常用数学知识归纳

常用数学知识归纳 常用数学知识归纳-1-第一部分、高等数学 1、导数公式 2、基本积分公式?C ax xaxdxC shxchxdxC chxshxdxCaadx aCx ctgxdx xC xdx tgx xC ctgx xdxxdxC tgx xdxxdxxx)ln(lncsc cscsecsescsinseos22222222Caxx adxCxax aax adxCaxa xaa xdxCaxarctgax adxCctgx x xdxC tgxxxdxCx ctgxdxCx tgxdx?arcsinln21ln211csc lncscsec ln secsin lncosln22222222?Cax axaxdx xaC ax xaaxxdx axC ax xaaxxdx axInnxdx xdxInn nnarcsin22ln22)ln(221cos sin222222222222222222222020?a xxaa actgxx xtgxx xxctgxx tgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(sesc)(sec)(22?222211) (11) (11)(aros11)(arcsinxartgxxarctgxxxxx?常用数学知识归纳-2- 3、三角函数公式1）、诱导公式函数角A sin cos tgctg-sincos-tg-ctg90-cossinctgtg90+cos-sin-ctg-tg180-sin-cos-tg-ctg180+-sin-costgctg270-cos-sinctgtg270+-cossin-ctg-tg360-sincos-tg-ctg360+sincostgctg2）、和差角公式和差化积公式3）、倍角公式4）、半角公式?cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos122cos12cos2cos12sin?ctg tg5）、正弦定理RCcBbAa2sin sin sin?余弦定理C abb ac cos2222?23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtg tgtg?222222122212sin cos sin211cos22coscos sin22sintgtgtgctgctgctg?2sin2sin2cos cos2cos2cos2cos cos2sin2cos2sin sin2cos2sin2sin sin?ctg ctgctgctgctgtg tgtgtgtg?1) (1)(sinsincos cos)cos(sincoscossin)sin(?常用数学知识归纳-3-6）、反三角函数性质artgx arctgxxx?2aros2arcsin? 4、中值定理与导数的应用拉格朗日中值定理。 时，柯西中值定理就是当柯西中值定理拉格朗日中值定理x xFfa F b Fa fb fa b fa fb f?)(F)()()()()()()()()(? 5、定积分的近似计算?ban n nban nbany y y yyyy yna bx fy yy yna bx fy yynabx f) (4) (2) (3)()(21)()()(13124xx0110?抛物线法梯形法矩形法 6、多元函数微分法及应用zyzxyxyxyxy xFFyzFFxzzy x FdxdyFFy FFxdxy dFFdxdyy x Fdyyvdxxvdvdyyudxxuduy x v vy xu uxvvzxuuzxzy xvy xu fztvvztuuzdtdzt vt u f zyy x f x y x f dzzdzzudyyudxxudu dyyzdxxzdz?，隐函数，隐函数隐函数的求导公式时，当多元复合函数的求导法全微分的近似计算全微分0),()() (0),(),(),(),(),()(),(),(),(22常用数学知识归纳-4-),(), (1),(), (1),(), (1),(), (1),(), (0), (0),(y uGFJ yvvyG FJyux uGFJ xvvxG FJxuG GFFvGuGvFuFv uGFJv uy xGv uy x Fv uv u?隐函数方程组 7、多元函数的极值及其求法?不确定时值时，无极为极小值为极大值时，则，令设,00),(,0),(,00),(,),(,), (0),(),(22000020000000000B ACB ACy xAy xAB ACCy x f By x f Ay x f y x f y x fyy xy xx yx 8、重积分的运用?D Drdrdr rf dxdy yx f?)sin,cos(),( 9、常数项级数是发散的调和级数等差数列等比数列nn nnqqqq qnn1312112)1(32111112? 10、幂级数的展开?nnnnnnnnnxnfxfx ff xf xRxf x xnfRxxnx fx xx fxxxf xf!)0(!2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(!2)()()() (xx)1 (00)(20000时即为麦克劳林公式充要条件是可以展开成泰勒级数的余项函数展开成泰勒级数?常用数学知识归纳-5-一些函数展开成幂级数)()!12()1(!5!3sin)11(!)1()1(!2)1 (1)1(121532?xnx xxx xxxnn mm mxmmmx xnnnm?000011143220264211) (11) (1)1 (111)11(,)1()1 (432)1()(,)!2()1()!2()1(!6!4!21cosnn nnnnnnnnnnnxxx xxxxxxxxnxnx xxxxx Inxnxnxxxxx?)(,!1!21102?xnxxnx x ennn x?第二部分、线性代数 1、矩阵的一些基本运算及其性质00?c cA或0?A?A ATT?T TTB A B A?212112?n nCn nn?nnAa Aa Aa D2222222121?转置值不变A AT?A c cAn?（A为n阶矩阵）?,2121?321,?A，3阶矩阵，?321,?B，则B A B A?B A AB?k kkB A AB?不一定成立！常用数学知识归纳-6-无消去律（矩阵和矩阵相乘）当0?AB时0?A或0?B由0?A和00?B AB由0?A时C B AC AB?（无左消去律）特别的设A可逆，则A有消去律。 左消去律C B AC AB?。 右消去律C BCA BA?。 如果A列满秩，则A有左消去律，即00?B ABC BAC AB? 2、伴随矩阵的性质1）、E A A A AA?*2）、当A可逆时，EAAA?*，得AAA*1?（求逆矩阵的伴随矩阵法）且得?11*AAAA，?AAA A A1111*3）、伴随矩阵的其他性质、1*?nA A,1*?A A A、?,*TTA A?、?*1A c cAn?、?kkA A*?、?A A An2*?，2?n时，?AA?*?d cb aA* 3、线性相关性的一些性质“?;,321?s”1）、1?s，单个向量?，0?x?相关0?2）、2?s，21,?相关?对应分量成比例21,?相关n nbababa:2211?向量个数s=维数n，则n1,?线性相（无）关?01?n?nA?,21?，0?Ax有非零解0?A常用数学知识归纳-7-如果ns?，则s?,21?一定相关（0?Ax的方程个数?n数个数s）如果s?,21?无关，则它的每一个部分组都无关如果s?,21?无关，而?,21s?相关，则s?,21?（证明设cs,1?不全为0，使得011?cs s?，则其中0?c，否则sc c,1?不全为0，011?s s?，与条件s?,1?无关矛盾。 于是ss?11）当s?,1?时，表示方式唯一s?1?无关，（表示方式不唯一s?1?相关）若s t?,11?，并且s t?，则t?,1?一定线性相关。 （证明记?sA?,1?，?tB?,1?，则存在t s?矩阵C，使得AC B?。 0?Cx有s个方程，t个数，t s?，有非零解?，0?C。 则0?AC B，即?也是0?Bx的非零解，从而t?,1?线性相关。 ）第三部分、概率论与数理统计部分 1、随机事件及其概率反演律BA BA?BAAB?niiniiA A11?niiniiA A11? 2、概率的计算1）、) (1)(A P A P?2）、若BA?)()()(A P B P A B P?，常用数学知识归纳-8-特别地，对任意两个事件A,B,有)()()(AB P B P A B P?3）、加法公式对任意两个事件A,B,有)()()()(AB P BP A PBA P?)()()(BP A PBA P?；一般地，)()1()()()()(2111111nnnn kj ikj inj ijiniiniiA AA PAAA PAA PAPAP?4）、条件概率?A BP)()(A PABP乘法公式?)0)()()(?APABPAP ABP?)0)()()(12112112121?nn nnA AA PAAAAPAAPAPAAAP?全概率公式?niiAB PAP1)()()()(1iniiB APBP?5）、贝叶斯（Bayes）公式)(ABPk)()(A PABPk?nii ikkB APBPB APBP1)()()()( 3、随机变量及其分布1）、分布函数计算)()()()()(aFbFaX P b XPbX aP?2）、离散型随机变量 (1)01分布:1,0,)1()(1?k p p kX Pkk (2)二项分布),(p nB若P(A)=p,n kppC kX Pkn kkn,1,0,)1()(?*Possion定理:若0lim?nnnp则有，?,2,1,0!)1(lim?kke pp Ckknnknknn?常用数学知识归纳-9- (3)Poisson分布)(?P?,2,1,0,!)(?kke kX Pk?3）、连续型随机变量 (1)均匀分布),(baU:?其他,0,1)(b xaa bxf?1,0)(a baxx F (2)指数分布)(?E?其他,00,)(x ex fx?0,10,0)(x exx Fx? (3)正态分布N(?,?2)?x exfx222) (21)(?xtt exFd21) (222)(?*N(0,1)-标准正态分布:?xexx2221)(?x te xxtd21)(22?常用数学知识归纳-10- 4、多维随机变量及其分布1)、二维随机变量(X,Y)的分布函数?x ydvduvu f yxF),(),(边缘分布函数与边缘密度函数?xXdvdu vu f xF),()(?dv vxf xfX),()(?yYdudv vuf y F),()(?du yuf y fY),()(2）、连续型二维随机变量 (1)、区域G上的均匀分布，U(G)?其他,0),(,1),(G yxAy xf (2)、二维正态分布?y xeyx fyyxx,121), (2222212121212)()( (2)()1(21221? （3）、二维随机变量的条件分布0)()()(),(?xfx y fxf yx fXX Y X0)()()(?y fyxfyfY Y X Y?dy yfyxfdyyxfx fYY XX)()(),()(?dx xfxyfdx yxfy fXX YY)()(),()()(yx fY X)(),(y fyxfY?)()()(y fxfxy fYX