2016年台州市温岭市高考数学模拟试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年浙江省台州市温岭市高考数学模拟试卷（理科） 一、选择题（共 8小题，每小题 5分，满分 40分） 1若集合 A=x|3x 1， B=x|0x1，则（ B=（ ） A（ 0， 1） B 0， 1） C（ 0， 1D 0， 1 2已知函数 f（ x） =ax+b（ x0， 1），则 “a+3b 0”是 “f（ x） 0 恒成立 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3某几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的体积是（ ） A（ 24+2） 24+ ） 8+6） （ 3+ ） +2） 点 F 是抛物线 C： p 0）的焦点， l 是准线， A 是抛物线在第一象限内的点，直线 倾斜角为 60， l 于 B， 面积为 ，则 p 的值为（ ） A B 1C D 3 5设集合 P=（ x， y） |x|+|y|1， xR， yR， Q=（ x， y） |x2+， xR， yR， R=（ x，y） |x4+， xR， yR则下列判断正确的是（ ） A PQPRQPRPQ 6已知数列 等差数列， + =1， 前 n 项和，则 ） A ， B 5 ， 5 C 10， 10D 5 ， 5 7已知实数 x， y 满足 3=x+y，且 x 1，则 y（ x+8）的最小值是（ ） A 33B 26C 25D 21 8如图，在平行四边形 ， AB=a， ， 0， E 为线段 点 C、 一动点，将 直线 折，在翻折过程中，若存在某个位置使得直线 页（共 18 页） 与 直，则 a 的取值范围是（ ）A（ ， +） B（ ， +） C（ +1， +） D（ +1， +） 二、填空题（共 7小题，每小题 6分，满分 36分） 9 y+6=0， x+（ a+1） y+1=0， a= ； a= 10设 f（ x） = 则 f（ f（ 2）的值为 ；若 f（ x） =实数 a 的取值范围为 11已知实数 x， y 满足 ，则目标函数 2x+y 的最大值为 ，目标函数 4x2+最小值为 12函数 f（ x） =最小正周期是 ；单调递增区间是 13 足 =an+1（ nN*， n2）， n 项和， ，则 14已知四个点 A， B， C， D 满足 =1， =2，则 = 15双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 P 为双曲线上一点，且 =0， 内切圆半径 r=2a，则双曲线的离心率 e= 三、解答题（共 5小题，满分 74分） 16 足 a c=0 （ ）求角 B 的值； （ ）若 a=2，且 上的中线 为 ，求 面积 17四棱锥 P ， 底面 0， ， （ ）证明： （ ）求二面角 C D 的平面角的余弦值 第 3 页（共 18 页） 18定义在（ 0， +）上的函数 f（ x） =a（ x+ ） |x |（ aR） （ ）当 a= 时，求 f（ x）的单调区间； （ ）若 f（ x） x 对任意的 x 0 恒成立，求 a 的取值范围 19已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左顶点为（ 2， 0），离心率为 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）已知直线 l 过点 S（ 4， 0） ，与椭圆 C 交于 P， Q 两点，点 P 关于 x 轴的对称点为 P，P与 Q 两点的连线交 x 轴于点 T，当 面积最大时，求直线 l 的方程 20已知数列 足 0 1，且 + =2（ nN*） （ 1）证明： （ 2）若 ，设数列 前 n 项和为 明： 2 第 4 页（共 18 页） 2016年浙江省台州市温岭市高考数学模拟试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8小题，每小题 5分，满分 40分） 1若集合 A=x|3x 1， B=x|0x1，则（ B=（ ） A（ 0， 1） B 0， 1） C（ 0， 1D 0， 1 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据 指数函数的单调性即可得出 A=（ ， 0），并且 B=0， 1，从而进行补集和交集的运算便可求出（ B 【解答】 解：解 3x 1 得， x 0； A=（ ， 0），且 B=0， 1； 0， +）； （ B=0， 1 故选 D 2已知函数 f（ x） =ax+b（ x0， 1），则 “a+3b 0”是 “f（ x） 0 恒成立 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 若 f（ x） 0 恒成 立，则取 x= ，可得 0， a+3b 0反之不成立，例如取f（ x） =x 【解答】 解：若 f（ x） 0 恒成立，则取 x= ，可得 = +b 0， a+3b 0 反之不成立，例如取 f（ x） =x ，满足 a+3b=1 = 0，但是 0 “a+3b 0”是 “f（ x） 0 恒成立 ”的必要不充分条件 故选： B 3某几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的体积是（ ） 第 5 页（共 18 页） A（ 24+2） 24+ ） 8+6） （ 3+ ） +2） 考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：上面是一个底面直径与高都为 2 的圆柱，下面是一个横放的直棱柱，底面是一个上下底边分别为 2， 4，高为 2 的直角梯形，高为 2 【解答】 解：由三视图可知：上面是一个底面直径与高都为 2 的圆柱， 下面是一个横放的直棱柱，底面是一个上下底 边分别为 2， 4，高为 2 的直角梯形，高为 2 该几何体的体积是 = 2+122 =24+2（ 故选： A 4点 F 是抛物线 C： p 0）的焦点， l 是准线， A 是抛物线在第一象限内的点，直线 倾斜角为 60， l 于 B， 面积为 ，则 p 的值为（ ） A B 1C D 3 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 利用条件，结合抛物线的定义，建立方程，即可得出结论 【解答】 解：设 A（ x， y），则 直线 倾斜角为 60， y= （ x ） ， 面积为 ， = ， A 是抛物线在第一象限内的点， 由 可得 p=1， x= ， y= 故选： B 5设集合 P=（ x， y） |x|+|y|1， xR， yR， Q=（ x， y） |x2+， xR， yR， R=（ x，y） |x4+， xR， yR则下列判断正确的是（ ） A PQPRQPRPQ 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【分 析】 先确定 PQ，排除 C， D，再确定 QR，即可得出结论 【解答】 解：集合 P=（ x， y） |x|+|y|1， xR， yR表示以（ 1， 0），（ 0， 1）为顶点的正方形， Q=（ x， y） |x2+， xR， yR表示以（ 0， 0）为圆心， 1 为半径的圆面（包括圆的边界），所以 PQ，排除 C， D； x4+ 中，以 代替 x，可得 x2+， QR x= ，由 x2+，可得 y ，由 x4+ 可得 y ， QR PQR， 第 6 页（共 18 页） 故选： A 6已知数列 等差数列， + =1， 前 n 项和，则 ） A ， B 5 ， 5 C 10， 10D 5 ， 5 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 设 a1=a2=差 d=得 ），其中 ，由三角函数的知识可得 【解答】 解： 数列 等差数列， + =1， 可设 a1=a2=差 d= 则 （ =1055 ），其中 ， 由三角函数可知 5 ， 5 ， 故选： B 7已知实数 x， y 满足 3=x+y，且 x 1，则 y（ x+8）的最小值是（ ） A 33B 26C 25D 21 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用 【分析】 由题意可得 y= ，则 y（ x+8） = ，运用换元法，令 t=x 1（ t 0），转化为 t 的式子，由基本不等式即可得到所求最小值 【解答】 解：实数 x， y 满足 3=x+y，且 x 1， 可得 y= ， 则 y（ x+8） = ， 令 t=x 1（ t 0），即有 x=t+1， 则 y（ x+8） = =t+ +132 +13=12+13=25， 当且仅当 t=6，即 x=7 时，取得最小值 25 故选： C 8如图，在平行四边形 ， AB=a， ， 0， E 为线段 点 C、 一动点，将 直线 折，在翻折过 程中，若存在某个位置使得直线 页（共 18 页） 与 直，则 a 的取值范围是（ ）A（ ， +） B（ ， +） C（ +1， +） D（ +1， +） 【考点】 点、线、面间的距离计算 【分析】 本题从 直入手，转化为 直，从何 转化为 D0 【解答】 解：设翻折前的 D 记为 D， 则在翻折过程中，存在某个位置使得直线 直，只需保证 900， D 极限位置知，只需保证 D5即可 在 D， 1， D5， =120，则 D5， 由正弦定理知， ，则 DE= 因为 E 为线段 点 C， D 除外）上的一动点， 则 a ， 故选： D 二、填空题（共 7小题，每小题 6分，满分 36分） 9 y+6=0， x+（ a+1） y+1=0， a= ； a= 1 或 2 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系 【分析】 直线的一般方程与直线垂直和平行的条件是什么，由此列出方程求出 a 的值即可，对于两直线平行，需要验 证是否重合 【解答】 解： y+6=0， x+（ a+1） y+1=0， 当 a+2（ a+1） =0，解得 a= ； 当 a（ a+1） 2=0，解得 a=1 或 a= 2； 验证 a=1 时，两直线分别为 x+2y+6=0 和 x+2y=0，平行； a= 2 时，两直线分别为 x y 3=0 和 x y+3=0，平行； 所以 a=1 或 2 故答案为： ， 1 或 2 第 8 页（共 18 页） 10设 f（ x） = 则 f（ f（ 2）的值为 2 ；若 f（ x） =a 有两个不等的实数根，则实数 a 的取值范围为 1， 2e） 【考点】 分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系 【分析】 根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解，作出函数 f（ x）的图象，利用数形结合进行求解即可得到结论 【解答】 解：由分段函数得 f（ 2） =， f（ 1） =21=2， 作出函数 f（ x）的图象如图： 当 x2 时，函数 f（ x） =1）为增函数， 则 f（ x） f（ 2） =1， 当 x 2 时， f（ x） =21，为增函数， 则 0 f（ x） 2e， 要使 f（ x） =a 有两个不等的实数根， 则 1a 2e， 故答案为： 2， 1， 2e） 11已知实数 x， y 满足 ，则目标函数 2x+y 的最大值为 10 ，目标函数4x2+最小值为 8 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合直线平移以及构造椭圆，利用直 线和椭圆的相切关系即可求最值 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 设 z=2x+y 得 y= 2x+z，平移直线 y= 2x+z， 由图象可知当直线 y= 2x+z 经过点 A 时，直线 y= 2x+z 的截距最大， 此时 z 最大 由 ，解得 ，即 A（ ， 5）， 代入目标函数 z=2x+y 得 z=2 +5=5+5=10 第 9 页（共 18 页） 即目标函数 z=2x+y 的最大值为 10 设 4x2+y2=m，则 m 0， 即 + =1，表示焦点在 y 轴的椭圆， 要使 m 最小，则只需要椭圆和直线 2x+y 4=0，相切即可， 由 2x+y 4=0 得 y= 2x+4 代入 4x2+y2=m，得 4 2x+4） 2=m， 即 816x+16 m=0， 则判别式 =162 48（ 16 m） =0， 得 8=16 m， 则 m=8，即目标函数 4x2+最小值为 8， 故答案为： 10， 8 12函数 f（ x） =最小正周期是 ；单调递增区间是 + ， 【考点】 三角函数的周期性及其求法 【分析】 化简函数 f（ x），根据余弦 函数的图象与性质即可求出函数 f（ x）的最小正周期与单调递增区间 【解答】 解：函数 f（ x） = 2 21 1 = ， 函数 f（ x）的最小正周期为 T= = ； 又函数 y=增区间为 24x2 即 + x ， 第 10 页（共 18 页） 函数 f（ x） =单调递增区间是 + ， （ kZ） 故答案为： ； + ， （ kZ） 13 足 =an+1（ nN*， n2）， n 项和， ，则 4 【考点 】 数列递推式 【分析】 设 a4=k，结合数列递推式及 求得其它项，作和求得 【解答】 解：设 a4=k，由 =an+1，得 a3= k， a2=a3=k（ 1 k） =2k 1， a1= 1 k）（ 2k 1） =2 3k， a6=a5+k， S6=a1+a2+a3+a4+a5+ 2 3k） +（ 2k 1） +（ 1 k） +k+1+（ 1+k） =4 故答案为： 4 14已知四个点 A， B， C， D 满足 =1， =2，则 = 3 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 用 表示出各向量，将两式展开后相加即可得出答案 【解答】 解： = （ ） = =1， = （ ） = =2， 两式相加得： =3，即（ ） =3， =3 故答案为： 3 15双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 P 为双曲线上一点，且 =0， 内切圆半径 r=2a，则双曲线的离心率 e= 5 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 可设 P 为第一象限的点，由双曲线的定义和勾股定理，可得 |2到| ，由等积法和离心率公式，化简整理即可得到所求值 【解答】 解：可设 P 为第一象限的点， 由双曲线的定义可得 | |2a， =0，可得 由勾股定理可得 |+|=|=4 2，可得 2|44 即有 | ， 第 11 页（共 18 页） 由三角形的面积公式可得 r（ | = | 即为 2a（ +2c） =2 即有 c+2a= ，两边平方可得 ac=c2+b2=c2+ 即 45，解得 c=5a（ c= a 舍去）， 即有 e= =5 故答案为： 5 三、解答题（共 5小题，满分 74分） 16 足 a c=0 （ ）求角 B 的值； （ ）若 a=2，且 上的中线 为 ，求 面积 【考点】 余弦定理 【分析】 （ ）由已知条件，利用正弦定理，结合辅助角公式，即可求角 B 的值 ； （ ）若 a=2，且 上的中线 为 ，建立关于 c 的方程，利用三角形的面积公式求 面积 【解答】 解：（ ）由已知条件得： 即 0 得 ， 又 ， ， （ 已知得： + =2 ，平方得： 2+ 2+2 =4 2， 即 c2+84， 又 a=2， c 80=0 解得： c=8 或 c= 2（舍去） S =4 17四棱锥 P ， 底面 0， ， （ ）证明： （ ）求二面角 C D 的平面角的余弦值 第 12 页（共 18 页） 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ ）根据线面垂直的性质即可得到 由条件 样根据线面垂直的判定定理便可得出 平面 而便可证出 （ ）可设 于点 O，这样由条件 便可分别以 x 轴， y 轴，建立空间直角坐标系，从而可以求出点 O， D， A， P 四点的坐标，进而得出向量的坐标，可设平面 法向量 ，平面 法向量，这样根据 便可得出法向量 的坐标，同理便可得出法向量的坐标，从而便可求出 的值，即得出二面角 C D 的平面角的余弦值 【解答】 解：（ ）证明： 底面 面 又 D=D； 平面 面 （ ）设 D=O，以 O 为坐标原点， x， y 轴建立如图空间直角坐标系 O： O（ 0， 0， 0）， D（ ， 0， 0）， A（ 0， 1， 0）， P（ ， 0， 1）； ， ， ； 设平面 法向量 ，平面 法向量 ； 由 得， ，取 ，则 ； 同理，由 得， ； ； 第 13 页（共 18 页） 二面角 C D 的平面角的余弦值为 18定义在（ 0， +）上的函数 f（ x） =a（ x+ ） |x |（ aR） （ ）当 a= 时，求 f（ x）的单调区间； （ ）若 f（ x） x 对任意的 x 0 恒成立，求 a 的取值范围 【考点】 分段函数的应用；函数恒成立问题 【分析】 （ ）求出 a= 时，讨论当 x1 时，当 0 x 1 时，去掉 绝对值，求得导数，判断符号，即可得到所求单调区间； （ ）由 f（ x） x 可得 a（ ） |1| 论当 0 x 1 时，当 x1 时，运用参数分离和函数的单调性可得最值，进而得到 a 的范围 【解答】 解：（ ）当 a= 时， f（ x） = ， 当 x1 时， f（ x） = 的导数为 f（ x） = 0； 当 0 x 1 时， f（ x） = 的导数为 f（ x） = + 0； 所以 f（ x）的单调递增区间是（ 0， 1，单调递减区间是 1， +） （ ）由 f（ x） x 得 a（ x+ ） |x | x， x 0， 可得 a（ ） |1| 当 0 x 1 时， a（ ） +（ 1） 即有 a ， 第 14 页（共 18 页） 由 = （ ， 1） 可得 a1； 当 x1 时， a（ ）（ 1） 可得 a 由 = ， ） 可得 a 综上所述， a 的取值范围是 ， +） 19已知 椭圆 C： + =1（ a b 0）的左顶点为（ 2， 0），离心率为 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）已知直线 l 过点 S（ 4， 0），与椭圆 C 交于 P， Q 两点，点 P 关于 x 轴的对称点为 P，P与 Q 两点的连线交 x 轴于点 T，当 面积最大时，求直线 l 的方程 【考点】 直线