人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式

人教版A版高中数学选修45用数学归纳法证明不等式 1了解数学归纳法的原理及其使用范围2会用数学归纳法证明与自然数有关的一些不等式1用数学归纳法证明含正整数n的不等式(其中n取无限多个值)(n1，nN)；练习填空已知x1，且x0，nN，n2.求证(1x)n1nx.证明 (1)当n_时，左边(1x)212xx2，右边12x，因x20，则原不等式成立(在这里，一定要强调之所以左边右边，关键在于x20是由已知条件x0获得，为下面证明做铺垫) (2)假设nk时(k_)，不等式成立，即_当nk1时，因为x1，所以1x0，于是22kN(1x)k1kx左边(1x)k1(1x)k(1x)(1x)(1kx)1(k1)xkx2；右边1(k1)x.因为_，所以左边右边，即(1x)k11(k1)x.这就是说，原不等式当nk1时也成立根据 (1)和 (2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立2用数学归纳法证明不等式的关键是假设在nk时命题成立，再证明nk1时命题也成立，这也是学好数学归纳法的重中之重当然第一步是证明的基础也是不能少的kx20用数学归纳法证明122132142?1n211n(n2，nN)证明 (1)n2时左边12214，右边11212，1412，不等式成立； (2)假设nk时(k2，kN)不等式成立即122132142?1k211k，）.则当nk1时122132142?1k21?k1?211k1?k1?21?k1?2kk?k1?21k2k1k?k1?21k?k1?k?k1?211k1，当nk1时不等式也成立综合 (1)、 (2)对任意n2的正整数，不等式成立证明不等式n2nn1(nN).证明n1时，12111，不等式成立；假设nk(k1，kN*)时，不等式成立，即k2kk1，k2k(k1)2.当nk1时，?k1?2?k1?k2k?2k2，上式?k1?2?2k3?k24k4?k2?2k2(k1)1，当nk1时，不等式成立综合可知，对任意正整数原不等式成立跟踪训练分析在递归步骤中需用到2kk2这一步，但这只有当k5时，才能成立，故不能只证n1，命题成立后，便用归纳推理证明 (1)验证知n1,2,3,4,5时，命题都成立 (2)设nk(k5)时命题成立，即2k22kk2，则当nk1时，2k122k122k2k2(k1)2，(*).故命题成立，因而对一切nN*命题成立其中(*)当k5时2kk2，证明如下()当k5时，2552显然成立；()设ki(i5)时，2ii2成立，则当ki1时，2i1(i1)222ii22i12(2ii2)(i22i1)22(2ii2)(i1)22，2ii2，i5，(i1)220，故2i1(i1)2，对一切k5有2kk2.若不等式1n11n21n3?13n1a24对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论分析用数学归纳法证明从nk到nk1时，为利用假设需要增加因式1k1，对于除含有nk的因式外的其余的项需运用不等式的性质证明其大于零即可解析取n1，11111213112624，令2624a24?a26，而aN，取a25.下面用数学归纳法证明1n11n2?13n12524. (1)n1时，已证结论正确 (2)假设nk(k1，kN)时，1k11k2?13k12524，则当nk1时，有1?k1?11?k1?2?13k113k213k313?k1?1*,*)时1k11k2?13k113k213k313k41k12524?13k213k423?k1?.13k213k46?k1?9k218k823?k1?，13k213k423?k1?0，1?k1?11?k1?2?13?k1?12524，即nk1时，结论也成立由 (1)、 (2)可知，对一切nN，都有1n11n2?13n12524.故a的最大值为25.*,跟踪训练已知a2，不等式log axlog a(a1)a k1x2k1的解集为A，其中aN*，kN. (1)求A. (2)设f(k)表示A中自然数个数，求和S nf (1)f (2)f(n) (3)当a2时，比较S n与n2n的大小，并证明你的结论解析 (1)不等式同解于?x0，?a1?a k1x0，x?a1?a k1xa2k1，由，得x2(a1)a k1xa2k10.a2，a k1a k.a k1xa k，且该式满足、.Ax|a k1xa k (2)由题意知f(k)a ka k11.S n(aa01)(a2a1)?(a na n11)a nn1. (3)当a2时，S n2nn1，S n(n2n)2nn21.当n1时，S1121；当n2时，S2222；当n3时，S3323；当n4时，S424；当n5时，S5525.猜想当n5(nN)时，S nn2n.下面用数学归纳法证明当n5时，已验证假设当nk(k5，kN)时，S kk2k成立，即2kk21成立，则当nk1时，S k1(k1)2(k1)2k1(k1)2122kk22k22(k21)k22k2k22kk(k2)0，即S k1(k1)2(k1)，当nk1时结论成立由可知，对任何n5(nN)，都有S nn2n成立；当n1时，S nn2n；当n2,3,4时S nn2n. (3)当a2时，S n2nn1，S n(n2n)2nn21.当n1时，S1121；当n2时，S2222；当n3时，S3323；当n4时，S424；当n5时，S5525.猜想当n5(nN)时，S nn2n.下面用数学归纳法证明当n5时，已验证假设当nk(k5，kN)时，S kk2k成立，即2kk21成立，则当nk1时，S k1(k1)2(k1)2k1(k1)2122kk22k22(k21)k22k2k22kk(k2)0，即S k1(k1)2(k1)，当nk1时结论成立由可知，对任何n5(nN)，都有S nn2n成立；当n1时，S nn2n；当n2,3,4时S nn2n.*),一层练习1用数学归纳法证明“12222n12n1(nN*)”的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12k12k11D12222k12k2k12k D2用数学归纳法证明“11213?12n1n(nN*，n1)”时，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是()A2k1B2k1C2k D2k1C3用数学归纳法证明“1n11n21n3?1nn1124(nN*)”时，由nk到nk1时，不等式左边应添加的项是()A.12?k1?B.12k112k2C.12k112k21k1D.12k112k21k11k2C4当n1,2,3,4,5,6时，比较2n与n2的大小并猜想()An1时，2nn2Bn3时，2nn2Cn4时，2nn2Dn5时，2nn2D二层练习5用数学归纳法证明2n nn2(nN，n5)，则应第一步验证n_.6用数学归纳法证明122132?1?n1?2121n2，假设nk时不等式成立，当nk1时，应推证的目标不等式是_5121k21?k2?2121k37.已知1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c对于一切nN*都成立，则a=_,b=_,c=_.答案8用数学归纳法证明11213?1n2n(其中nN)证明 (1)当n1时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立 (2)假设当nk(kN)时，不等式成立，就是11213?1k2k，那么nk1时，11213?1k1k12k1k12k?k1?1k1kk11k12k1.这就是说，当nk1时，不等式也成立根据 (1)和 (2)可知不等式对任何nN都成立*).*)时证明 (1)当n1时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立 (2)假设当nk(kN)时，不等式成立，就是11213?1k2k，那么nk1时，11213?1k1k12k1k12k?k1?1k1kk11k12k1.这就是说，当nk1时，不等式也成立根据 (1)和 (2)可知不等式对任何nN都成立*成立三层练习9设数列a n满足a12，a n1a n1a n(n1,2,3，?) (1)证明a n2n1对一切正整数n成立； (2)令b na nn(n1,2,3，?)，判断b n与b n1的大小，并说明理由解析 (1)证明法一当n1时，a12211，不等式成立假设nk(k1，kN)时，a k2k1成立当nk1时，a2k1a2k1a2k22k31a2k2(k1)1，nk1时，a k12?k1?1成立综上可知，a n2n1对一切正整数成立法二当n1时，a123211，结论成立假设nk(k1，kN)时结论成立，即a k2k1.当nk1时，由函数f(x)1x(x1)的单调性和归纳假设有a k1a k1a k2k112k1.因此，只需证2k112k12k3.而这等价于?2k112k122k3?12k10，显然成立，所以当nk1时，结论成立因此，a n2n1对一切正整数n均成立法三由a n1a n1a n，两边平方，得a2n1a2n1a2n2.a22a211a212，a23a221a222，?a2na2n11a2n12.将以上(n1)个等式左右分别相加，得a2na211a211a22?1a2n12(n1)2(n1)，a2na212n2.又a12，a2n222n22n22n1，又易知an0，a n2n1，nN*. (2)b n1b na n1na nn1?11a2nnn1?112n1nn12?n1?n?2n1?n12n?n1?2n1?n12214n121.故b n1b n.10设数列a n满足a n1a2nna n1，nN*. (1)当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想a n的一个通项公式 (2)当a13时，证明对所有n1，有a nn2；11a111a2?11a n12.解析 (1)由a12，得a23，a34，a45，猜想a nn1. (2)当n1时，a1312，不等式成立假设当nk(k1，kN*)时，不等式成立，即a kk2，当nk1时，a k1aka k11a k(a kk)1(k2)(k2k)12k5k3.即a k1(k1)2，因此不等式成立a nn2对于nN*都成立2k由a n1a2nna n1及 (1)知当k2时，a ka2k1(k1)a k11a k1(a k1k1)1a k1(k12k1)12a k11，a k12(a k11)即a k1a k112.a k12k1(a11)，11a k11a112k1(k2)，11a111a2?11a n11a1?112122?12n121a1?1?12n21a112.由a n1a2nna n1及 (1)知当k2时，a ka2k1(k1)a k11a k1(a k1k1)1a k1(k12k1)12a k11，a k12(a k11)即a k1a k112.a k12k1(a11)，11a k11a112k1(k2)，11a111a2?11a n11a1?112122?12n121a1?1?12n21a112.11已知数列b n是等差数列，且b11，b1b2b3?b10100. (1)求数列b n的通项b n； (2)设数列a n的通项为a nlg?11b n，设S n是数列a n的前n项和，试比较S n与12lg b n1的大小，并证明你的结论分析本题除了考查有关数列的知识之外，在比较大小时还可进行归纳、猜想，然后用数学归纳法进行证明解析 (1)b n2n1. (2)由bn2n1得S nlg(11)lg?113?lg?112n1lg?11?113?112n1，12lg bn1lg2n1，要比较S n与12lg bn1的大小可先比较(11)?113?112n1与2n1的大小当n1时，(11)211，当n2时，(11)?113221，?猜想(11)?113?112n12n1(*)以下用数学归纳法进行证明n1时成立假设当nk(k1，kN*)时成立，即(11)?113?112k12k1，当nk1时，(11)?113?112k1?112k12k1?112k12k12k1(22k)，金品质?高追求我们让你更放心！返回数学?选修4-5?(配人教A版)?2k12k1?22k?2(2k3)212k10，2k12k1(22k)2k3，(11)?113?112k1?112k12k3，当nk1时也成立由可知(*)式对任何正整数都成立S n12lg bn1.12用数学归纳法证明1122132?1n23n2n1(nN*)证明 (1)当n1时，左边1，右边312111，左边右边即命题成立 (2)假设nk(k1，kN*)时，命题成立，即1122132?1k23k2k1.则当nk1时，要证明1122132?1k21?k1?23?k1?2?k1?1，只要证3k2k11?k1?23?k1?2k3.3?k1?2k33k2k11?k1?234?k1?211?k1?21?k1?2?k1