向量组的线性相关性.doc

向量组的线性相关性1.1向量组的线性相关性的概念与判定1.1.1向量组的线性相关性概念定义1： 给定向量组,如果存在不全为零的数 ,使则称向量组是线性相关的, 否则称它是线性无关的.定义2：若向量组中每一个向量都可由向量组线性表示，则称可由线性表示。若两个向量组可互相线性表示，则称这两个向量组等价.性质：向量组的等价具有1）反射性；2）对称性；3）传递性.定义3： 向量组称为线性无关，若它不线性相关，或：由，则必。即：只有唯一零解.定义6：一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的,并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话）.所得的部分向量组都线性相关.定义7：一个向量组的极大线性无关组所含向量个数称为这个向量组的秩数.性质：1.向量组线性无关秩.向量组线性相关秩.2.等价向量组的秩数相同.中向量组的极大线性无关组的求法.注意1: 对于任一向量组而言, 不是线性无关的就是线性相关的.注意2: 若线性无关, 则只有当时, 才有成立.注意3: 向量组只包含一个向量 时,若则说线性相关; 若, 则说 线性无关.注意4: 包含零向量的任何向量组是线性相关的.注意5: 对于含有两个向量的向量组, 它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例, 几何意义是两向量共线; 三个向量线性相关的几何意义是三向量共面.1.1.2线性相关性的判定向量组 (当时)线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.证明: 充分性. 设中有一个向量(比如)能由其余向量线性表示, 即有也就是因,(-1)这个数不全为0,故线性相关.必要性. 设线性相关. 则有不全为0的数,使不妨设, 则有即能由其余向量线性表示. 证毕 1.2 向量组线性相关性的性质和应用 1.2.1向量组线性相关性的性质：1.含零向量的向量组必线性相关，即线性相关. 2.一个向量组若有部分向量线性相关，则此向量组线性相关。（即：部分相关，整体相关）3.若一个向量组线性无关，则它的每个非空部分向量线也线性无关。（即：整体无关，部分无关）4.线性相关，（线性无关） 5.线性相关，或线性无关6.中单位向量组线性无关.7.向量组线性相（无）关齐次线性方程组有（无）非零解。 8.若向量组线性相关.则向量组也线性相关.1.2.2线性相关性在线性方程组中的应用若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时,这个方程就是多余的, 这时称方程组(各个方程)是线性相关的; 当方程组中没有多余方程, 就称该方程组(各个方程)线性无关或线性独立的.结论: 向量组线性相关等价于齐次线性方程组即Ax=O有非零解, 其中.由此可得:定理1： 向量组线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵的秩小于向量个数; 向量组线性无关的充分必要条件是.下面举例说明定理1的应用例1. 已知试讨论向量组及的线性相关性. 解: 分析 对矩阵()作初等行变换变成行阶梯形矩阵, 可同时看出矩阵()及()的秩, 利用定理1即可得出结论.可见, , 故向量组线性相关, 而, 故向量组线性无关.例2. 已知向量组线性无关, 试证向量组线性无关.证一: 设有,使即 亦即 因向量组线性无关, 由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解, 即只有, 因此由定义得, 向量组线性无关.证二: 将表示为矩阵等式记为, 并代入三元齐次线性方程组, 得, 即,由于线性无关, 即, 从而,又因为知, 齐次方程组只有零解.