人教版B版高中数学选修22(B版）数学归纳法

人教版B版高中数学选修22(B版）数学归纳法 数学归纳法归纳推理是合情推理，它可以帮助我们发现规律，但是不能用来证明数学结论，数学归纳法是已知证明方法，专门用来证明与自然数相关的命题。 1数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k?N*，kn0)时命题成立，证明当当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2数学归纳法的基本思想即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(kn0，kN*)时，命题成立(这时命题是否成立不是确定的)。 根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，命题都成立.例如在本章2.1节的练习中，同学们用归纳推理猜想到223333 (1)123(*)4n nn?这个猜想是一个与自然数相关的命题，其正确性有待证明。 要证明公式（*）成立，原则上要对每一个正整数n实施证明。 但是这个证明步骤是无限的，无法实施，需要另寻方法。 数学归纳法可以用有限的步骤，完成这个命题的证明。 其步骤如下（ （1）当n=1时，（*）式左端等于1，右端也等于1，因此（*）式对n=1成立；（ （2）假设当n=k时，（*）式成立，即假设223333 (1)1234k kk?在此前提下，可推出22333333 (1)123 (1) (1)4k kk k k?而而22232 (1) (1) (1) (1)44k k kk k k?22 (1) (2)4k k?由此可见在假设（*）式对n=k成立的前提下，推出（*）式对n=k+1成立。 于是可以断定（*）式对一切正整数n成立.由步骤 （1），可知（*）式对n=1成立；由（*）式对n=1成立及步骤 （2），可知对n=1+1=2，（*）式成立；再由（*）式对n=2成立及步骤 （2），可知对n=2+1=3，（*）式成立；继续上述步骤，可知（*）式对n=3+1=4，n=4+1=5，n=5+1=6，n=(k1)+1=k，都成立。 于是（*）式对一切正整数n成立。 数学归纳法一个与自然数相关的命题，如果那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立。 （ （1）当n取第一个值n0时命题成立； （2）在假设当n=k(kN+，且kn0)时命题成立的前提下，推出当n=k+1时命题也成立，例例1用数学归纳法证明如果a n是一个等差数列，公差是d，那么a n=a1+(n1)d对一切nN+都成立。 证明 （1）当n=1时，左边=a1，右边=a1,等式是成立的；（ （2）假设当n=k时，等式成立，即a k=a1+(k1)d，那么a k+1=a k+d=a1+(k1)d+d=a1+kd，这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由 （1）和 （2）可以断定，等式对任何nN+都成立。 例例2用数学归纳法证明1+3+5+(2n1)=n2.证明 （1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；（ （2）假设当n=k时，等式成立，即1+3+5+(2k1)=k2.那么1+3+5+(2k1)+2(k+1)1=k2+2(k+1)1=k2+2k+1=(k+1)2.这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由 （1）和 （2）可以断定，等式对任何nN+都成立。 22 (1)