数学归纳法(高三学案)

数学归纳法(高三学案) 数学归纳法复习学案 1、用数学归纳法证明命题的步骤为:验证当n取第一个值0n时命题成立,这是推理的基础;假设当n=k),(0*n kN k时命题成立.在此假设下,证明当1+=k n时命题也成立是推理的依据.3结论. 2、探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）观察,归纳,猜想,推理论证. 3、特别注意 (1)用数学归纳法证明问题时首先要验证0n n=时成立,注意0n不一定为1; (2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k到k+1时项的变化（ （1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（ （2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；（ （3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面时，有时可以“套”用其它证明方法，如比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等6)12)(1(21222+=+n n nn?题型一对数学归纳法的两个步骤的认识题型一对数学归纳法的两个步骤的认识 1、已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（2k且为偶数）时命题为真，则还需证明（且为偶数）时命题为真，则还需证明（）A.n=k+1时命题成立B.n=k+2时命题成立C.n=2k+2时命题成立D.n=2（k+2）时命题成立A.n=k+1时命题成立B.n=k+2时命题成立C.n=2k+2时命题成立D.n=2（k+2）时命题成立解析因因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面（是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面 （1）n的范围以及递推的起点（的范围以及递推的起点 （2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式)(k f（ （3）从)1(+k f和)(k f由的差异，寻找由k到到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子 2、用数学归纳法证明不等式241312111+n n n n?由的过程中，由k推导到k+1时，不等式左边增加的式子是解析求求)()1(k fk f?+即可当当n=k时，左边k k k k+=12111?，n=k+1时，左边)1()1(13121+=k k k k?,故左边增加的式子是11221121+?+k k k，即)22)(12(1+k k题型 二、证明代数恒等式 1、已知*N n,证明:n n211214131211?+?+?+?n n n212111+?+=.1.证明:用数学归纳法证明. (1)当1=n时,左边=21211=?,右边21=,等式成立; (2)假设当k n=时等式成立,即有:k k211214131211?+?+?+?k k k212111+?+=.那么当1+=k n时,左边=)1 (211)1(21211214131211+?+?+?+?+?k k k k k k k212111+?+=)1(21121+?+k k+?+=121213121k k k k)1(2111+?+k k+?+=2)1 (11)1(1k k)1()1 (1)1(1+k k k k=右边;所以当1+=k n时等式也成立.综合 (1) (2)知对一切*N n,等式都成立.思维点拨仔细观察欲证等式的结构特征,在第二步证明当1+=k n时向目标式靠拢是关键.数变式是否存在常数a、b、c，使等式) (12)1()1(32212222c bn ann nn n+=+?+?对一切正整数对一切正整数n都成立？证明你的结论。 求【解题思路】从特殊入手，探求a、b、c的值，考虑到有3个数，先取n=1,2,3,列方程组求得，然后用数学归纳法对一切?N n，等式都成立解析把n=1,2,3代入得方程组?=+=+=+7039442424c bac bac ba，解得?=10113cba，猜想等式，猜想等式)10113 (12)1()1(32212222+=+?+?n nn nn n?对一切?N n都成立下面用数学归纳法证明 （1）当n=1时，由上面的探求可知等式成立（ （2）假设n=k时等式成立，即)10113 (12)1()1(32212222+=+?+?k kk kk k?则222222)2)(1()10113 (12)1()2)(1()1(3221+=+?+?k k k kk kk k k k?2)2)(1()2)(53 (12)1(+=k k k kk k)2 (12)53(12)2)(1(+=k k kk k10)1 (11)1(312)2)(1(2+=k kk k所以当n=k+1时，等式也成立综合 （1） （2），对所以当n=k+1时，等式也成立综合 （1） （2），对?N n等式都成立【名师指引】这是一个探索性命题，“归纳猜想证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式【名师指引】这是一个探索性命题，“归纳猜想证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式题型 三、证明不等式1.用数学归纳法证明下述不等式；).2,(10931312111+?n N nn n n n且?分析一般与自然数n有关的不等式问题可以应用数学归纳法来证明，证明过程中特别要主要项的变化.证明:当n=2时，左边1096054605761514131=+=，当n=2时，不等式正确；2.假设当)2(=k k n不等式正确，即109312111+k k k?，当1+=k n时，左边331231131313121+=k k k k k k?+?+=11331231131)31312111(k k k k k k k k?109)331231()331131(109332231131109+?+?+=+?+k k k k k k k，当1+=k n时不等式也正确；根据2,1知对?N n，且2n，不等式都正确.点评在1+=k n的证明过程中还需要熟练运用不等式证明的一些技巧，有时有一定的难度，不过必须注意，不是所有的与正整数n有关的不等式证明都能用数学归纳法证明成功.2.求证212131211nn?+?（?N n）2.证1=n时左211=右假设k n=时成立即212131211kk?+?当1+=k n时左121121212121211212111?+?+?+=+k k k k k kk?21212122212112112121111+=+?+=?+?+?+k k k kkkk k k?即1+=k n命题成立综上所述由对一切?N n命题成立.题型 四、证明整除问题在高考难度范围内，整除问题并不多见，如果与正整数n有关的整除问题，在教材的范围内一般只有用数学归纳法解决. 1、用数学归纳法证明)(53?+N n n n能被6整除.分析对于多项式A、B,如果A=BC，C也是多项式，那么A能被B整除，若A与B均能被C整除，则A+B,A-B也能被C整除.证明.1.1=n时，13+51=6能被6整除，命题正确；2.假设k n=时命题正确，即k k53+能被6整除，当1+=k n时，)5()55()133()1 (5)1(3233k k kkkkkk+=+=+6)1(3+kk，两个连续的整数的乘积)1(+kk是偶数，)1(3+kk能被6整除，6)1 (3)5(3+kkkk能被6整除，即当1+=k n时命题也正确，由2,1知命题时?N n都正确.点评用数学归纳法证明整除问题，在1+=k n的证明过程中应首先考虑拼凑出“归纳假设”，然后再想办法证明剩余部分.题型 五、证明函数内比较大小 1、设f(k)满足不等式()()?+N kk xxk1223log log122的自然数x的个数 （1）求f(k)的解析式； （2）记)()2()1(n f f fS n+=?，求nS的解析式； （3）令()?+=N n n n P n12，试比较nS与nP的大小。 1.解 （1）原不等式()()()k kk kkk kkxx xxxx xxx220222302232301111211?()1212211+=+?=?kkkk f （2）12222)()2()1(110?+=+=+=?n n n f f fSn nn? （3）22nP Snn n?=?n=1时，;01221?；n=2时，;02222=?n=3时，;03223?；n=6时，;06226?猜想5n时n nPS下面用数学归纳法给出证明 （1）当n=5时，55PS，已证 （2）假设()5=kk n时结论成立即22,k PSkk k那么n=k+1时，112+k kP而()()2112122222?=?=+?kkkkk在5k范围内，()0212?k恒成立则()2212+kk，即11+k KPS由 （1） （2）可得，猜想正确，即5n时，n nPS综述当n=2,4时，n nPS=当n=3时，n nPS。 题型 六、解决数列问题归纳猜想证明是高考的重点内容之一，数列是定义在N*上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳法的原理实质是一样的，所以数列中许多问题常用到数学归纳法证明。 而中学学习归纳法的主要用途就是用来解决数列问题. 1、设数列na的前n项和为nS，且)23(212?+=+n na Sn n*()nN （1）求321,a a a； （2）求数列na的通项公式 1、解 （1）容易求得33221213823,21247,21121?=?=?=a a a （2）方法一猜想nnn a21?=，下用数学归纳法证明当1=n时，211211?=a，结论成立假设当k n=时，结论成立，即kkk a21?=，则当1+=k n时，)223(22)1 (3)1(21211kkkk kak kakkS Sa?+?+=?=+)21(2221kk kk k a k a?+=+=?+1121)1(+?+=?kkk a，即1+=k n时结论也成立由、知对一切*Nn，nnn a21?=方法二)23(212?+=+n na Sn n2111 (1)3 (1)2)2n nSa n n+=+?，得111() (213)22n n na a a nn+?=+=+，即111122n na a n+=+令11 (1)()2n naA nB a An B+=+，则1111()222n na aAnA B+=?+，比较系数，得1,0A B=?=，故11 (1)()2n na na n+?+=?，数列na n?是首项为1112a?=?，公比为12的等比数列，12nna n?=?，即nnn a21?= 1、已知数列a n的前n项和为S n，且a1=1，S n=n2an（nN N*）. （1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想S n的表达式； （2）证明你的猜想，并求出a n的表达式. （1）解a n=S n-S n-1（n2）S n=n2（Sn-S n-1），S n=122?nnS n-1（n2）a1=1，S1=a1=1.S2=34，S3=23=46，S4=58，猜想S n=12+nn（nN N*）. （2）证明当n=1时，S1=1成立.假设n=k（k1,kN N*）时，等式成立，即S k=12+kk，当n=k+1时，S k+1=（k+1）2ak+1=a k+1+S k=a k+1+12+kk，a k+1=()()122+kk，S k+1=（k+1）2ak+1=()212+kk=()()1112+kk，n=k+1时等式也成立，得证.根据、可知，对于任意nN N*，等式均成立.又ak+1=)1)(2(2+kk，a n=)1(2+nn.题型 六、证明数列不等式 1、（河北省唐山一中xx届高三理）已知数列na满足1a=-1，nn a nann64)33(1+=+，数列nb满足231+=?nnnab （1）求数列na的通项公式. （2）设数列nb的前n项和为ns，求证当2n时，)32(2322ns s ssnn+?. （3）求证当2n时，12154221+?8分 （3）当2=n时，5154413143?+=+bb即2=n时命题成立假设)2(=kkn时命题成立，即12154212111+?+kkkk?当1+=kn时，2211211112154221121213121+?+?+kkkkkkkkk?=3215422154+?+?kk即1+=kn时命题也成立综上，对于任意2n，12154221+?+ 2、解 （1）因为()()()()312321321211x xFx Fxxx?+?=+=?所以设S=12xxxxxxxxF F F?+?S=xxxx1xxxxxxF FF?+?+得1xx2xxxx12.xxxxxxxxxxxxS FFFFFF?=+?=3xx6024=，所以S=3012 （2）由()1n naF a+=两边同减去1，得1321112121n nnn na aaa a+?=?=?所以()1211211121111nnnnnna aa aaa+?+?=+?，所以111211nnaa+?=?，11na?是以2为公差以1111a=?为首项的等差数列，所以()1212211nn na=+?=?1212121nnan n?=+=? （3）证法一数学归纳法当1n=时，123211a=+，不等式成立；假设当n k=时不等式成立，即12321ka aaak+?，则当1n k=+时，21231 (22) (21) (23)2 (1)22212 (1)1212121kkkkkkkaaaaakkkkk+?+?=+?+?232 (1)1kk=+=+，即当1n k=+时不等式也成立由知，对一切*nN，都有12321naaaa n+?证法二放缩法()()()()222212121nnnn?=?+，221212n nnn+?，22212212122121nnnnnnnn+?=?，则2212121nn nann+=?，所以，123357212113521nna aaa nn+?=+? 3、已知等差数列an的公差d大于0，且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列bn的前n项和为T n，且T n=1-nb21. （1）求数列an、b n的通项公式； （2）设数列an的前n项和为S n，试比较nb1与S n+1的大小，并说明理由.解 （1）由已知得?=+27125252a aaa,又an的公差大于0，a5a2,a2=3,a5=9.d=325aa?=339?=2，a1=1.an=2n-1.T n=1-21b n，b1=32，当n2时，T n-1=1-21b n-1,b n=T n-T n-1=1-21b n-(1-21b n-1),化简，得b n=31b n-1,b n是首项为32,公比为31的等比数列，即b n=32131?n=n32,an=2n-1，b n=n32. (2)S n=2)12(1?+nn=n2,Sn+1=（n+1）2，nb1=23n.以下比较nb1与S n+1的大小当n=1时，11b=23，S2=4，11bS2,当n=2时，21b=29,S3=9,21bS3,当n=3时，31b=227,S4=16,31bS4,当n=4时，41b=281,S5=25,41bS5.猜想n4时，nb1S n+1.下面用数学归纳法证明当n=4时，已证.假设当n=k(kN N*,k4)时，kb1S k+1,即23k(k+1)2.那么n=k+1时，11+kb=231+k=323k3(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+12=S(k+1)+1,n=k+1时，nb1S n+1也成立.由可知nN N*,n4时，nb1S n+1都成立综上所述，当n=1,2,3时，nb1S n+1,当n4时，nb1S n+1. 4、一种计算装置，有一数