2019_2020学年高中数学第三章数系的扩充和复数的引入章末复习讲义新人教A版选修2.doc

第三章 数系的扩充和复数的引入 知识系统整合 规律方法收藏1待定系数法是数学中特别重要的一种解题方法，在本章的复数的运算当中，待定系数法用的较多，常设zabi(a，bR)，建立a，b的关系式，然后求解问题2解决复数问题时，要注意从整体角度去分析求解，若遇见复数便设为zabi(a，bR)的形式，有时会导致计算量过大运用整体代换及结合几何意义，可以大大地简化计算过程3复数相等的充要条件是复数问题实数化的理论依据4复数的模是复数的一个重要概念，也是高考重点考查的对象之一求复数的模的最值时，常用的方法有：(1)设出代数形式，利用求模公式，把模表示成实数范围的函数，然后利用函数来求最值；(2)利用不等式|z1|z2|z1z2|z1|z2|求解；(3)利用几何法求解5求复平面上的点的轨迹问题通常有两种途径：一是设zxyi(x，yR)，依据条件转化为关于x与y的方程，从而得出所求轨迹二是结合“基本轨迹方程”，充分考虑复数的整体性，运用条件及有关性质，探求轨迹上的点所对应的复数所具有的特征及满足的方程(代入法是求轨迹时常用的思想方法) 学科思想培优一、复数的基本概念例1(1)设z是复数，则下列命题中的假命题是()A若z20，则z是实数B若z20，则z是虚数C若z是虚数，则z20D若z是纯虚数，则z20(2)设i是虚数单位，若复数a(aR)是纯虚数，则a的值为()A3 B1 C1 D3(3)已知复数z(52i)2(i为虚数单位)，则z的实部为_解析(1)设zabi(a，bR)，则z2a2b22abi，若z20，则即b0，故z是实数，A正确若z20，则即故B正确若z是虚数，则b0，z2a2b22abi无法与0比较大小，故C是假命题若z是纯虚数，则z2b20，故D正确(2)aaa(3i)(a3)i，其为纯虚数得a3.(3)复数z(52i)22120i，其实部是21.答案(1)C(2)D(3)21拓展提升复数的分类是高考中的命题方向，要弄清复数类型的充要条件，若复数abi是实数，则b0，若复数abi是纯虚数，则a0且b0，若复数abi为零，则a0，且b0，若复数abi是虚数，则b0.解题时，注意先要对复数进行化简运算，再根据其类型得出相应的代数式，从而得出问题的答案二、复数的四则运算例2计算：(1)；(2).解(1)原式i.(2)原式1i.拓展提升复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式三、复数的几何意义例3已知z是复数，z2i，均为实数，且复数(zai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解设zxyi(x，yR)，因为z2ix(y2)i，且z2i为实数，所以y2.因为(x2i)(2i)(2x2)(x4)i，且为实数，所以x4，所以z42i，所以(zai)2(124aa2)8(a2)i，根据条件，可知解得2a6，所以实数a的取值范围是(2,6)拓展提升由于复数zabi与复平面上的点Z(a，b)存在一一对应关系，故可以把复平面内的某些图形用适合某些条件的复数的方程或不等式表示，反之，某些简单的复数方程或不等式也对应复平面上的某些图形四、复数的综合问题例4已知复数z1i(1i)3.(1)求|z1|；(2)若|z|1，求|zz1|的最大值解(1)z1i(1i)3i(1i)(2i)22i，|z1|2.(2)|z|1，可设zcosisin(R)，|zz1|cosisin22i| .当sin1时，|zz1|取得最大值，最大值为 21.拓展提升在知识的交汇处设计试题，是高考的命题宗旨之一，本例将求复数模的最值问题转化成了三角函数最值问题，方法巧妙，不失为一道经典考题例5已知关于t的一元二次方程t2(2i)t2xy(xy)i0(x，yR)(1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹方程；(2)若方程有实根，求方程的实根的取值范围解(1)设实根为m，则m2(2i)m2xy(xy)i0，即(m22m2xy)(mxy)i0.根据复数相等的充要条件得由得myx，代入得(yx)22(yx)2xy0，即(x1)2(y1)22.故点(x，y)的轨迹方程为(x1)2(y1)22.(2)由(1)知点(x，y)的轨迹是一个圆，圆心为(1，1)，半径r，设方程的实根为m，则直线mxy0与圆(x1)2(y1)22有公共点，所以 ，即|m2|2，即4m0.故方程的实根的取值范围为4,0拓展提升本题涉及复数与解析几何的知识，综合性较强，同学们往往不易入手，有一定的难度在第(2)问求实根的取值范围时，还可先由方程消去y建立关于实数x的二次方程，再用判别式求出m的范围通过本题，同学们要进一步认识把复数问题转化为实数问题求解的必要性，这是解决有关复数问题的常用方法五、复数方程问题例6设关于x的方程是x2(tani)x(2i)0.(1)若方程有实数根，求锐角和实数根；(2)证明对任意k(kZ)，方程无纯虚数根解(1)设实数根是a，则a2(tani)a(2i)0，即a2atan2(a1)i0.a，tanR，a1，且tan1.又0，.(2)证明：若方程存在纯虚数根，设为xbi(bR