高中数学基础知识归纳

高中数学基础知识归纳 高考高中数学基础知识归纳第一部分集合1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？?2.数形结合是解集合问题的常用方法解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3. (1)元素与集合的关系x?A?x?C UA,x?C UA?x?A. （2）德摩根公式C U(A?B)?C UA?C UB;C U(A?B)?C UA?C UB. （3）A?B?A?A?B?B?A?B?C UB?C UA?A?C UB?C UA?B?R注意讨论的时候不要遗忘了A?的情况. （4）集合a1,a2,?,a n的子集个数共有2n个；真子集有2n1个；非空子集有2n1个；非空真子集有2n2个.4?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分函数与导数1映射注意:第一个集合中的元素必须有象；一对一或多对一.2函数值域的求法分析法；配方法；判别式法；利用函数单调性；换元法；利用均值不等式ab?a?b2?a?b222；利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；利用函数有界性（ax、sin x、cos x等）；平方法；导数法3复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法若f(x)的定义域为a，b,则复合函数fg(x)的定义域由不等式ag(x)b解出若fg(x)的定义域为a,b,求f(x)的定义域，相当于xa,b时，求g(x)的值域. （2）复合函数单调性的判定首先将原函数y?fg(x)分解为基本函数内函数u?g(x)与外函数y?f(u)分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.4分段函数值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 15函数的奇偶性:?函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件?f(x)是奇函数?f(?x)?f(x)；f(x)是偶函数?f(?x)?f(x).?奇函数f(x)在0处有定义，则f (0)?0?在关于原点对称的单调区间内奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性?若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性6函数的单调性:?单调性的定义f(x)在区间M上是增函数?x1,x2?M,当x1?x2时有f(x1)?f(x2)；f(x)在区间M上是减函数?x1,x2?M,当x1?x2时有f(x1)?f(x2)；?单调性的判定定义法一般要将式子f(x1)?f(x2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；导数法（见导数部分）；复合函数法；图像法注证明单调性主要用定义法和导数法。 7函数的周期性 (1)周期性的定义对定义域内的任意x，若有f(x?T)?f(x)（其中T为非零常数），则称函数f(x)为周期函数，T为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。 如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （2）三角函数的周期y?sin x:T?2?；y?cos x:T?2?；2?|?|y?tan x:T?；y?A sin(?x?),y?A cos(?x?):T?；y?tan?x:T?|?| (3)与周期有关的结论f(x?a)?f(x?a)或f(x?2a)?f(x)(a?0)?f(x)的周期为2a8基本初等函数的图像与性质x.?指数函数y?a(a?0,a?1)；?对数函数:y?logax(a?0,a?1)；?幂函数y?x（?R)；?正弦函数:y?sin x；?余弦函数y?cos x； （6）正切函数y?tan x；?一元二次函数ax?bx?c?0（a0）；?其它常用函数2?2正比例函数反比例函数y?y?kx(k?0)；mkx函数(k?0)；y?x?ax(a?0).?分数指数幂an?.ab?N?loglogManam；a?mn?1m（以上a?0,m,n?N?，且n?1）.aanN?b；loga?MN?nlogaM?logaN；N?logaM?logaN；logam b?nmloga b.a?.对数的换底公式:logaN?9二次函数logmNlogma.对数恒等式:alog N?N.?解析式一般式f(x)?ax2?bx?c；顶点式f(x)?a(x?h)2?k，(h,k)为顶点；零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)（a0）.?二次函数问题解决需考虑的因素开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。 二次函数y?ax2?bx?c的图象的对称轴方程是x?b2a，顶点坐标是?b4ac?b2?2a，4a?。 ?10函数图象?图象作法描点法（特别注意三角函数的五点作图）图象变换法导数法?图象变换平移变换)y?f(x)?y?f(x?a)，(a?0)左“+”右“”；)y?f(x)?y?f(x)?k,(k?0)上“+”下“”；对称变换)y?f(x)?y?f(?x)；)y?f(x)?y?f(x)；)y?f(x)?y?f(?x)；)y?f(x)?x?f(y)；翻折变换)y?f(x)?y?f(|x|)（去左翻右）y轴右不动，右向左翻（f(x)在y左侧图象去掉）；)y?f(x)?y?|f(x)|（留上翻下）x轴上不动，下向上翻（|f(x)|在x下面无图象）；11函数图象（曲线）对称性的证明x?0y?x(0,0)y?03 (1)证明函数y?f(x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上； （2）证明函数y?f(x)与y?g(x)图象的对称性，即证明y?f(x)图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在y?g(x)的图象上，反之亦然。 注曲线C1:f(x,y)=0关于原点（0,0）的对称曲线C2方程为f(x,y)=0;曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为f(x,y)=0;曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为f(x,y)=0;曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为f(y,x)=0f(a+x)=f(bx)（xR）?y=f(x)图像关于直线x=a?b2对称；特别地f(a+x)=f(ax)（xR）?y=f(x)图像关于直线x=a对称.y?f(x)的图象关于点(a,b)对称?f?a?x?f?a?x?2b.特别地y?f(x)的图象关于点(a,0)对称?f?a?x?f?a?x?.函数y?f(x?a)与函数y?f(a?x)的图象关于直线x?a对称;函数y?f(a?x)与函数y?f(a?x)的图象关于直线x?0对称。 12函数零点的求法?直接法（求f(x)?0的根）；?图象法；?二分法. (4)零点定理若y=f(x)在a,b上满足f(a)f(b)07圆的方程的求法?待定系数法；?几何法。 8点、直线与圆的位置关系（主要掌握几何法）?点与圆的位置关系（d表示点到圆心的距离）d?R?点在圆上；d?R?点在圆内；d?R?点在圆外。 ?直线与圆的位置关系（d表示圆心到直线的距离）d?R?相切；d?R?相交；d?R?相离。 ?圆与圆的位置关系（d表示圆心距，R,r表示两圆半径，且R?r）d?R?r?相离；d?R?r?外切；R?r?d?R?r?相交；d?R?r?内切；0?d?R?r?内含。 9直线与圆相交所得弦长|AB|?2r2?d2第六部分圆锥曲线1定义?椭圆|MF1|?|MF2|?2a,(2a?|F1F2|)；?双曲线|MF1|?|MF2|?2a,(2a?|F1F2|)；?抛物线|MF|=d2结论?直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则8AB?(x1?x2)?(y1?y2)1?1k222,或AB?x1?x21?k2,或AB?y1?y2.2ba2注抛物线ABx1+x2+p；通径（最短弦）椭圆、双曲线抛物线2p.?过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为mx2；）?ny2?1（m,n同时大于0时表示椭圆；mn?0时表示双曲线）；当点P与椭圆短轴顶点重合时?F1PF2最大；?双曲线中的结论2222双曲线x?y?1（a0,b0）的渐近线x?y?0；2222a ba b共渐进线y?bax的双曲线标准方程可设为xa22?yb22?(?为参数，?0）；双曲线为等轴双曲线?e?2?渐近线互相垂直；?焦点三角形问题求解利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。 3直线与圆锥曲线问题解法?直接法（通法）联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。 注意以下问题联立的关于“x”还是关于“y”的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？?设而不求（点差法-代点作差法）-处理弦中点问题步骤如下设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；作差得kAB?y1?y2x1?x2?；解决问题。 4求轨迹的常用方法 （1）定义法利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）； （3）代入法（又称相关点法或坐标转移法）；?待定系数法； （5）消参法； （6）交轨法； （7）几何法。 第七部分平面向量1.平面上两点间的距离公式:dA,B?(x2?x1)?(y2?y1)，其中A(x1,y1)，B(x2,y2).222.向量的平行与垂直设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则ab?b=a?x1y2?x2y1?0；a?b(a?0)?ab=0?x1x2?y1y2?0.3.ab=|a|b|cos=x1x2+y1y2；注|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；ab的几何意义ab等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。 94.cos=a?b；|a|b|5.三点共线的充要条件P，A，B三点共线?OP?xO A?yO B且x?y?1。 第八部分数列1定义 (1)等差数列a?n?a n?1?a n?d(d为常数,n?N）?a n?a n?1?d(n?2)?2a2n?a n?1?a n?1(n?2,n?N*)?a n?kn?b?S n?An?Bn?等比数列aa n?1n?a?q(q?0)?a2?a?n n-1?a n?1(n?2,n?N)n2等差、等比数列性质等差数列等比数列通项公式an?a1?(n?1)d a n?a1qn?11.q?1时，S n?na1;前n项和S(a1?a n)(n?1)n?nan2?na1?n2d2.q?1时，S1(1?q)n?1?q?a1?a nq1?q性质a n=a m+(nm)d,a n=a mqn-m;m+n=p+q时a m+a n=a p+a qm+n=p+q时a ma n=a pa qSk,S2k?S k,S3k?S2k,?成APS k,S2k?S k,S3k?S2k,?成GPa成GP,q?qmk,ak?m,ak?2m,?成AP,d?mda k,ak?m,ak?2m,?3常见数列通项的求法?定义法（利用AP,GP的定义）；?累加法（a n?1?a n?c n型）；aS1n=S nS n-1?公式法?累乘法（a n?1a?c n型）；n?待定系数法（an?1?kan?b型）转化为a n?1?x?k(a n?x) （6）间接法（例如a n?1?a n?4a na n?1?1a?1?4）； （7）（理科）数学归纳na n?1法。 4前n项和的求法?分组求和法；?错位相减法；?裂项法。 5等差数列前n项和最值的求法10(n=1)(n2)?Sn最大值?an?0?a?0?或Sn最小值?n?；?利用二次函数的图象与性质。 ?a n?1?0?an?1?0?第九部分不等式1均值不等式ab?a?b2?a?b222(a,b?0)注意一正二定三相等；变形ab?(2极值定理已知x,y都是正数，则有a?b2)?2a?b222(a,b?R)。 (1)如果积xy是定值p，那么当x?y时和x?y有最小值2 (2)如果和x?y是定值s，那么当x?y时积xy有最大值142p；s.3.解一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0):若a?0,则对于解集不是全集或空集时,对应的解集为“大两边，小中间”.如:当x1?x2,?x?x1?x?x2?0?x1?x?x2；?x?x1?x?x2?0?x?x2或x?x1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系一元二次不等式ax2?bx?c?0或ax2?bx?c?0?a?0?的解集设相应的一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的两根为x 1、x2且x1?x2，?b2?4ac，则不等式的解的各种情况如下表?0y?ax2?0?bx?c y?ax2?0y?ax2?bx?c?bx?c二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图象有两相异实根x1,x2(x1?x2)有两相等实根x1?x2?b2a无实根一元二次方程ax2?bx?c?0?a2?0?的根ax?bx?c?0(a?0)的解集?x x?x或x?x?12?b?x x?2a?R11ax?bx?c?0(a?0)的解集2?xx1?x?x2?24.含有绝对值的不等式当a?0时，有x?a?x?a?a?x?a；x?a?x?a?x?a或x?a.5.分式不等式f?x?f?x? （1）?0?f?x?g?x?0； （2）?0?f?x?g?x?0；g?x?g?x? （3）?f?x?g?x?0?f?x?g?x?0f?x?； （4）.?0?0?g?x?g?x?g?x?0?g?x?0f?x?f(x)?0?.f(x)?logag(x)?g(x)?0?f(x)?g(x)?2226.指数不等式与对数不等式 (1)当a?1时,af(x)?ag(x)?f(x)?g(x)；loga (2)当0?a?1时,af(x)?ag(x)?f(x)?g(x)；?f(x)?0?f(x)?logag(x)?g(x)?0?f(x)?g(x)?loga3不等式的性质?a?b?b?a；?a?b,b?c?a?c；?a?b?a?c?b?c；a?b,c?d?a?c?b?d；?a?b,c?0?ac?bd；a?b,c?0?ac?bc；a?b?0,c?d?0?ac?bd;?a?b?0?a?b?0(n?N);?a?b?0?nn n?a?nb(n?N)?第十部分复数1概念2?z=a+biR?b=0(a,bR)?z=z?z0；?z=a+bi是虚数?b0(a,bR)；?z=a+bi是纯虚数?a=0且b0(a,bR)?zz0（z0）?z0时，变量x,y正相关；r0时，变量x,y负相关；?当|r|越接近于1，两个变量的线性相关性越强；当|r|越接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 4回归直线方程n?x i?x?y i?y?b?i?1n?2，其中y?a?bx?x i?x?i?1?a?y?bxn?x yii?1ni?nx y2?i?1x i?nx214第十三部分算法初步1程序框图?图形符号终端框（起止框）；输入、输出框；处理框（执行框）；判断框；流程线；?程序框图分类:顺序结构条件结构循环结构r=0?否求n除以i的余数输入n是n不是质数n是质数i=i+1i=2i?n或r=0?否是注循环结构分为当型（while型）先判断条件，再执行循环体；直到型（until型）先执行一次循环体，再判断条件。 2基本算法语句?输入语句INPUT“提示内容”；变量；输出语句PRINT“提示内容”；表达式赋值语句变量=表达式?条件语句IF条件THEN IF条件THEN语句体语句体1END IFELSE语句体2END IF?循环语句当型直到型:WHILE条件DO循环体循环体WEND LOOPUNTIL条件第十四部分常用逻辑用语与推理证明1充要条件的判断 （1）定义法-正、反方向推理注意区分“甲是乙的充分条件（甲?乙）”与“甲的充分条件是乙（乙?甲）” （2）利用集合间的包含关系例如若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。 152逻辑联结词?且(and)命题形式p?q；p q p?q p?q?p?或（or）命题形式p?q；真真真真假?非（not）命题形式?p.真假假真假假真假真真假假假假真3四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若则若则互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非则非互逆若非则非4。 四种命题?原命题若p则q；?逆命题若q则p；?否命题若?p则?q；?逆否命题若?q则?p注原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。 5.全称量词与存在量词?全称量词-“所有的”、“任意一个”等，用?表示；全称命题p?x?M,p(x)；全称命题p的否定?p?x?M,?p(x)。 ?存在量词-“存在一个”、“至少有一个”等，用?表示；特称命题p?x?M,p(x)；6.常见结论的否定形式原结论是都是大于小于对所有x，成立对任何x，不成立特称命题p的否定?p?x