互不同构的18阶和20阶群

抽象代数小论文 互不同构的 18 阶和 20 阶群 姓名 成超 班级 F0907101 学号 5090719019 一 互不同构的 18 阶群 1 互不同构的 18 阶 Abel 群 设 A 为 18 阶的 Abel 群 则 2 182 3A 由 Sylow 定理可以确定 A 的 Sylow 子群阶数分别是 和 2 2A 2 3 39A 从而得到 A 的初等因子有 2 3 3 和 2 9 所以 18 阶 Abel 群有两个 和 233 ZZZ 29 ZZ 2 3 3 化为不变因子是 3 6 所以 23336 ZZZZZ 2 9 化为不变因子是 18 所以 2918 ZZZ 从而确定互不同构的 18 阶 Abel 群有两个 和 36 ZZ 18 Z 2 互不同构的 18 阶非 Abel 群 设 G 为 18 阶非 Abel 群 由 Sylow 定理可知 G 必有 9 阶的 Sylow 3 子群 不妨记为 S 2 1 S 是循环群 则 再取 G 中 2 阶元 b 则有 9 1 1Saaa 2 1 bbS Ga b 设 1 08 i babai 则 故 2 221111 ii iii ab abb babbba bbabaa 2 1 mod9i 由可解得 即 08i 8i 181 babaa 所以 9218 9 1 Ga b abbabaD 2 2 S 不是循环群 则必有 再取 G 中 2 阶元 c 则有 33 1Sabab 2 1 ccS Ga b c 设 则有 1122 11 1212 0 2 ijij caca bcbca bi ijj 1111 111122 2211111 ijij ijijij ac acc caccca b ccaccbca ba b 2 12 11 11 2 ii ji jj j ab 2222 221122 2211111 ijij ijijij bc bcc cbccca b ccaccbca ba b 2 1 22 222 1 i ii jji j ab 所以可以得到如下的同余方程组 其中 2 12 11 112 2 1 22222 1 1 mod30 mod3 0 mod31 mod3 ii ji jj j iii jji j 1212 0 2i ijj 而且 在解这个同余方程组的时候 应当注意到如下的事实 即若方程组有一解为 则还有对应的另一解 1122 1122 ii jj 1221 1221 ii jj 但是这两组解从本质上讲是一样的 这是因为只要交换下第一组解的 a 和 b 的位置 就能的到第二组解 所以 这两组解只算作一组解 从而我们可以 得到如下 7 组方程组的解 即 1212 0 1 1 0i ijj 11 cacb cbca 即 1212 1 0 0 1i ijj 11 caca cbcb 即 1212 1 2 0 2i ijj 1212 cacab cbcb 即 1212 1 0 0 2i ijj 112 caca cbcb 即 1212 1 0 1 2i ijj 112 caca cbcab 即 1212 0 2 2 0i ijj 1212 cacb cbca 即 1212 2 0 0 2i ijj 1212 caca cbcb 下面再来探究这几组解的性质 首先 因为 G 非 Abel 群 所以 2 不合条件 舍去 对于 3 有 212412 cab cabba cacab 即在 1 中用代替 a 用 a 代替 b 可见 3 和 1 同构 2 ab 对于 4 有 12214 cabcab cab cabab 即在 1 中用代替 a 用代替 b 可见 4 和 1 同构 ab 2 ab 对于 5 有 2 21212 cab caabb cbcab 即在 1 中用代替 a b 保持不变 可见 5 和 1 同构 2 ab 对于 6 有 2 12212 cacb cb caa 即在 1 中 a 保持不变 用代替 b 可见 6 和 1 同构 2 b 对于 7 可证明 7 与 1 不同构 反证法 若 7 与 1 同构 则存在 7 中的 可以代替 1 中 a 的位置 a b 但 2 122 ca b ca ba b 即在 1 中 这与矛盾 12 bcaca Sab 所以 7 与 1 不同构 故剩余的是 33211 1 1 Ga b c abcabba cacb cbca 3321212 2 1 Ga b c abcabba caca cbcb 所以 互不同构的 18 阶非 Abel 群有 9218 9 1 Ga b abbabaD 33211 1 1 Ga b c abcabba cacb cbca 3321212 2 1 Ga b c abcabba caca cbcb 二 互不同构的 20 阶群 1 互不同构的 20 阶 Abel 群 设 B 为 20 阶的 Abel 群 则 2 2025B 由 Sylow 定理可以确定 B 的 Sylow 子群阶数分别是 和 2 2 24B 5 5B 从而得到 B 的初等因子有 2 2 5 和 4 5 所以 20 阶 Abel 群有两个 和 225 ZZZ 45 ZZ 2 2 5 化为不变因子是 2 10 所以 225210 ZZZZZ 4 5 化为不变因子是 20 所以 4520 ZZZ 从而确定互不同构的 20 阶 Abel 群有两个 和 210 ZZ 20 Z 2 互不同构的 20 阶非 Abel 群 设 G 为 20 阶非 Abel 群 由 Sylow 定理可知 G 必有 5 阶的 Sylow 5 子群和 4 阶的 Sylow 2 子群 Sylow 5 子群的个数满足 只有唯一解 记这唯一的 1 51 20Nk 1N Sylow 5 子群 5 1 1Saaa Sylow 2 子群个数满足 则或 2 21 20Nk 2 1N 2 5N 当时 G 是 Abel 群 所以 2 1N 2 5N 这时 G 有 5 个相互共轭的 4 阶 Sylow 2 子群 不妨记其中一个为 K 2 1 K 是循环群 则 4 1 1Kbbb 设 则 1 04 i babai 4 4431333ii ab abbbabbb a ba 所以 即 i 可取 1 2 3 4 4 1 1 i a 4 1 mod5i 则 G 是 Abel 群 舍去 1i 则 此时 2i 12 baba 5412 1 1 Ga b abbaba 则 此时 与 同构 3i 13 baba 31 333272 b a baaa 则 此时 4i 14 baba 5414 2 1 Ga b abbaba 2 2 K 不是循环群 则 22 1 Kbcbcbccb 设 11 0 2 ij baba cacai j 则有 22 22112211 ij ab abb babbaac acc cacca 所以 即 i 可取 1 4 j 可取 1 4 22 11 1 ij aa 22 1 mod5ij 则 G 是 Abel 群 舍去 1 1ij 则 1 4ij 114 baba caca 此时 522114 325 1 Ga b c abcbccb baba cacaZD 则显然与 同构 4 1ij 则 4 4ij 1414 baba caca 此时 4 1 114111614 bc a bcb cacbba bbabaa caca 所以与 同构 所以 互不同构的 20 阶非 Abel 群有 5412 1 1 Ga b abbaba 5414 2 1 Ga b abbaba 522114 325 1 Ga b c abcbccb baba cacaZD 三 结论 18 阶 Abel 群 36 ZZ 18 Z 18 阶非 Abel 群 9218 9 1 Ga b abbabaD 33211 1 1 Ga b c a