天津市和平区2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

2015年天津市和平区高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 8题，每小题 3，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的 ,. 1 值是（ ） A B C D 2化简： + =（ ） A B C 2 D 2 3 456角的终边相同的角的集合是（ ） A |=k360+456， kZ B |=k360+264， kZ C |=k360+96， kZD |=k360 264， kZ 4把 y=图象上所有点的横坐标都缩小到原来的 倍（纵坐标不变），再吧图象向左平移 个单位长度，则所得函数图象的解析式为（ ） A y= y=2x+ ） C y= y=已知不共线向量 ， ， =t （ tR）， =2 +3 ，若 A， B， C 三点共线，则实数 t=（ ） A B C D 6下列各式的大小关系正确的是（ ） A B C ） D ） ） 7已知向量 =（ 3， 4）， =（ 9， 12）， =（ 4， 3），若向量 =2 ， = + ，则向量 与 的夹角为（ ） A 45 B 60 C 120 D 135 8若 m，则实数 m 的取值范围是（ ） A 2m6 B 6m6 C 2 m 6 D 2m4 二、填空题 :本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案填在题中的横线上 . 9已知扇形的周长为 8圆心角为 2 弧度，则该扇形的面积为 10已知向量 =（ 2， 1）， =10， | |= ，则 | |= 11函数 y=22x+ ）， x ， 的值域是 12已知向量 =（ 2， 1） =（ t， 1），且 与 的夹角为钝角，则实数 t 的取值范围是 13化简： = 14已知 是第三象限角，且 ，那么 三、解答题：本大题共 6 小题，共 52 分，解答应写出文字说明， 演算步骤 . 15已知 ，且 是第一象限 （ 1）求 +） + 的值； （ 2）求 + ）的值 16如图，在 ，已知 P 为线段 的一点，且 | |=2| | （ ）试用 ， 表 示 ； （ ）若 =3， =2，且 0，求 的值 17已知函数 f（ x） =3x+）（ A 0 x（ ， +）， 0 ）在 x= 时取得最大值 4 （ 1）求 f（ x）的最小正周期； （ 2）求 f（ x）的解析式； （ 3）若 f（ + ） = 求 18已知 x ） = ， x（ ， ） （ 1）求 值； （ 2）求 2x ）的值 19设 0 2，向量 =（ 1， 2）， =（ 2 =（ 2 =（ 2 （ 1）若 ，求 ； （ 2）若 | + |= ，求 （ 3）若 ，求证： 20已知函数 f（ x） = （ 1）若 f（ x） =2f（ x），求 的值； （ 2）求函数 F（ x） =f（ x） f（ x） +x）的最大值和单调递增区间 2015年天津市和平区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8题，每小题 3，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的 ,. 1 值是（ ） A B C D 【考点】 运用诱导公式化简求值 【专题】 计算题；规律型；三角函数的求值 【分析】 直接利诱导公式以及特殊角的三角函数化简求解即可 【解答】 解： 故选： C 【点评】 本题考查诱导公式的 化简求值，考查计算能力 2化简： + =（ ） A B C 2 D 2 【考点】 向量加减混合运算及其几何意义 【专题】 计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用 【分析】 利用向量加法法则求解 【解答】 解： + = = = 故选： A 【点评】 本题考查向量的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意向量加法法则的合理运用 3 456角的终边相同的角的集合是（ ） A |=k360+456， kZ B |=k360+264， kZ C |=k360+96， kZD |=k360 264， kZ 【考点】 终边相同的角 【专题】 计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值 【分析】 终边相同的角相差了 360的整数倍，又 264与 456终边相同 【解答】 解：终边相同的角相差了 360的整数倍， 设与 456角的终边相同的角是 ，则 = 456+k360， kZ， 又 264与 456终边相同， =264+k360， kZ， 故选： B 【点评】 本题考查终边相同的角的概念及终边相同 的角的表示形式，属于基础题 4把 y=图象上所有点的横坐标都缩小到原来的 倍（纵坐标不变） ，再吧图象向左平移 个单位长度，则所得函数图象的解析式为（ ） A y= y=2x+ ） C y= y=考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质 【分析】 根据函数 y=x+）的图象周期变换法则，我们可得到把函数 y=图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐 标保持不变，对应图象的解析式，再根据函数图象的平移变换法则，可得到再把图象向左平移 个单位，这时对应于这个图象的解析式 【解答】 解：函数 y=图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，可以得到函数 y=图象 再把图象向左平移 个单位，以得到函数 y=x+ ） =图象 故选： D 【点评】 本题考查的知识点是函数 y=x+）的图象变换，其中熟练掌握函数 y=x+）的图象的平移变换、周期变换、振幅变换法则是解答本题的关键 5已知 不共线向量 ， ， =t （ tR）， =2 +3 ，若 A， B， C 三点共线，则实数 t=（ ） A B C D 【考点】 平行向量与共线向量 【专题】 方程思想；转化法；平面向量及应用 【分析】 根据向量 ， 不共线，作为基底表示出 、 ；利用共线定理列出方程，求出 t 的值 【解答】 解：向量 ， 不共线，作为基底时， =t =（ t， 1）， =2 +3 =（ 2， 3）； 又 A， B， C 三点共线， 与 共线， 所以 3t 2（ 1） =0， 解得 t= 故选： B 【点评】 本 题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目 6下列各式的大小关系正确的是（ ） A B C ） D ） ） 【考点】 三角函数线 【专题】 计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值 【分析】 各项两式变形后，利用诱导公式化简，根据正弦与余弦函数的单调性即可做出判断 【解答】 解： A， 180 12） = 又 y= x0， 上是增函数， 即 故错误； B， 180+14） = 180 20） = 又 y= x0， 上是增函数， 即 故错误； C， ） = 来源 :又 y= x0， 上是减函数， 即 ） 故正确； D， ） = ） = 又 y= x0， 上是增函数， 即 ） ）故错误； 故选： C 【点评】 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式，先转化再利用单调性比较大小是解本题的关键，考查了计算能力，属于中档题， 7已知向量 =（ 3， 4）， =（ 9， 12）， =（ 4， 3），若向量 =2 ， = + ，则向量 与 的夹角为（ ） A 45 B 60 C 120 D 135 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 计算题；向量法；综合法；平面向量及应用 【分析】 根据条件可以求出向量 的坐标，从而可以求出 的值，这样根据可求出 从而得出向量 与 的夹角 【解答】 解： ，； ， ； ； 向量 与 的夹角为 135 故选： D 【点评】 考查向量坐标的加法、减法，及数乘运算，以及根据向量坐标求向量长度，向量数量积的坐标运算，向量夹角余弦的计算公式 8若 m，则实数 m 的取值范围是（ ） A 2m6 B 6m6 C 2 m 6 D 2m4 【考点】 两角和与差的正弦函数 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求 值 【分析】 利用辅助角公式化简已知的式子，再利用正弦函数的值域，可得 24 m2，由此求得 【解答】 解：若 m，则 2x ） =4 m， 24 m2， 求得 2m6， 故选： A 【点评】 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题 二、填空题 :本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案填在题中的横线上 . 9已知扇形的周长为 8心角为 2 弧度，则该扇形的面积为 4 【考点】 扇形面积公式 【专题】 计算题 【分析】 设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积 【解答】 解：设扇形的半径为： R，所以， 2R+2R=8，所以 R=2，扇形的弧长为： 4，半径为 2， 扇形的面积为： =4（ 故答案为： 4 【点评】 本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能 力 10已知向量 =（ 2， 1）， =10， | |= ，则 | |= 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 对应思想；定义法；平面向量及应用 【分析】 根据平面向量的坐标表示数量积运算，利用完全平方公式，分别求出 的模长 | |与 的模长| | 【解答】 解： 向量 =（ 2， 1）， | |= = ； 又 =10， | |= ， 2 + =5 210+ =5， 解得 | |=2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了平面向量的坐标运算与数量积的应用问题，也考查了求向量模长的应用问题，是基础题目 11函数 y=22x+ ）， x ， 的值 域是 ， 2 【考点】 正弦函数的图象 【专题】 函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质 【分析】 求出 2x+ 的范围，结合正弦函数的图象与性质得出范围 【解答】 解： x ， ， 2x+ 0， 当 2x+ = 时， 22x+ ）取得最大值 21=2； 当 2x+ = 时， 22x+ ）取得最小值 2（ ） = 故答案为 ， 2 【点评】 本题考查了正弦函数的图象，属于基础题 12已知向量 =（ 2， 1） =（ t， 1），且 与 的夹角为钝角，则实数 t 的取值范围是 【考点】 数量积表示两个向量的夹角 【专题】 计算 题 【分析】 由向量的数量积定义公式，可知两个向量数量积大于 1 小于 0，即数量积小于 0 且两向量不为反向向量 【解答】 解：若 与 的夹角为钝角，则它们数量积小于 0 且两向量不为反向向量 由 =（ 2， 1） （ t， 1） = 2t 1 0，得 t ，若为反向向量，则 （ 0） 解得 t2 所以实数 t 的取值范围是 t ，且 t2，即 t 故答案为： 【点评】 本题考查了向量的夹角，用到的是向量的数量积定义公式，注意向量 夹角为钝角的等价转化是数量积小于 0 且两向量不为反向向量 13化简： = 2 【考点】 三角函数的化简求值 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用两角和差的三角公式化简所给的式子，可得结果 【解答】 解： = = =45 30） = = =2 ， 故答案为： 2 【点评】 本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题 14已知 是第三象限角，且 ，那么 【考点】 三角函数的恒等变换及化简求值 【专题】 计 算题 【分析】 根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是 以把正弦和余弦的平方和等于 1 两边平方，又根据角是第三象限的角判断出要求结论的符号，得到结果 【解答】 解： ， ， 角是第三象限角， ， 故答案为： 【点评】 已知一个角的某个三角函数式的值，求这 个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解 三、解答题： 本大题共 6 小题，共 52 分 ，解答应写出文字说明，演算步骤 . 15已知 ，且 是第一象限 （ 1）求 +） + 的值； （ 2）求 + ）的值 【考点】 三角函数的化简求值 【专题】 计算题；规律型；转化思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质 【分析】 （ 1）利用诱导公式化简所求的表达式，通过同角三角函数基本关系式求解即可 （ 2）利用两角和的正切函数化简求解即可 【解答】 解：（ 1） ，且 是第一象限 = ， +） + = = （ 2）由 （ 1）可得 + ） = = =3 【点评】 本题考查诱导公式以及两角和与差的三角函数的化简求值，考查计算能力 16如图，在 ，已知 P 为线段 的一点，且 | |=2| | （ ）试用 ， 表示 ； （ ）若 =3， =2，且 0，求 的值 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 计算题 【分析】 （ I）由题意，根据向量的三角形法则由 =2 ，变形为关于 ， ， 的方程，从中解出 的表达式即可； （ （ I） ，可将 用 数量积表示出来，再由 =3， =2，且 0，计算出 的值 【解答】 解：（ I） P 是线段 的一点，且 | |=2| | =2 即有 （ （ I）知 =（ ） （ ） = + = 9 32 4 = 【点评】 本题考点是向量在几何中的应用，综合考查了向量三角形法则，向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量的相关公式是解题的关键，本题是向量基本题，计算题 来 17已知函数 f（ x） =3x+）（ A 0 x（ ， +）， 0 ）在 x= 时取得最大值 4 （ 1）求 f（ x）的最小正周期； （ 2）求 f（ x）的解析式； （ 3）若 f（ + ） = 求 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象 【专题】 转化思想；转化法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质 【分析】 （ 1）根据题意，求出 f（ x）的最小正周期 T= ； （ 2）根据 f（ x） f（ ）求出 A 与 的值即可； （ 3）根据 f（ + ）的值求出 求出 【解答】 解：（ 1） 函数 f（ x） =3x+） ， f（ x）的最小正周期为 T= = ； （ 2） f（ x） f（ ） =3 +） =4， A=4，且 +） =1， 又 0 ， + ， += ，解得 = ， f（ x） =43x+ ）； （ 3） f（ + ） = ， 4（ + ） + = ， 化简得 2+ ） = ， 即 ， = ， = 【点评】 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角 函数求值的应用问题，考查了计算能力与逻辑思维能力，是基础题目 18已知 x ） = ， x（ ， ） （ 1）求 值； （ 2）求 2x ）的值 【考点】 两角和与差的余弦函数；三角函数的化简求值 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质 【分析】 由条件利用同角三角 函数的基本关系，两角和差的三角公式，二倍角公式，求得要求式子的值 【解答】 解：（ 1） x（ ， ）， x （ ， ）， x ） = = ， x ） + =x ） x ） + = （ 2） x（ ， ）， ， = ， ， 1=2 1= ， 2x ） = = 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，二倍角公式的应用，属于中档题 19设 0 2，向量 =（ 1， 2）， =（ 2 =（ 2 =（ 2 （ 1）若 ，求 ； （ 2）若 | + |= ，求 （ 3）若 ，求证： 【考点】 平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算 【专题】 计算题；向量法；综合法；平面向量及应用 【分析】 （ 1）由 便有 2，从而得到 1，这样由 的范围便可求出 ； （ 2）先求出 的坐标，根据 便可得到 5 6，从而求出 ，这说明 根据 的范围便可判断 0， 0，而可求得，这样即可求出 （ 3）由 便可得到 4，这样由平行向量的坐标关系即可得出 【解答】 解：（ 1） ； ； 即 2； 1； 0 ； ；