A B C（ 1， +） D 二 大题共 4小题每小题 5分，共 20分 . 13 （ x+x2+ 14若 f（ n） =12+22+32+（ 2n） 2，则 f（ k+1）与 f（ k）的递推关系式是 15已知函数 f（ x）的导函数 f（ x） =a（ x+1）（ x a），若 f（ x）在 x=a 处取到极小值，则实数 a 的取值范围是 16先阅读下面的文字： “求 的值时，采用了如下的方法：令=x，则有 =x，从而解得 x= （负值已舍去） ”；运用类比的方法，计算： = 三 大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知复数 ，若 |z|2+az+b=1 i （ ）求 ； 第 3 页（共 18 页） （ ）求实数 a， b 的值 18 已知函数 f（ x） =（ 1， 4），曲线在点 M 处的切线恰好与直线x+9y=0 垂直 （ 1）求实数 a， b 的值； （ 2）若函数 f（ x）在区间 m， m+1上单调递增，求 m 的取值范围 19设 x 0， y 0， z 0， （ ）比较 与 的大小； （ ）利用（ ）的结论，证明： 20是否存在常数 a， b，使等式 对于一切 nN*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？ 21设函数 f（ x） = +g（ x） =3 （ I）如果存在 0， 2，使得 g（ g（ M 成立，求满足上述条件的最大整数 M； （ 果对于任意的 s、 t ， 2，都有 f（ s） g（ t）成立，求实数 a 的取值范围 . 22已知函数 （ I）当 a=1 时，求 f（ x）在 x1， +）最小值； （ ）若 f（ x）存在单调递减区间，求 a 的取值范围； （ ）求证： （ nN*） 第 4 页（共 18 页） 2015年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一 大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 . 1复数 的虚部是（ ） A i B i C 1 D 1 【考点】 复数的基本概念 【分析】 根据复数的基本运算化简复数即可 【解答】 解： = ， 则复数 的虚部是 1， 故选： C 2如果命题 p（ n）对 n=k 成立（ nN*），则它对 n=k+2 也成立，若 p（ n）对 n=2 成立，则下列结论正确的是（ ） A p（ n）对一切正整数 n 都成立 B p（ n）对任何正偶 数 n 都成立 C p（ n）对任何正奇数 n 都成立 D p（ n）对所有大于 1 的正整数 n 都成立 【考点】 数学归纳法 【分析】 根据题意可得，当命题 P（ 2）成立，可推出 P（ 4）、 P（ 6）、 P（ 8）、 P（ 10）、 P（ 12） 均成立 【解答】 解：由于若命题 P（ n）对 n=k 成立，则它对 n=k+2 也成立 又已知命题 P（ 2）成立， 可推出 P（ 4）、 P（ 6）、 P（ 8）、 P（ 10）、 P（ 12） 均成立， 即 p（ n）对所有正偶数 n 都成立 故选： B 3已知函数 f（ x） = +1，则 的值为（ ） A B C D 0 【考点】 极限及其运算 【分析】 利用导数的定义和运算法则即可得出 第 5 页（共 18 页） 【解答】 解： 函数 f（ x） = +1， f（ x） = = 1 = f（ 1） = 故选： A 4直线 与曲线 相切，则 b 的值为（ ） A 2 B 1 C D 1 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 先设 出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标， 再根据切点既在直线 的图象上又在曲线 上，即可求出 b 的值 【解答】 解：设切点坐标为（ m， n） y|x=m= = 解得 m=1 切点（ 1， n）在曲线 的图象上， n= ， 切点（ 1， ）又在直线 上， b= 1 故答案为： B 5已知复数 z 的模为 2，则 |z i|的最大值为（ ） A 1 B 2 C D 3 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 根据复数的几何意义，知 |z|=2 对应的轨迹是圆心在原点半径为 2 的圆， |z i|表 示的是圆上一点到点（ 0， 1）的距离，其最大值为圆上点（ 0， 2）到点（ 0， 1）的距离 【解答】 解： |z|=2，则复数 z 对应的轨迹是以圆心在原点，半径为 2 的圆， 而 |z i|表示的是圆上一点到点（ 0， 1）的距离， 其最大值为圆上点（ 0， 2）到点（ 0， 1）的距离， 最大的距离为 3 故选 D 6曲线 y=0， 1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A B 1 C 2 D 3 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 第 6 页（共 18 页） 【分析】 要求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在 x=0 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率最后求出切线的方程，从而问题解决 【解答】 解：依题意得 y= 因此曲线 y=0， 1）处的切线的斜率等于 1， 相应的切线方程是 y=x+1， 当 x=0 时， y=1； 即 y=0 时， x= 1， 即有切线与坐标轴所围成的三角形的面积为： S= 11= 故选： A 7用反证法证明某命题时，对其结论： “自然数 a、 b、 c 中恰有一个奇数 ”正确的反设为（ ） A a、 b、 c 都是奇数 B a、 b、 c 都是偶数 C a、 b、 c 中至少有两个奇数 D a、 b、 c 中至少有两个奇数或都是偶数 【考点】 反证法与放缩法 【分析】 用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，即可得出结论 【解答】 解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立， 而： “自然数 a， b， c 中恰有一个奇数 ”的否定为： “a， b， c 中至少有两个奇数或都是奇偶数 ”， 故选 D 8已知 函数 f（ x） =3x+c 有两个不同零点，且有一个零点恰为 f（ x）的极大值点，则c 的值为（ ） A 0 B 2 C 2 D 2 或 2 【考点】 利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理 【分析】 利用导数求出函数的极大值和极小值，要使函数 f（ x） =3x+c 只有 2 个零点，则满足极大值等于 0 或极小值等于 0根据有一个零点恰为 f（ x）的极大值点，得 f（ x）的极大值为 0，解方程即可 【解答】 解： f（ x） =3x+c， f（ x） =33， 由 f（ x） 0，得 x 1 或 x 1，此时函数单调递 增， 由 f（ x） 0，得 1 x 1，此时函数单调递减 即当 x= 1 时，函数 f（ x）取得极大值，当 x=1 时，函数 f（ x）取得极小值 要使函数 f（ x） =3x+c 只有两个零点，则满足极大值等于 0 或极小值等于 0， 有一个零点恰为 f（ x）的极大值点， 必有 f（ 1） = 1+3+a=c+2=0，解得 c= 2； 故选： C 9已知 b a，下列值： f（ x） |f（ x） | |的大小关系为（ ） A | | |f（ x） | f（ x） 7 页（共 18 页） B |f（ x） | f（ x） f（ x） |f（ x） | f（ x） f（ x） |f（ x） | f（ x） f（ x） 考点】 定积分；不等关系与不等式 【分析】 根据定积分的几何意义，分别讨论函数 y=f（ x）及函数 y=|f（ x） |的图象在 x 轴上下方的可能情况，然后由微积分基本定理分析三个定积分对应曲边梯形的面积的大小 【解答】 解：当函数 y=f（ x）在 a， b上的图象在 x 轴上方，定积分就是求函数 f（ x）在区间 a， b中图线下包围的面积，即由 y=0， x=a， x=b， y=f（ x）所围成图形的面积，此时 f（ x） |f（ x） | |； 当函数 y=f（ x）在 a， b上的图象在 x 轴下方，定积分就是求函数 f（ x）在区间 a， b中图线上方包围的面积的负值，即由 y=0， x=a， x=b， y=f（ x）所围成图形的面积的负值，此时函数 y=|f（ x） |的图象在 x 轴上方，所以 = 0， 0； 当函数 y=f（ x）的图象在 a， b上 x 轴 的上下方都有，不防设在 a， c）上在 x 轴上方，在（ c，b上在 x 轴下方， 则 为上方的面积减去下方的面积， 为上方的面积减去下方面积的绝对值， 为上方的面积加上下方的面积； 若函数 y=f（ x）的原函数为常数函数 y=0，则 f（ x） |f（ x） | |； 综上，三者的关系是 故选 B 10设 f（ x）是函数 f（ x）的导函数，将 y=f（ x）和 y=f（ x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 第 8 页（共 18 页） A B CD 【考点】 利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义 【分析】 本题可以考虑排除法，容易看出选项 D 不正确，因为 D 的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但 y=f（ x）和 y=f（ x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数 【解答】 解析：检验易知 A、 B、 C 均适合，不存在选项 D 的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但 y=f（ x）和 y=f（ x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选 D 11设函数 f（ x）是定义在（ ， 0）上的可 导函数，其导函数为 f（ x），且有 2f（ x） + x） 不等式（ x+2014） 2f（ x+2014） 4f（ 2） 0 的解集为（ ） A（ ， 2012） B（ 2012， 0） C（ ， 2016） D（ 2016， 0） 【考点】 导数的运算 【分析】 根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论 【解答】 解：由 2f（ x） + x） x 0）， 得： 2x） + x） 即 x） 0， 令 F（ x） =x）， 则当 x 0 时， 得 F（ x） 0，即 F（ x）在（ ， 0）上是减函数， F（ x+2014） =（ x+2014） 2f（ x+2014）， F（ 2） =4f（ 2）， 即不等式等价为 F（ x+2014） F（ 2） 0， F（ x）在（ ， 0）是减函数， 由 F（ x+2014） F（ 2）得， x+2014 2， 即 x 2016， 故选： C 12已知函数 f（ x） = ，若函数 y=f（ x） 3 个零点，则实数k 的取值范围为（ ） 第 9 页（共 18 页） A B C（ 1， +） D 【考点】 利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 由题意画出图象，利用导数对 x 分 x=0、 x 0、 x 0 三种情况各有一个零点时的 求交集即可 【解答】 解：由题意画出图象： （ 1）当 x=0 时， f（ 0） =， k0=0， 0 是函数 f（ x） 一个零点； （ 2）由函数的图象和单调性可以看出，当 x 0 和 x 0 时，分别有一个零点 当 x 0 时，由 x=为 x= k 0，解得 k ； 当 x 0 时，只考虑 k 即可， 令 g（ x） =x+1） g（ x） = k， A当 k1 时，则 g（ x） 0，即 g（ x）在（ 0， +）上单调递减， g（ x） g（ 0） =0，g（ x）无零点，应舍去； B当 k 1 时， 0 1， g（ x） = ，令 g（ x） =0，解得 x= 1，列表如 下： x g（ x） + 0 g（ x） 单调递增 绝对值 单调递减 由表格可知：当 x= 时， g（ x）取得极大值，也是最大值， 当且仅当 g（ ） 0 时， g（ x）才有零点， g（ ） =（ 1 k） =k 1 下面证明 h（ k） =k 1 0， k（ ， 1） h（ k） =1 = 0， h（ k）在（ ， 1）上单调递减， g（ ） =h（ k） h（ 1）=1 1=0， 因此 g（ ） 0 在 k（ ， 1）时成立 综上可知：当且仅当 k 1 时，函数 f（ x） 三个零点 故选： B 第 10 页（共 18 页） 二 大题共 4小题每小题 5分，共 20分 . 13 （ x+x2+ 【考点】 定积分 【分析】 根据定积分的计算法法则计算即可 【解答】 解： （ x+x2+ | =（ + （ = ， 故答案为： 14若 f（ n） =12+22+32+（ 2n） 2，则 f（ k+1）与 f（ k）的递推关系式是 f（ k+1） =f（ k）+（ 2k+1） 2+（ 2k+2） 2 【考点】 数列递推式 【分析】 分别求得 f（ k）和 f（ k+1）两式相减即可求得 f（ k+1）与 f（ k）的递推关 系式 【解答】 解： f（ k） =12+22+（ 2k） 2， f（ k+1） =12+22+（ 2k） 2+（ 2k+1） 2+（ 2k+2） 2， 两式相减得 f（ k+1） f（ k） =（ 2k+1） 2+（ 2k+2） 2 f（ k+1） =f（ k） +（ 2k+1） 2+（ 2k+2） 2 15已知函数 f（ x）的导函数 f（ x） =a（ x+1）（ x a），若 f（ x）在 x=a 处取到极小值，则实数 a 的取值范围是 a 1 或 a 0 【考点】 函数在某点取得极值的条件 【分析】 根据函数导数的定义和性质即可得到结论 【解答】 解：由 f（ x） =a（ x+1）（ x a） =0， 解得 a=0 或 x= 1 或 x=a， 若 a=0，则 f（ x） =0，此时函数 f（ x）为常数，没有极值，故 a0 若 a= 1，则 f（ x） =（ x+1） 20，此时函数 f（ x）单调递减，没有极值，故 a 1 若 a 1，由 f（ x） =a（ x+1）（ x a） 0 得 a x 1 此时函数单调递增， 第 11 页（共 18 页） 由 f（ x） =a（ x+1）（ x a） 0 得 x a 或 x 1 此时函数单调递减，即函数在 x=a 处取到极小值，满足条件 若 1 a 0，由 f（ x） =a（ x+1）（ x a） 0 得 1 x a 此时函数单调递增， 由 f（ x） =a（ x+1）（ x a） 0 得 x 1 或 x a，此时函数单调递减，即函数在 x=a 处取到极大值，不满足条件 若 a 0，由 f（ x） =a（ x+1）（ x a） 0 得 x 1 或 x a 此时函数单调递增， 由 f（ x） =a（ x+1）（ x a） 0 得 1 x a，此时函数单调递减，即函数在 x=a 处取到极小值，满足条件 综上： a 1 或 a 0， 故答案为： a 1 或 a 0 16先阅读下面的文字： “求 的值时，采用了如下的方法：令=x，则有 =x，从而解得 x= （负值已舍去） ”；运用类比的方法，计算： = 【考点】 类比推理 【分析】 利用类比的方法，设 =x，则 1+ =x，解方程可得结论 【解答】 解：设 =x， 则 1+ =x， 22x 1=0 x= ， x 0， x= ， 故答案为： 三 大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知复数 ，若 |z|2+az+b=1 i （ ）求 ； 第 12 页（共 18 页） （ ）求实数 a， b 的值 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 （ I）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 （ 用复数的运算法则、复数相等即可得出 【解答】 解：（ I） = 1 i （ z= 1+i 代入 |z|2+az+b=1 i， 即 | 1+i|2+a（ 1+i） +b=1 i， 得（ a+b+2） + i ，解得 实数 a， b 的值分别为 1， 2 18已知函数 f（ x） =（ 1， 4），曲线在点 M 处的切线恰好与直线x+9y=0 垂直 （ 1）求实数 a， b 的值； （ 2）若函数 f（ x）在区间 m， m+1上单调递增，求 m 的取值范围 【考点】 函数的单调性 与导数的关系；导数的几何意义 【分析】 （ 1）将 M 的坐标代入 f（ x）的解析式，得到关于 a， b 的一个等式；求出导函数，求出 f（ 1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为 1，列出关于 a， b 的另一个等式，解方程组，求出 a， b 的值 （ 2）求出 f（ x），令 f（ x） 0，求出函数的单调递增区间，据题意知 m， m+1（ ， 2 0， + ），列出端点的大小，求出 m 的范围 【解答】 解：（ 1） f（ x） =（ 1， 4）， a+b=4式 f（ x） =3 f（ 1） =3a+2b 由条件 式 由 式解得 a=1， b=3 （ 2） f（ x） =f（ x） =3x， 令 f（ x） =3x0 得 x0 或 x 2， 函数 f（ x）在区间 m， m+1上单调递增 m， m+1（ ， 2 0， + ） m0 或 m+1 2 m0 或 m 3 19设 x 0， y 0， z 0， （ ）比较 与 的大小； （ ）利用（ ）的结论，证明： 第 13 页（共 18 页） 【考点】 综合法与分析法 (选修） 【分析】 （ ）对两个解析式作差，对差的形式进行化简整理，判断出差的符号，得出两数的大小 （ ）利用（ ）类比出一个结论，利用综合法证明不等式即可 【解答】 （ ） ， （ ）由（ 1）得 类似的 ， ， 又 ； x2+y2+z2xy+yz+证： x2+y2+z2+式相加） = 20是否存在常数 a， b，使等式 对于一切 nN*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？ 【考点】 数学归纳法 【分析】 假设存在常数 a， b，使等式对于一切 nN*都成立取 n=1， 2 可得 ，解得 a， b再利用数学归纳法证明即可 【解答】 解：若存在常数 a， b，使等式对于一切 nN*都成立 取 n=1， 2 可得 ，解得 a=1， b=4 则 = 对于一切 nN*都成立 下面用数学归纳法证明： （ 1）当 n=1 时，显然成立 第 14 页（共 18 页） （ 2）假设当 n=k（ kN*）时，等式成立，即 + = 则当 n=k+1 时， + + = + = = = = 也就是说当 n=k+1 时，等式也成立 综上所述：可知等式对于一切 nN*都成立 21设函数 f（ x） = +g（ x） =3 （ I）如果存在 0， 2，使得 g（ g（ M 成立，求满足上述条件的最大整数 M； （ 果对于任意的 s、 t ， 2，都有 f（ s） g（ t）成立，求实数 a 的取值范围 . 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 （ I）存在 0， 2，使得 g（ g（ M 成立等价于 g（ x） g（ x）； （ 于任意的 s、 t ， 2，都有 f（ s） g（ t）成立等价于 f（ x） g（ x） 一步利用分离参数法，即可求得实数 a 的取值范围 【解答】 解：（ I）存在 0， 2，使得 g（ g（ M 成立等价于 g（ x） g（ x） g（ x） =3， g（ x）在（ 0， ）上单调递减，在（ ， 2）上单调递增 g（ x） g（ ） = ， g（ x） g（ 2） =1 g（ x） g（ x） 满足的最大整数 M 为 4； 第 15 页（共 18 页） （ 于任意的 s、 t ， 2，都有 f（ s） g（ t）成立等价于 f（ x） g（ x） 由（ I）知，在 ， 2上， g（ x） g（ 2） =1 在 ， 2上， f（ x） = + 恒成立，等价于 ax 成立 记 h（ x） =x h（ x） =1 2x 且