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一道高考题的教学反思浏阳三中 陈菊珍2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷文科15题）：已知椭圆的两焦点为,点满足，则的取值范围为 ，直线与椭圆的公共点个数为 . 这次复习圆锥曲线时，将此题作为了一个练习题，学生答题情况是第一问还好，第二问却作做对的人很少，到学生那了解，都反映联立方程组用去判断，运算量非常的大，算不下去。事实上自己算一下也知道确实运算量非常之大，但算还是可以算出来。不过，再仔细想一想，这是一个小题其中的一问，命题者的意图会让学生“小题大做”吗？我们来看一看该题提供的解答：因为在椭圆的内部，则直线上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个。我敢肯定，按照解答去讲解，学生会半信半疑。故讲解该题时，我引用了柯西不等式，让学生信服了解答的结论。 至此，学生才相信了解答所说。 课后，有学生说，在直线与圆的位置关系中，除了用法可以判定，还可以用几何法也就是借助圆心到直线的距离与半径去比较，那么椭圆是由圆变换得到的，应该也会有类似的方法。我要他谈谈他的想法：如果椭圆中心到直线的距离与椭圆上的点到中心的最大距离比较，若中心到直线的最短距离比实半轴（椭圆上的点到中心的最大距离）还要大，则直线与椭圆相离，但是用来解此题得不出结论，事实上，上面只是一个充分非必要条件。我提醒他从椭圆的定义入手，着手去思考直线上的点与焦点的距离和之间的关系，事实上设直线上的动点P到椭圆两焦点、的距离和的最小值为,则（1）直线和椭圆C相切；（2）直线和椭圆C相离；（1）直线和椭圆C相交；证明: (1)直线和椭圆C相切直线和椭圆C有且仅有一个公共点直线上有且仅有一个点在椭圆上,而其它点全在椭圆外的最小值为（2）（3）可以类似证明，证明略但是用这个结论来解此题，也是行不通的，因为学生去找直线上的点到焦点的最小距离本身又是一个难点。回想到直线与圆的位置关系判定的几何法，何不先将椭圆变换成圆来考虑呢？通过和学生的共同探讨：得出了下列结论，已知：直线 椭圆，则（1）；（2）；（3）。证明：作伸缩变换： 则椭圆C变成曲线的方程为：（已化为单位圆），直线l变成直线的方程为，易知伸缩变换前后直线和曲线的位置关系（公共点的个数）保持不变；由于圆心到直线的距离 和椭圆C相交和单位圆相交同理：和椭圆C相切和椭圆C相离由这种结论做该题，很快就解决， 学生对于这种思路比较感兴趣，按他们的话说，“直线与椭圆”的位置关系问题可以转化为“直线与圆”的位置关系问题，那就简单了。通过这一例子，学生对新教材选
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