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人教版B版高中数学选修22(B版）数学归纳法应用举例 数学归纳法应用举例例例1用数学归纳法证明2222 (1) (21)1236n n nn?证明 （1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；（ （2）假设当n=k时，等式成立，即2222 (1) (21)1236k k kk?那么222222 (1) (21)123 (1) (1)6k k kk k k?22 (1) (21)6 (1) (1) (276)66 (1)( (2) (23) (1) (1)12 (1)166k k k k k k kk kkkkk?这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由 （1）和 （2）可以断定，等式对任何nN+都成立。 例例2证明平面上n个圆最多把平面分成n2n+2个区域。 证明 （1）一个圆将平面分成2个区域，而当n=1时，n2n+2=2，因此结论当n=1时成立；（ （2）假设当n=k时，结论成立，即k个圆最多把平面分成k2k+2个区域。 在此基础上，为使区域最多，应使新增加的圆与前k个圆都交于两点，于是新增2k个交点，这2k个交点将新圆分成2k段弧，这2k段弧将所经过的区域一分为二，因此新增2k个区域，这样k+1个圆最多把平面分成(k2k+2)+2k=(k+1)2(k+1)+2个区域，这就是说，当n=k+1时，结论也正确，由 （1）和 （2）可以断定，结论对任何nN+都正确。 例例3求证当n5时，2nn2，证明 （1）当n=5时，25=32，52=25，因此此2552，即n=5时，结论正确；（ （2）假设当n=k(k5)时，这个命题是正确的，那么由2kk2得得122222kkk?222521 (1)kkkkk?这就是说，当n=k+1时，命题也是正确的.由 （1）和 （2）可以断定，这个命题对于所有大于或等于5的正整数n都正确。 例例4求证凸n边形的对角线的条数为 (3)(), (4)2n nfnn?证明 （1）当n=4时，四边形的对角线有有2条，f (4)=2，所以对于n=2，命题成立.（ （2）设凸k边形的对角线的条数为 (3)(), (4)2k kfkk?当当n=k+1时，k+1边形比k边形多了一个顶点,例例5求证当n为正奇数时7n+1能被8整除.证明 (1)n=1时，71+1=8能被8整除； (2)假设n=k(k为正奇数)时7k+1能被8整除(设7k+1=8M，MN)则当n=k+2时，7k+2+1=727k+7272+1=72(7k+1)48=498m86
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