高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法课件2

2 2 1综合法与分析法 1 了解直接证明的两种基本方法 综合法和分析法 2 了解综合法 分析法的思考过程和特点 3 能综合使用分析法 综合法解决问题 4 正确认识和理解综合法和分析法的相似之处和内在联系 培养辩证地认识问题 分析问题的意识 1 2 1 综合法综合法是从已知条件出发 经过逐步的推理 最后达到待证结论 综合法用符号表示就是P0 已知 P1 P2 Pn 结论 归纳总结综合法的特点 1 综合法是从原因推导到结果的思维方法 2 用综合法证明命题的思路是 由因导果 即从 已知 看 可知 逐步推向未知 做一做1 1 综合法是 A 执果索因的逆推法B 由因导果的顺推法C 因果分别互推的两头凑法D 原命题的证明方法解析 由综合法的定义可知选项B正确 答案 B 1 2 做一做1 2 若a 0 b 0 且满足ab 1 a b 则a b的最小值应为 1 2 2 分析法分析法是从待证结论出发 一步一步地寻求结论成立的充分条件 最后达到题设的已知条件或已被证明的事实 分析法用符号表示就是B 结论 B1 B2 Bn A 已知 名师点拨用分析法证明命题要注意以下三点 1 用分析法证明命题 从结论出发 执果索因 即从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 2 分析法属逻辑方法范畴 它的严谨性体现在其步骤的步步可逆 3 分析法的优点是利于思考 因为它方向明确 思路自然 易于掌握 而综合法的优点是易于表述 条理清晰 形式简捷 因而证明不等式时 常用分析法寻找解题思路 再用综合法有条理地表达证明过程 1 2 做一做2 1 分析法是 A 执果索因的逆推法B 由因导果的顺推法C 因果分别互推的两头凑法D 逆命题的证明方法答案 A 1 2 做一做2 2 已知a b c 0 则下列不等式成立的是 解析 因为a b c 0 所以a b 0 a c 0 b c 0 而a c a b b c 答案 C 证明与推理之间的联系和区别有哪些 剖析 1 联系 证明过程其实就是推理的过程 就是把论据作为推理的前提 应用正确的推理形式 推出论题的过程 一个论证可以只含一个推理 也可以包含一系列的推理 所以证明就是推理 是一种特殊形式的推理 2 区别 从结论上看 推理包含前提和结论两部分 前提是已知的 结论是根据前提推出来的 而证明是由论题 论据 论证三部分组成的 论题相当于推理的结论 是已知的 论据相当于推理的前提 从作用上看 推理只解决形式问题 对于前提和结论的真实性是保证不了的 而证明却要求论据必须是真实的 论题经过证明后其真实性是确信无疑的 题型一 题型二 题型三 题型四 应用综合法证明命题 例题1 已知 a b c 0 求证 a3 b3 c3 a2 b2 c2 a b c 分析 从基本的不等式定理入手 再根据不等式的性质推导出要证明的结论 证明 a2 b2 2ab a 0 b 0 a2 b2 a b 2ab a b a3 b3 a2b ab2 2ab a b 2a2b 2ab2 a3 b3 a2b ab2 同理 b3 c3 b2c bc2 a3 c3 a2c ac2 将三式相加 得2 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 a2c ac2 3 a3 b3 c3 a3 a2b a2c b3 b2a b2c c3 c2a c2b a b c a2 b2 c2 a3 b3 c3 a2 b2 c2 a b c 题型一 题型二 题型三 题型四 反思在用综合法证明不等式时 常利用不等式的基本性质 如同向不等式相加 同向不等式相乘等 但在运用这些性质时 一定要注意这些性质成立的前提条件 题型一 题型二 题型四 题型三 用分析法证明命题 例题2 如图所示 SA 平面ABC AB BC 过点A作SB的垂线 垂足为E 过点E作SC的垂线 垂足为F 求证 AF SC 分析 本题所给的已知条件中 垂直关系较多 但不容易确定如何在证明中使用它们 因而用综合法比较困难 这时 可以从结论出发 逐步反推 寻求使当前命题成立的充分条件 即用分析法证明 证明 要证AF SC 只需证SC 平面AEF 只需证AE SC 因为EF SC 只需证AE 平面SBC 只需证AE BC 因为AE SB 只需证BC 平面SAB 只需证BC SA 因为AB BC 而由SA 平面ABC 可知上式成立 所以AF SC 题型一 题型二 题型四 题型三 反思在用分析法证明命题的过程中 从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件 最后一步归结到已被证明了的事实 因此 从最后一步可以倒推回去 一直到推出结论 题型一 题型二 题型三 题型四 分析法与综合法的综合应用 例题3 在 ABC中 若 A B C 4 2 1 a b c分别为 A B C的对边 求证 分析 已知条件是角的关系 求证的结论是边的关系 很难直接建立二者的关系 可结合正 余 弦定理进行证明 证明 设 C 则 B 2 A 4 且 2 4 7 可证 bc ac ab 即ab bc ac 下面我们考虑找出线段a c 可在BC上取一点D 使AD AB 如图 由角的关系并注意到7 可有DC AD AB c 故BD a c 题型一 题型二 题型三 题型四 反思本题将分析法与综合法交错使用 我们也可以只用综合法将证明过程叙述出来 那样会更简洁 但必须在分析之后 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析易错点 分析法是一种重要的证明方法 但不容易书写 因为它叙述起来较烦琐 易造成错误 所以在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性 另外 要注意前后是必要性关系 即应是 而不是 错因分析 a b a2 b2的前提是 a b都是大于0的实数 由于没注意到这一点 从而造成逻辑上的错误 题型一 题型二 题型三 题型四 12345 1以下命题正确的是 A 如果a b 0 那么a和b中至少有一个大于0B 如果ab 0 那么a2 b2一定也是0C 如果ab a 那么b 1D 如果a2 b2 那么a b答案 A 12345 2已知集合M x y x y 2 N x y x y 4 则集合M N为 A x 3 y 1B 3 1 C 3 1 D 3 1 答案 D 12345 3已知a 0 b 0 则下列不等式中不恒成立的是 答案 D 12345 4若a R 则P 4 a2 9