对数学教学中心问题的认识和理解.doc

对数学教学中心问题的认识和理解主持人：各位老师，大家好！江苏省高中数学网络培训课程模块1-5对数学教学中心问题的认识和理解将邀请孙旭东老师主讲。首先，请允许我向各位老师介绍一下今天主讲的专家。孙旭东老师是苏教版高中数学教材编写组成员，南京市优秀青年教师，南京市教研室高中数学教研员，中学高级教师。主持人：孙老师，首先，请您给我们谈谈应该从哪几个方面认识和理解数学教学中的中心问题。孙旭东：好的。关于数学教学中的中心问题，我将从下面三个方面谈一点个人的看法，请大家批评指正。1。什么是数学教学中的中心问题？2。我们来谈一谈为什么要确立数学教学中的中心问题？3。如何确立数学教学中的中心问题？ 主持人：孙老师，问题串设计是苏教版教材的一大特色，问题串的有效性，依赖于对一串问题中所蕴含的基本问题或者说是中心问题的选择。因此，选择好中心问题，是问题串展开教材和有效实施教学的基本保障。问题一：孙老师，请问您认为什么是数学教学的中心问题？孙旭东：这个问题首先还是要从数学问题开始。数学问题，就是指在数学知识的学习过程中，从思维层面产生的疑惑或者是一些矛盾。在高中数学教学过程中，抓住数学知识学习的关键环节，抓住学生思维的疑惑和矛盾，提出问题，或者引导学生发现问题，进而通过寻求一定的思维路径，最终解决问题或提出新问题。从而在师生共同分析和探讨问题的过程中达到对所学数学知识的认识和理解，这是目前新课程理念下高中数学教学中大家一致认为比较有效的方法。主持人：孙老师，那您认为目前高中数学课堂中，教师提问中，存在的主要现象是什么？在课堂高中教学中，数学问题，特别是教师提出的数学问题，多种多样，层次不一。在目前的高中数学课堂中，教师满堂问，随意问，这种现象比较多，课堂教学中大量出现：是不是，对不对，还有问半句，让学生去填空，一节课下来，有时有四、五十个问题，更有甚者，让学生先站起来，老师再提问，这种情况要是学生答出来了，是老师你问的问题没有价值；学生答不出来，那是因为你这个问题根本不应该答出来，没有思考。总的来说，现在老师课堂上提的问题只是简单的判断和填空，绝大多数学生不需要太多的思考，就可以解决。这种现象，教师通过这种类型的问题，把学生牢牢的控制在自己的思路中，学生没有，当然也不可能有自己的想法，因为他没有时间，也没有空间，他只有跟着老师去走。这种类型的课堂，给人听课的感觉是很“顺利”，教学任务完成得很好，尤其是学生配合得很好，但是这种课，本质上是教师的表演，学生的没有参与，更谈不上有收获，或者对数学的理解根本就不到位。主持人：那孙老师，您认为，什么样的问题才是数学教学中的中心问题？确实，今天，我想讲的数学教学中的中心问题显然不是上述类型的问题，我个人认为，它至少应该包含两个层面的价值：第一，通过对这个问题探讨，学生能有效的解释或反映所学数学知识的数学本质，或者是解决一类问题的基本策略；我们举个例子，比如说；在高中必修一指数函数一课中，关于“指数函数性质”的教学，必须围绕两个中心问题展开教学：第一个是研究指数函数的哪些性质？对象是什么？第二个是明确研究函数性质的一般方法是什么？我们怎么去研究？从哪个角度去研究？应该这样说，对像指数函数这样具体函数性质的研究，这在高中是第一次。我们看到，在这之前，学生已经有过对一般函数的研究，学生已经知道，比如说，常常研究函数的哪些性质，第二个子在研究这些性质时的方法和角度是什么呢。比如说，在前面提到的函数的单调性、奇偶性等等都有着方面的渗透。这节课，学生就是以具体的“指数函数”为载体，回顾前面的一个过程，那么在对这两个问题的分析和探讨中，让学生进一步感受函数性质的研究方法和数形结合的数学思想方法。这个地方我们应该注意个问题，这两个问题，也是后面研究对数函数、幂函数、甚至是三角函数中必须探讨的问题。也就是说后面怎么研究对数函数呢？怎么研究幂函数呢？怎么研究三角函数呢？其实它的方法是一致的，角度也是一致的。第二个，这个问题，我们刚刚说的中心问题，它一定要有一定的思维深度，不能说老师一问，学生就答。当然这种“度”的确定，各个不同层次的学生的度是不一样的，我们必须考虑学生本身的数学基础，问题一提出，学生就可以立即解决，这不行；问题提出来了，学生忙半天，后者说忙了也没有兴趣了，这个问题也不行。我们说，学生需要探索、思考和讨论，需要积极思维活动才能解决，要能解决，从而加深对所学数学知识、解决方法和数学本质的理解。这样呢，我们觉得这个问题是比较好的。综合以上这两点，我们认为，数学教学的中心问题：第一个要针对概念的本质所提出的问题，第二个它不应该是学生能立即作答的，而是要能引发学生讨论、迁移，产生不同的认识，具有一定思维价值的问题。当然，中心问题也可以是为了探究知识的来龙去脉，而在关键环节所提出的指向性问题。这些指向性问题，一般来说，是教师提出来的，当然教师在提出这些问题的时候一般遵循的原则是“由远及近”的问题引导。通过这种“由远及近”的问题引导，不同层次的学生得到不同水平的启发，远的这个好学生可能会得到启发，再近一点下一个层次的学生又能得到启发，由远及近，这样每个学生都能在原有的基础上产生相应的思维活动，每个人也能获得相应的收获。当然，中心问题还可以是学生在认知困惑处的方法指引或者思路点拨。这一层的含义，我个人理解，主要是一种学法上的指导。有的时候，你给他一个你怎么学呢？比如说，我们也举个例子。比如说，对数函数，也是必修1的，在教学中，首先来回顾下，学生已经经历了两个过程，一个是一般函数的概念和一般函数的性质的研究方法，第二个已经有了指数函数这一具体函数的研究历程，他们经历过这样一个过程，他们已经知道，或者说已经经历过怎样研究一个函数呢，怎样研究一个具体的函数呢？从哪些方面去研究呢？因此提出，这个时候根据对指数函数的教学，可以提出：你打算研究对数函数的哪些方面？怎样研究？这些中心问题外，根据学生的情况，老师可以给学生的研究方法和探讨方面给出引导：比如说前面我们对指数函数，我们是如何研究的？研究的方法在这里适用吗？这实际上就是一种方法上的指引，也就是类比的想法。我们再举个例子，比如说，比较典型的等比数列这节课的教学过程中，我们应该去想一想，等比数列虽然是一个新名词，但它不是一个新内容。为什么说它不是一个新内容呢？因为在教学过程中，通过中心问题，可以引导学生类比等差数列的研究方法和研究成果，等差数列是怎么研究的？产生了怎样的研究结果？比如说它的通项、它的前n项和，它是怎么得到通项，怎么得到前n项和的？等等等等，这些研究的方法和研究的成果，对等比数列的学习是有类比作用的。因此，在等比数列的教学过程中，应用类比是必须的也是可能的。如果在研究和讨论的过程当中，让学生进一步感受并提出，你有等差，有等比，那有没有“等和”、“等积”呢，这些都是教学中的可取之处和成功之处。总的来说，就是数学教学中的中心问题一定要因教学内容而具体制定。这里，我想在考虑的过程中，既要关注这节课自身内容的本质，也要关注这个内容在整个体系中的地位和作用，特别是方法论上的意义。包括像前面提到的中心问题、对数函数的研究、指数函数的研究相似，等差、等比数列的研究，他们有相似之处。中心问题需要教师认真研究，有时偏重于引领学生经历知识的形成过程，有时可能偏重引导学生体会、掌握学习方法，感悟基本的数学思想。这个大概就是我对什么叫数学当中的中心问题的认识。主持人：上面孙老师首先分析了目前数学课堂中不恰当的提问方式，也举例说明了数学课堂教学中的中心问题应该具备哪些特征。那么孙老师，为什么要确立数学教学中的中心问题？那么关于“为什么要确立数学教学中的中心问题”，首先我们还是从“问题”开始说起。什么叫问题呢？这个大家都知道。一个人在生活当中、学习当中，经常会遇到一些难以解决或疑惑的实际问题；一个学生在数学学习中面对教师提出的富有挑战性的问题，或者说在某种问题情境下自己提出了某个数学问题，这个时候就一定会产生一定的困惑、探索的心理欲望，想去解决这个问题，并且在这种心理欲望的驱使下展开积极思维，探究问题，解决问题。我们就说这种解决问题的意识蕴含着抽象的逻辑思维活动的展开，它使人的注意力具有明显的指向性和选择性，因为他时解决这个事，它对于数学知识的探究和意义建构具有很强的激励作用。从这层意义上来讲，学生对数学知识不再是简单的记忆，或者说是背诵，把它背下来，更多的是已经把它植入到他的思维过程中去了，当然同时，我们也注意到学生有了这么个问题意识以后，学生就更容易开展积极有效的思维活动，有序地达成数学学习的目标。因此我们在高中数学新课程课堂教学中，关注问题，进而以问题为中心展开，对于增强教学的有效性，解决新课程中教师普遍感觉到的数学知识容量大与课时少之间的矛盾具有现实意义。老师什么都想讲，但是实际上这些东西，通过问题的形式探索，都能得到很好的解决。那么，确立数学教学中的中心问题，我个人认为可以从以下几个方面考虑：1。我们认为，确立数学教学中的中心问题，可以让学生对数学学习目标的认识更清晰，他知道往哪儿去对一节课的教学内容来讲，数学的中心问题一定是从这节课数学本质出发，针对这节课的教学的重点、难点高度提炼而成，对这几个问题的思考就是对教学重点、教学难点的认识和理解，它一定能引导学生逐步实现学习的目标。而且，中心问题一定是富有思维含量和思维张力的问题，有弹性，对这样的问题的思考势必促进数学思维活动的推进。前面也谈到，在现有的数学课上，由于有些教师对教学内容反复肢解，编的很小很小，问题太多，太碎，问题的角度变换过频，不成体系，学生很难把握学习的重点和难点，搞不清学习的目标，以至于上完课后还不清楚究竟学到了什么，只知道回答老师的是和对。学员：孙老师，从您上面的分析，我觉得，确立数学教学中的中心问题，一定可以为学生的自主学习或合作学习提供了可能，进而促进学生思维能力的提升，是吗？是的。这个中心问题由于思维空间大，有时还需要学生进行一定的操作。学生在充分调动自身的相关知识、经验储备，或进行独立探索，或与同伴合作，方能获得问题的解决。相对而言，学生学习的主动性就增强了。我们举个简单的例子，我们在基本不等式的教学过程中，有了基本不等式当然a，b都是正数后，提出问题：我们如何认识这个基本不等式呢？请大家注意，这个问题的空间很大，教师没有给出这个问题方向，对这个问题，我的建议是，让学生思考和交流一段时间后，选择一些学生中出现的思考方向加以点评和交流，这其实这也是拓宽其他学生的思路，问其他学生这个问题怎么答呢，有什么想法，往哪个角度去呢，一部分学生为其他学生提供了思路。在这个基础上，不要急于总结，让学生再次思考和交流后，那么这个时候学生有了一点儿方向，有了一点儿启发，那么我想学生就可以获得对这个不等式的更灵活、更深刻的认识，比如说角度，和，也可以是ab和各种变式，把a换成，b换成、a换成，b换成，各种各样的基本不等式随之产生，包括其他的形式，甚至还有些学生可能谈到从几何上怎么来解释，这样学生对不等式都不再是一个简单的公式，而是一个有血有肉的东西。相反，如果我们教师设计的问题过于琐碎，则教学过程中势必形成了一种以师生问答的形式推进，学生处于一种什么状态呢？你问我答，在一个一个具体问题的包围下，学生只能被动地回答和应和老师的问题，他不大可能跳出问题而进行更深入、全面的思考。我个人认为这样不仅浪费教学时间，而且很难有效地激发全体学生主动思考。所以从这里我们可以看到，中心问题它其实不同于一般的简单问题，它不是直线型的，就是一条路往前走的，不是单纯地通过“因为所以”就能得到解决，而是需要学生合理梳理思考的路径，我从那几个路径去想，即确定问题应该从哪里开始思考，顺着怎样的方向去思考，有时我们学生还要多次进行“如果那么”的假设与推理，或者从一些特殊的情况入手，寻求解决问题的方法。在这儿，我也想再举个例子。比如说：在三角函数yAsin(x)的图像中，我们必然要去研究A、对这个函数图像的影响，如的影响，这个对函数有什么影响呢？一种有效的引导，或者说学生中有效的处理方法就是先假设A、固定，然后再对分别取几个特殊值，从特殊到一般，前面做了一些假设，然后从特殊到一般，通过观察，找出规律，进而推广到一般性的规律，有了这个规律以后，我们再放入到原问题中，去加以说明。这种研究问题的方法其实在前面的指数函数、对数函数的定义、性质上面都有研究，都用过，比如指数函数，一般来说，就先研究a=2，a=3，先找出这些函数的性质，从形，进而推广到一般的指数函数的性质，对数函数也是这个性质，比如说直线的点斜式方程的研究过程中，我们也是先取个特殊的点和特殊的斜率，找出特殊的直线方程，再推广到一般的点斜式方程，这种实际上都是学生在解决比较复杂问题的过程中，或者是一个中心问题中，所做的一些有效的，由特殊到一般的一种尝试。因此，我们认为，围绕中心问题进行教学，既能避免因为教师过多的引导而使得学生被动思维，也能够基于学习目标，从问题的全局出发整体进行思考，学生的思维不再琐碎，也不会停留在浅表层面，而会因认识或研究的推进，将学生的思维不断引向深入。主持人：上面，孙老师为我们介绍了确立中心问题的在教学中的作用。下面我们稍微休息一下。对数学教学中心问题的认识和理解（2）主持人：下面我们接着上面的话题，请孙老师继续就中心问题的确定，给我们谈谈他的想法。关于中心问题，也就是上面的话题，在这个地方，我还想再举一些例子。大家知道，像向量的概念及表示这节课、任意角，这些课，概念很多、概念很小，很琐碎。实际在上课的过程中，我们教师往往比较多的就是一个一个概念往外抛，学生一个一个问题去记，整个课堂显得非常零散，就是很难找到线索。如果我们换一个角度，努力去设计一个有价值的中心问题，那么让学生在中心问题的讨论中，逐步认识一个个基本概念，那么，教师上课就不会话那么多，显得那么累，课堂自然也就不会显得那么松散。我们以向量的概念及表示这节课为例，曾经我们有个老师做了这样一个设计，我觉得还是不错的，这位老师在教学过程中，首先设计了一个学生活动：他干什么呢？他让学生举例，举各种样的向量，并在格子纸中把向量画出来（这地方请大家注意，其实在我们学向量之前，学生在其他学科特别是物理学科中已经有这方面的经验，当然，在举例的过程中，教师也有意识地做了准备，引导学生要举出各种情形，比如共线向量、当然他不说了，相等向量、相法向量、模相等的向量、单位向量等，这方面举出很多来），不做其他，就是举例，让学生去举，举不一样的，那么举完了以后干什么呢？这个时候这个老师就没有再讲其他的事情，他紧接着就提出本节课教学的中心问题：那么这个中心问题是什么呢？他就问学生了，你们在上面举了这么多向量，这样的，那样的，那么你能不能按照你的分类标准分分类呢？在这个具有开放性的问题中，因为不同的分类标准结果是不一样的，这个主动权全部在学生手里，学生想怎么分就怎么分，这个时候学生就开始活动了，由于没有给出分类的标准，学生根据自己的理解确定标准，这个时候，各种现象就出现了，比如说，有的学生通过讨论，发现有长有短：他说我以向量的长度为标准对这些向量进行分类，这样提出长度，其实就产生了向量的模的概念，当然就有模相等也就是长度相等和模不相等的向量、当然还有一些模具有一些特征的，比如说单位向量的概念、再比如说长度为零的向量-零向量的问题，这样一些概念自然就在学生分类的过程中，小概念自然产生；还有些学生按照什么来分类呢？比如说方向接着就开始产生这两个向量方向是否相同，还是相反，平行向量就产生了，方向相同的向量产生了，方向相反的向量产生了；当然还有人将两者结合起来这个时候向量相等和向量相反等等，这节课所需要的很多很琐碎的概念就在学生的活动中一一得到呈现，所以，这节课的设计正是因为这些问题设计得比较好，那么学生在对中心问题的讨论中学生的思维得到提升，也进而认识到向量的本质。我们认为这种设计尊重了学生自己的想法，学生的学习积极性得到很大的提升。学生的学习是围绕数学教学中的中心问题展开，学生在研究的过程中总是按照自己的认知特点去进行，所以呢，我们说这样围绕中心问题，学生就一定能够，原来很乱，他如果围绕中心问题去思考的话，学生就一定能够有序的整理所学数学知识。学完了一个整理很重要。我们说中心问题的引领，能够为学生主动地回顾和总结学习过程留下他自己思考过程中清晰的线索，从而对所学的内容留下鲜明的印象。由于中心问题是围绕教学目标设置的一个或几个关键性问题，学生在问题的引领下能够有序地回忆一节课所学习的知识与方法，并在头脑中留下鲜明的印象（注意这里的关键在哪儿呢？这些问题都是学生在独立思考和相互讨论，甚至是相互争论中得到解决的，不是简单的教师的告诉）。相反如果问题太多，角度变换快，就很难在头脑中留下鲜明的印象。当然，在这里，我再补充一点。高中数学中很多知识的研究方法是一致的，围绕刚才的话，为什么他印象深呢？比如说前面我们提到的函数的研究方法和角度；又比如说，在解析几何中，对直线、对圆、对椭圆、双曲线、和抛物线的研究，基本都是按照解析几何研究问题的一般方法在进行的，这些方法是相似，或者说是相同的，当然，在这些内容的课堂教学中，所涉及的中心问题也必然是相似或相同的，可能有的时候只是载体不同，这个当中，在对这些中心问题的探讨和研究，我们避开一些旁枝末节的话，学生对数学中的一些核心知识，比如说解析几何研究问题的一般思路，一般方法，它就会形成一个整体的认识，而不再是一个零散的认识。总的来说，有效设计好数学教学中的中心问题，是改进课堂教学的关键，也是学生的数学学习从被动走向主动，从学会走向会学的关键因素。主持人：好。前面孙老师为我们分析了数学教学中的中心问题在教学中的重要作用，那么孙老师，您认为如何去确立数学教学的中心问题？中心问题的确立确实是是个复杂的话题，一般从以下几个方面加以考虑：第一个必须考虑的问题是教学内容的数学本质问题，不能避开数学本质而言它；第二个我们还要关注所教内容关联的知识，比如说要想学这个内容，需要一些什么样的基础知识呢，第二个与这个有想关联的、有联系的、或者说是研究方法一致的，像这样一些，我们还要考虑，方法层面的东西，比如像我们前面提到的解决问题的一般策略，从直线到各种曲线的研究，还要考虑而且必须要考虑的是学生的知识基础和能力基础，他有什么样的能力，应该这么说不同基础的学生，在课堂引入和中心问题的设置和引导，特别是教师的引导方面一定不同，这个地方应该贯彻一个原则：学生的基础越是薄弱，我们所做的引导，或者说是我们提出的一些引导性的问题一定要更具体，离目标更“近”；当然了，反过来，对基础比较好的学生，我们可以远一点，范围可以广一点，给他的路子多一点。我认为，准确确立数学教学的中心问题，第一个，最核心的就是一定要准确把握教学内容的本质。那么准确把握教学内容的本质，也就是教师一定要弄明白“教什么”。当然，教师通过梳理知识点，即通过阅读教材，知道教材讲了什么，需要学生掌握哪些知识，形成哪些技能，感悟哪些数学方法等。研究“教什么”除了要关注教材本身显性的一些信息，教材直接表现出来的，也要关注教材隐性的信息，比如说刚才你说这个对数函数，这个指数函数，除了对数函数、指数函数的本质之外，它还蕴含了一个研究函数的一般方法，那么，这些就是确立数学教学中心问题的基础。这边我举个例子。比如说：直线的点斜式方程这节课，很多老师在上课的过程中，通过从给个特殊的点、特殊的斜率，从特殊的直线方程的建立过渡到直线的点斜式方程的一般形式，进而，将这个方程当，将这个方程当作公式，这个很漂亮，下面就要求学生去背，去记，下面给你个点，给你个斜率，你就去套公式，在后面的例题教学过程中要求学生反复用，不断用例题来巩固。我个人认为这点是值得商榷的。我们应该看到，直线的点斜式方程，它在整个解析几何中，应该说它是求方程的一个开篇之作，是学生第一次经历“求方程“的过程，也是解析几何中要做的一件大事：几何问题代数化，直线方程化。那么后面在圆方程的建立、椭圆方程的建立、双曲线方程的建立、抛物线方程的建立，其实都要经历这个过程，也就是所谓的：建立坐标系（这地方要谈到个恰当的问题，不过这个直线方程里已经有坐标系了、然后设动点，这个点在动、写出动点在变化过程中有什么是不变的，把这个不变量坐标给它代入，化简，就得到了这个方程。站在这个高度，其实也是这节课的本质，这节课的本质并不仅仅是直线的点斜式方程这个公式，这个公式是次要的，更为重要的是，这节课的教学为求曲线的方程提供了一个范例，第一次让学生经历这个过程，后面我们还来重复这个过程，这是解析几何的一个核心。因此，在教学过程中，有了点斜式方程这个公式，再让学生去求一些方程的时候，学生套这个公式无可厚非，学生没有套这个公式，而是再一次重复上述的推导过程，我刚才怎么做的，再来一遍，我再设点，我再求斜率，我再乘过去，我再化简，我认为这也无可厚非。因此我们就说了，在这节课的教学中，由于学生第一次经历这个过程，我们在中心问题的设定的过程中，我们不能涉及到那么远，这里我们一定要注意考虑学生的实际，因为他第一次经历，对直线的方程，不知道什么叫直线方程，如果你直接提出中心问题：求直线的方程，他根本就不知道干什么，在学生中出现的最大障碍是什么呢？什么叫求直线的方程啊？因此，我们设置本节课的中心问题的时候，除了数学本质外，我们在兼顾学生的认知特点、认知水平的话，我们把中心问题定为：如何求直线的点斜式方程？就显得有点突兀，问题有点“远”，因此，将问题转化为：点在一条已知直线上运动时，点的坐标满足什么特征？这就具体点，其实本质并没有改变，以这个问题为中心问题，既揭示了本节课的数学本质，也为学生的活动提供了可能。那么当然，准确确立数学教学的中心问题，还要准确判断教学的重点问题和难点问题。一节课的知识点往往地位和作用各有不同。教师在了解知识点之后，对它进行个分析，特别是从班级学生的学习角度出发，合理地确定教学重点和难点，这是非常重要的。数学教学的中心问题往往都是围绕教学重点和难点产生的。对于数学概念教学而言，教学重点和难点往往就是概念的本质内涵。涉及概念本质的问题一般就是教学的核心问题。比如说：在这个指数函数这节课中，关于指数函数的定义，最重要的是什么呢？我认为最重要的就是它是一种函数模型，在这个模型中，变量在指数上变化时，整个指数的变化规律是什么，这在实际生活中大量存在。在老师在教学中，比如喜欢出这样的题目，判断y23x、y32x等这类问题是不是指数函数呢，我个人认为实在是无聊。因为要弄清这两个函数，骑士我们从最简原则出发的话，关键就是要弄清y2x这个指数函数，你把这个弄清楚就行了，不要在这个上面做过多的纠缠。又比如说，在直线的斜率这节课的教学中，其实这节课的重点在哪儿呢？我个人认为重点关键是要解决如何用代数的方法，这是解析几何需要做的事，用代数的方法去研究数，来表示直线的倾斜程度问题。在教学过程中，我们希望通过情境设置，设置一些问题，让学生在活动和讨论中体会斜率和倾斜角都能表示直线的倾斜程度，它们之间可以互相转化，但又各有特点，比如直线的斜率，更代数化。因为在直角坐标系的情况下，与点的坐标有直接联系，而直线的倾斜角，更直观，更几何化。可是在目前的教学中，我们原来的想法有时候很难得到体现，不知道什么原因，教师通过一些问题的设置，把自己的愿望过早地、过于强烈地去干预学生的想法，导致学生一个班，怎么刻画直线的倾斜程度呢，一个想法，就大家都说斜率，这点不可取。其实最理想的状况就是什么呢？班上有一部分人说斜率，有一部分人说倾斜角，两部分人在讨论、争论、最后发现这两个都可以，各自