易混对比归纳总结

易混对比归纳总结 易混对比归纳总结函数复习中的几对易混误区 一、教学目的 1、掌握函数部分易混知识的对比与归纳辩析 2、函数性质的应用 3、提高学生的思维水平和分析问题、解决问题的能力 二、内容分析函数是中学数学的基础和重要组成部分，它既是培养学生综合解题能力的一个载体，也是高考一个重要的考点，常常成为高考数学命题中知识网络交汇的一个着力点。 但函数学习中不少知识容易混淆，似是而非，在高三复习的最后阶段，确有必要针对这些问题加以辩析。 三、教学过程在函数的学习中，经常会遇到条件相似，但在理解及解答方法上存在很大差异的一些问题，若能对比处理，在加深对题目的理解、题意的挖掘、审题能力的培养等多个方面都大有好处。 着重讨论这几类问题。 1、定义域与值域例1 （1）已知函数f(x)=log23ax2+(2a+1)x+1定义域为R，求实数a的取值范围； （2）已知函数f(x)=log23ax2+(2a+1)x+1的值域为R，求实数a的取值范围。 略解 （1）要使函数f(x)=log23ax2+(2a+1)x+1定义域为R，则须3ax2+(2a+1)x+10恒成立。 当a=0时，x+10不恒成立。 a=0不合题意。 当a0时，须a0且=（2a+1）2-12a0，解之得a（232?，232+） （2）要使f(x)=log23ax2+(2a+1)x+1的值域为R，则须g(x)=3ax2+(2a+1)x+1的值域包含（0，+），即g(x)的函数值取遍所有的正数，无一遗漏。 当a=0时，g(x)=x+1包含（0，+）当a0时，须a0且=（2a+1）2-12a0，解之得a（0，232?232+，+解题回顾注意对二次项系数的讨论，定义域为R转化为不等式恒成立，值域为R应转化为函数的值域包含（0，+），即函数值取遍所有的正数。 2、定义域与有意义例2 （1）已知函数f(x)=lg3421xxa?+的定义域为（-，1），求实数a的取值范围； （2）已知函数f(x)=lg3421xxa?+在（-，1）上有意义，求实数a的取值范围；略解 （1）由于函数f(x)的定义域为（-，1），故关于x的不等式1+2x+a4x0的解集为（-，1），由不等式方程的思想知x=1应为方程1+2x+a4x=0的根，代入解得a=43?。 （2）函数f(x)在（-，1）上有意义，则应是不等式1+2x+a4x0的解集包含（-,1）从而转化为在(-,1)上a- （21）x+（43。 1）xmax恒成立。 又g(x)=- （21）x+ （41）x在（，1）是增函数，a4解题回顾给定函数的定义域，往往转化为解不等式处理，也可以借助不等式解集的端点值恰好是该不等式所对应的方程的根求解。 若给定函数在某区间上有意义，则函数的定义域应包含所给有意义的区间，往往转化为恒成立问题加以解决。 3、值域与函数值变化范围例3 （1）如果函数y=3x2-(2a+6)x+a+3的值域为0，+，求实数a的取值范围。 (2)如果y=3x2-(2a+6)x+a+3的值恒为非负数，求实数a的取值范围。 略解 （1）y=3x2-(2a+6)x+a+3=333)33(22aaax?+?332aa?函数的值域为332aa?，+)332aa?=0a=3或0为所求。 （2）由y0恒成立，有=（2a+6）2433（a+3）03a0a3，0。 解题回顾当y恒为非负数时，是指当自变量x在定义域内取一切值，所对应的函数y的每个值必须大于等于0，但不一定要求y必须取到大于等于0的一切数。 而函数y=3x2-(2a+6)x+a+3的值域为0，+），是指当自变量x在定义域内取一切值时，所对应的函数必须能且只能取大于等于0的一切数。 4、有解与恒成立例4函数f(x)=x2+2x （1）若f(x)a在x1，3上有解，求实数a的取值范围； （2）若f(x)a在x1，3上恒成立，求实数a的取值范围；略解 （1）f(x)a在x1，3上有解，只要af(x)的最大值即可，又因为f(x)=x2+2xx=3时，f(x)取最大值15a15为所求。 （2）若f(x)a在x1，3上恒成立，必须af(x)的最小值，因为f(x)在1，3上最小值为3。 a3为所求。 5、反函数与反函数值例5 （1）已知f(x)=11?+xx（x1），求f(x1)的反函数； （2）已知f(x)=11?+xx（x1），求f-1(x1)。 略解 （1）由f(x)=11?+xx得f(x1)=xx?+11，设y=f(x1)即y=xx?+11，解得x=11?+yyf(x1)的反函数为y=xx?+11，（x1）。 （2）y=11?+xx，x=11?+yy，f-1(x)=11?+xx，（x1）f-1(x1)=xx?+11（x1）。 解题回顾由反函数的定义知，f-1(x)是与f(x)对应的，f-1(x)并不表示f(x1)中的x用x1)的反函数，它仅表求f-1(x1替代后的函数值。 6、自对称与互对称例6 （1）函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，则函数f(x)的图象关于_对称。 （2）函数y=f(1+x)与y=f(1-x)的图象关于_对称。 略解 （1）由f(1+x)=f(1-x)得f(x)=f(2-x)若P（x0,y0）是y=f(x)任一点，则P（2-x0,y0）也为y=f(x)上一点。 又P、P始终关于x=1对称y=f(x)上任一点关于x=1的对称点仍在该图象上y=f(x)关于x=1对称。 （2）函数f(1+x)上任一点P（x0,y0）关于x=0的对称点为P（-x0,y0）y0=f(1+x0)=f1-（-x0）P（-x0,y0）在函数y=f(1-x)图象上反之亦成立函数y=f(x+1)与y=f(1-x)的图象关于x=0对称。 解题回顾函数满足f(a+x)=f(b-x)的自对称轴为2bax+=，函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的互称轴为2abx?=。 7、左移与右移例7 （1）已知函数f(x)是偶函数，则函数y=f(x+2)关于_对称。 （2）已知函数y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)关于_对称。 略解 （1）f(x)为偶函数y=f(x)关于x=0对称f(x)左移2个单位得f(x+2)的图象y=f(x+2)关于x=-2对称。 （2）y=f(x+2)为偶函数y=f(x+2)关于x=0对称，y=f(x+2)右移2个单位得f(x)的图象y=f(x)关于x=2对称。 注函数y=f(x+2)为偶函数应有f(x+2)=f(-x+2)，而非f(x+2)=f(-x-2)。 8、主元与次元例8 （1）已知函数f(x)=x2+ax+1在x0，2上f(x)0恒成立，求a的范围； （2）已知函数f(x)=x2+ax+1在a0，2上f(x)0恒成立，求a的范围；略解 （1）视x为主元，a为参数，利用二次函数求最值较复杂。 当x=0时，f(x)=10恒成立，此时aR。 当x(0，2)时，x2+ax+10恒成立，即a(-x-x1-21)max的最大值。