高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差课件新人教A版

2 3 2离散型随机变量的方差 第二章 2 3离散型随机变量的均值与方差 1 理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念 2 能计算简单离散型随机变量的方差 并能解决一些实际问题 3 掌握方差的性质 以及两点分布 二项分布的方差的求法 会利用公式求它们的方差 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 问题导学新知探究点点落实 知识点一方差 标准差的定义及方差的性质甲 乙两名工人加工同一种零件 两人每天加工的零件数相等 所得次品数分别为X和Y X和Y的分布列如下 答案 思考1试求E X E Y 思考2能否由E X 与E Y 的值比较两名工人技术水平的高低 答案不能 因为E X E Y 思考3试想用什么指标衡量甲 乙两工人技术水平的高低 答案样本方差 答案 1 方差及标准差的定义设离散型随机变量X的分布列为 1 方差 D X 2 标准差为 2 方差与标准差的意义随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度 方差或标准差 则随机变量偏离于均值的平均程度 3 方差的性质 D aX b 越小 越小 a2D X 知识点二两点分布与二项分布的方差 p 1 p np 1 p 答案 返回 类型一求离散型随机变量的方差 标准差例1已知 的分布列为 解析答案 题型探究重点难点个个击破 1 求方差及标准差 2 设Y 2 E 求D Y 解 Y 2 E D Y D 2 E 22D 4 384 1536 解析答案 反思与感悟 反思与感悟对于变量间存在关系的方差 在求解过程中应注意方差性质的应用 如D a b a2D 这样处理既避免了求随机变量 a b的分布列 又避免了繁杂的计算 简化了计算过程 解析答案 跟踪训练1 1 已知随机变量 的分布规律如下 解析答案 2 已知X的分布列为 若 2X 2 则D 的值为 解析答案 例2某厂一批产品的合格率是98 1 计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差 解用 表示抽得的正品数 则 0 1 服从两点分布 且P 0 0 02 P 1 0 98 所以由D p 1 p 0 98 1 0 98 0 0196 2 从中有放回地随机抽取10件产品 计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差 解用X表示抽得的正品数 则X B 10 0 98 反思与感悟 反思与感悟 解此类问题 首先要确定正确的离散型随机变量 然后确定它是否服从特殊分布 若它服从两点分布 则其方差为p 1 p 若其服从二项分布 则其方差为np 1 p 其中p为成功概率 解析答案 跟踪训练2 1 已知随机变量X服从二项分布B n p 若E X 30 D X 20 则p A 解析答案 类型三方差的实际应用例3有甲 乙两种建筑材料 从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下 其中 A B分别表示甲 乙两种材料的抗拉强度 在使用时要求抗拉强度不低于120 试比较甲 乙两种建筑材料的稳定程度 哪一个的稳定性较好 反思与感悟 解E A 110 0 1 120 0 2 125 0 4 130 0 1 135 0 2 125 E B 100 0 1 115 0 2 125 0 4 130 0 1 145 0 2 125 D A 0 1 110 125 2 0 2 120 125 2 0 4 125 125 2 0 1 130 125 2 0 2 135 125 2 50 D B 0 1 100 125 2 0 2 115 125 2 0 4 125 125 2 0 1 130 125 2 0 2 145 125 2 165 由此可见E A E B D A D B 故两种材料的抗拉强度的平均值相等 其稳定程度材料乙明显不如材料甲 即甲的稳定性好 反思与感悟 1 本题采用比较分析法 通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论 2 均值体现了随机变量取值的平均大小 在两种产品相比较时 只比较均值往往是不恰当的 还需比较它们的取值的离散型程度 即通过比较方差 才能准确地得出更恰当的判断 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3A B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2 根据市场分析 X1和X2的分布列分别为 1 在A B两个项目上各投资100万元 Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润 求方差D Y1 D Y2 解由题设可知Y1和Y2的分布列分别为 E Y1 5 0 8 10 0 2 6 D Y1 5 6 2 0 8 10 6 2 0 2 4 E Y2 2 0 2 8 0 5 12 0 3 8 D Y2 2 8 2 0 2 8 8 2 0 5 12 8 2 0 3 12 2 将x 0 x 100 万元投资A项目 100 x 万元投资B项目 f x 表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和 求f x 的最小值 并指出x为何值时 f x 取得最小值 解析答案 返回 解析答案 达标检测 1 已知随机变量X的分布列为P X k k 3 6 9 则D X 等于 A 6B 9C 3D 4 1 2 3 4 A 解析答案 2 已知离散型随机变量X的可能取值为x1 1 x2 0 x3 1 且E X 0 1 D X 0 89 则对应x1 x2 x3的概率p1 p2 p3分别为 解析由题意知 p1 p3 0 1 1 21p1 0 01p2 0 81p3 0 89 又p1 p2 p3 1 解得p1 0 4 p2 0 1 p3 0 5 0 4 0 1 0 5 1 2 3 4 解析答案 3 有两台自动包装机甲与乙 包装质量分别为随机变量X Y 已知E X E Y D X D Y 则自动包装机 的质量较好 填 甲 或 乙 解析在均值相等的情况下 方差越小 说明包装的质量越稳定 所以自动包装机乙的质量较好 乙 1 2 3 4 解析答案 4 编号为1 2 3的三位学生随意入座编号为1 2 3的三个座位 每位学生坐一个座位 设与座位编号相同的学生的人数是 求E 和D 1 2 3 4 解析答案 解 的所有可能取值为0 1 3 0表示三位同学全坐错了 有2种情况 即编号为1 2 3的座位上分别坐了编号为2 3 1或3 1 2的学生 1表示三位同学只有1位同学坐对了 3表示三位学生全坐对了 即对号入座 1 2 3 4 所以 的分布列为 1 2 3 4 返回 规律与方法 1 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动 集中与离散的程度 以及随机变量取值偏离于均值的平均程度 方差D X 或标准差越小 则随机变量X偏离均值的平均程度越小 方差越大 表明平均偏离的