高中数学第三章导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数课件新人教A版选修

3 3 1函数的单调性与导数 1 了解函数的单调性与导数的关系 2 能利用导数研究函数的单调性 会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间 1 2 1 一般地 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系 在某个区间 a b 内 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果f x 0 f x 0 是函数f x 在区间 a b 内单调递增 递减 的充分不必要条件 1 2 2 一般地 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大 那么函数在这个范围内变化得快 这时 函数的图象就比较 陡峭 向上或向下 反之 函数的图象就 平缓 一些 名师点拨通过函数的图象 不仅可以看出函数的增减 还可以看出函数增减的快慢 从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后 我们就能根据函数的图象大致画出导函数的图象 反之也可 1 2 答案 A 1 2 做一做2 设f x 是函数f x 的导函数 y f x 的图象如图 则y f x 的图象最有可能是下图中的 1 2 解析 由f x 的符号知 当x 0 时 f x 0 f x 是增函数 当x 0 2 时 f x 0 f x 是增函数 答案 C 1 2 答案 A 1 函数y f x 在某个区间内单调递增或单调递减 函数的导数f x 不一定恒正或恒负剖析比如y x3 y 3x2 0 而它一直单调递增 也就是说函数f x 单调递增或单调递减的时候 可能存在某个x0 使得f x0 0 1 讨论函数的单调性要在定义域内进行 所以首先要确定函数的定义域 2 在某一区间内 f x 0 或f x 0 或f x 0 则f x 仍为增 或减 函数 3 一个函数的单调区间不止一个时 具有相同单调性的单调区间不能用 连接 而只能用 或 和 隔开 2 利用导数判断函数单调性的基本方法剖析设函数y f x 在区间 a b 内可导 1 若恒有f x 0 则函数f x 在 a b 内为增函数 2 若恒有f x 0和f x 0 4 确定f x 的单调区间 题型一 题型二 题型三 题型四 分析函数的单调性是和导数的符号紧密联系在一起的 因此 先对函数求导 再判断导函数值的符号 从而确定函数在给定区间内的单调性 题型一 题型二 题型三 题型四 解 易知此函数为奇函数 于是只讨论函数在 0 1 内的单调性 若b 0 则f x 0 函数在 0 1 内是增函数 又函数f x 是奇函数 所以当b 0时 函数f x 在 1 1 内是减函数 当b 0时 函数f x 在 1 1 内是增函数 题型一 题型二 题型三 题型四 反思分类讨论是重要的数学解题方法 它把数学问题划分成若干个局部问题 在每一个局部问题中 原先的 不确定因素 不再影响问题的解决 当这些局部问题都解决了 整个问题也就解决了 在判断含有参数的函数的单调性时 不仅要考虑到参数的取值范围 而且还要结合函数的定义域来确定f x 的符号 否则会产生错误的判断 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 例2 求下列函数的单调区间 1 f x 3x2 2lnx 分析先求出函数的导数 再根据导数的正负确定单调区间 另外 要特别注意函数的定义域 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1 一般情况下 函数在它的定义区间内不是单调的 对可导函数而言 它的单调递减区间和单调递增区间的分界点应是其导数符号正负交替的分界点 即在分界点处f x 0 为此我们可以用使函数导数为零的点来划分函数的单调区间 2 利用导数求出函数的单调区间后 在表示函数的单调区间时 要注意表达准确 要注意 和 与并集符号 的区别 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 求函数f x ex 2x的单调区间 解 f x ex 2 令f x 0 即ex 2 0 解得x ln2 令f x 0 即ex 2 0 解得x ln2 故函数f x 的单调递增区间是 ln2 单调递减区间是 ln2 题型一 题型二 题型三 题型四 分析由f x 在 0 1 上是增函数 知f x 0在 0 1 上恒成立 从而将问题转化为不等式的恒成立问题 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1 已知函数的单调性 求参数的取值范围 这是一种非常重要的题型 通常用分离参数求解 即由f x 0或f x 0恒成立 得m g x 或m g x 恒成立 2 m g x 恒成立 m g x max m g x 恒成