高等数学在大学物理中的应用.doc

高等数学在大学物理中的应用数学是物理的基础，是研究物理学的工具，所有物理问题的定量分析、计算和研究都离不开数学知识，从简单的代数运算到物理问题的数学建模以及物理问题的数值计算都和数学密切相关，故学好数学是学好物理的关键，没有良好的数学基础，想要学好物理是不可能实线的。就大学物理学习而言，其中所有内容均广泛涉及到高等数学知识，大学物理是以高等数学为基础的离开了高等数学，大学物理就成了无木之本，无水之鱼。 高等数学和大学物理课程的依存性大学物理课程是高等数学的最大用户。数学的概念贯穿于大学物理的每一分支。物理思维式与数学的方法运用有无法割舍的血缘联系。它们被对方所引用的频率和在本课程中的地位不尽相同，比如复合函数的概念在高等数学中是了解内容，但它却是分析、解决物理问题的重要方法。大学物理课程中出现的高等数学知识主要表现在以下几个方面：函数；极限过程极限概念与极端条件；函数增量与微分的关系，以直代曲；甬数的平均变化率与极限变化率；导数与导函数；矢量代数与矢性函数的分析运算；微分的运算法则；全微分概念；数量场的等值线、等值面，方向导数和梯度；曲线族与曲面族的包络；微分方程的建立与初始条件。可分离变量的常微分方程二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程解的结构及解法线性微分方程解的可叠加性；级数和积分的收敛与发散概念：定积分概念和求解，求极限的思路及分割、近似、取和、求极限步骤，从局部线性化到整体叠加的微元法思想：有向曲面上的矢量面元。体积元素；极坐标，自然坐标，柱面坐标。球面坐标的概念及其应用；坐标变换多元积分换元法：矢量场；第二类曲线积分：积分与路径有关(无关)的思路。矢量场的环流：第二类曲面积分：矢量场的通量；散度旋度，Stokes定理，等等。总之，大学物理课程离不开高等数学的大力支持。反过来物理学对数学也给予丰厚的回报。主要体现在以下几个方面：一是学生通过大学物理的学习，对数学的思想和方法会有更深层次的了解对数学语言的丰富内涵和高度概括力会有广泛的了解。数学概念和物理问题多角度的联系可锻炼学生灵活运用数学方法和运算技巧，将数学课程中分段讲授的内容和方法融会贯通弥补高等数学中的一些短板，实现概念与方法的统一。二是在高等数学中枯燥、抽象的数学概念，通过物理知识形象地展示给学生，比如：物理学中功定义的数学抽象出了数学中定义在空间域中一条光滑曲线的有向孤段上的矢量函数在该弧段上的第二类曲线积分，通过物理图像形象、直观地反映出来。翻开高等数学教材不难发现：积分概念的建立，从定积分、不定积分、广义积分、二重积分、j重积分到第一类、第二类曲线积分、曲面积分。在其中占据了很大的篇幅。要融会贯通地理解并正确应用。其夫键是掌握这些概念的共同本质，高等数学教学没有举一反三的介绍只是给出统一的步骤。而在大学物理教学中信手拈来“据为己用”，集中体现了“多种积分的魂。重力(电)势能、重力(电)势和状态函数的定义，是通过适量积分简洁明快地给出积分与路径或过程无关，只与始、末位置有关。向量(矢量)运算在物理课中是广泛应用的数学T具。矢量代数、矢最分析及场论是数学、物理两门课重要的结合部。1 微元思想的应用大学物理和中学物理的最大区别在于中学物理通常研究的都是稳恒量和离散量，而大学物理所研究的基本都是连续量和变量，若想借鉴已有的知识进一步的学习，微元法的思想就尤为重要。例如速度 的求解就用到位移元 和时间微元 （ ）；刚体质心的求解就用到质量微元 ，电场强度和电势的求解用到电荷微元 ，磁场强度的求解用到电流元 等等1-2。有了微元量之后我们就可以利用已经掌握的知识求解这些微元量的物理问题进而利用求和的方法求得连续体的物理问题。大学物理课程是中学物理的延续、深化和拓展,它和中学物理之间有着很大的区别。中学物理课程中的知识多涉及特殊情况下的物理模型,例如匀加速直线运动、恒力做功和恒定电磁场等,而大学物理课程中的知识趋向一般化,例如变加速运动、变力做功和变化的电磁场等。鉴于此,大学物理的学习要以高等数学为工具来考虑问题,利用微积分和矢量等来解决大学物理中的一般化问题。高等数学是大学课程中的一门基础课,其中采用微积分和矢量来解决物理问题的教学内容很少,使得学生对于大学物理中这方面的内容总是疑惑颇多。本文结合高等数学的知识,从几个典型例题出发对微元法在大学物理中的应用进行了详细的阐述。 高等数学中的定积分,是从求任意曲线下的面积引出的。已知y是x的函数,即y = y(x),在xoy坐标系中曲线y = y(x)下的面积可近似看成许多个小矩形面积之和。若分割的矩形个数为无穷多个,则求和可转换为积分形式,曲线下的面积可表示如下: 其中,ds = ydx即为面积元,dx要非常小,以至任意x处dx范围内的函数值都可近似为x处的函数值y = y(x),积分上下限由自变量x的范围来确定。 当然,在大学物理中上述面积元要相应的变换为有物理含义的种种微元,例如线元、力元、元功、元位移、电荷元、电流元等。 1 标量积分 中学物理中所涉及的有关绳子的问题中,强调绳子为轻绳,这就意味着绳子的质量可以忽略不计。但是,现实中的绳子都是有质量的,即绳子为重绳,由此问题复杂化了。 图1绳子中的张力 如图1所示,对质量为m的绳子的一端,沿绳长方向施加大小为F的力,可知绳子做加速运动。在绳子中取一小段作为研究对象,质量为m,长度为l设水平向右为正方向,该段绳两端受力分别为T1和T2,据牛顿第二定律可知其所受合外力为T = (T1-T2)。由于绳子所受力的方向与绳子方向平行,可以考虑为标量积分,因此可得: T = T1 - T2 = (m)a 其中,a为该段绳的加速度大小。因m0,所以T1和T2不相等。由此可知,重绳在加速运动时,绳中各点的张力(绳内各段之间的相互作用力)均不相同。因此在大学物理中处理有关重绳的力学问题时,要考虑使用微元法,举例如下。 有一质量为m的绳OA,长为l,一端固定于O点,绳子绕固定点在水平面内旋转,角速度为w,求绳子中任意位置处的张力。 如图2中,以固定端O为坐标原点,沿绳方向建立径向坐标系O-X。根据上述对重绳的分析,选取重绳中的微元,其质量为dm,两端坐标分别为x和(x+dx),长度为dx。我们知道,重绳中微元两端所受的力并不相等,其合外力为dT。因为绳子在水平面围绕固定点旋转,即绳上的微元均以O为圆心作圆周运动,由此微元所受合外力为向心力。取绳中两相邻的微元1和2,受力如图所示。因为A端为自由端,微元1所受的力T1 = 0,所以 - T2 = dm2x1 其中,负号意味着假设力T2的方向与所建立的X轴正方向相反,x1为微元1所在位置处的坐标。对于与微元1相邻的微元2而言,受力如图所示,可知 - T3 + T2 = dm2x2 其中x2为微元2所在位置处的坐标。依此类推,绳中任意位置x处的微元n,其受力的表示式如下: - Tn+1 + Tn = dm2xn 下面从两个不同的角度来考虑该问题。 (1)由张力的定义可知,任意x处的张力近似为上述n个式子求和。可得: - Tn+1 = dm2(x1+x2+xn) = (dx)2xi = 2(xidx) 若所取微元为无穷小时,求和转变换为积分形式。因为x1 = l,xn = x,则绳中任意x处的张力为: 其方向沿绳子的方向指向原点O,即沿负X轴方向。 (2)根据上述微积分的概念,也可直接将n个式子的求和改为下式的定积分: - dT = - (Tn+1 - Tn) = dm2x 其中,T的积分下限为T1 = 0,对应着x的积分下限为A端(即x = l);T的积分上限为T(即待求量),对应着x的积分上限为x式中负号的含义也可以理解为随着x的增加,其张力逐渐减小。因此可得: 实际上,数学定积分中的面积元ds转换成了力元dT。由上式可得任意微元x处的张力为: T = 可见,从两个角度考虑问题的结果是一致的。角度(2)是大学物理中常用的方法,直接列出任意微元处的等式,再根据已知确定相应的积分上下限,由此得出待求结果。而角度(1)从某种意义上来说,更加清楚地说明了角度(2)的来源。该定积分的方法在力学中常见,例如求解变力的冲量、连续体的质心和刚体的转动惯量等。 2 矢量积分 上述力学例题,只是说明了标量的定积分问题,但大学物理更复杂的内容要涉及矢量的微积分、矢量的叉积和点积等。下面以一道电学题为例来说明此问题。 有一带电细棒,其上电荷均匀分布,电荷线密度为?,P点到棒的垂直距离为d,从P点做棒的垂线,垂足与棒左右两端的距离分别为a和b,求P点处的电场强度。 我们知道,点电荷的电场强度公式中要涉及激发电场的电荷与空间点之间的距离。据此,要考虑整个带电细棒在P点所激发的电场强度就要把细棒分成无穷多份,以至于每份都可以看成点电荷(即电荷元)。使用点电荷的场强公式求出任意电荷元在P点所激发的场强,因电场强度为矢量,之后将所有电荷元在P点所激发的场强进行矢量叠加,即可求得最终结果。根据对上述力学问题的分析可知,求和可以转换为积分来计算。 图3均匀带电细棒在空间所激发的电场强度 对矢量进行积分时,我们可以将矢量分解到不同的方向,对每个方向上的分量分别积分,再将每个方向上的积分结果组合即是最终结果。设一矢量为,在直角坐标系中三个方向的分量分别为ux,uy,uz。该矢量对作用时间的积分可以写成其三个分量分别对作用时间积分的矢量组合,即。例如,力学中速度和加速度对作用时间的积分,可分别写为和 。 如图3,以细棒左端为坐标原点,以水平向右的方向为正方向,建立坐标系O-X。任意选取的电荷元dq的左右位置分别为x和x+dx。电荷元dq在P点所激发的电场强度可以分解为X和Y方向上的分量和。据点电荷所激发场强的公式可知,其作用等效于数学定积分中的面积元ds。由此可得 其中,对于矢量的积分可转换为对标量的积分。下面来具体求解: 其中dq = dx,自变量x的范围为0,a+b,则 同理,可得 确定积分上下限,则 因此,带电棒在P点激发的场强为 由上可知,当a = b时,即带电细棒在其中垂线上所激发的场强只有Y方向的分量。此题中的积分变量采用x,当然积分变量也可归结为,这在参考书中常见,本文所得结果与注释中的结果相吻合。 这种方法在电磁学中的运用非常普遍,例如求解带电圆环、圆盘、球壳和球体在空间某点所激发的电场强度;利用毕奥-萨伐尔定律求解载流直导线和线圈在空间某点所激发的磁感应强度等。 3 有关环路和曲面的积分 我们知道在大学物理中,积分并不简单停留在上述单一的标量和矢量积分上,有时还要涉及种种的方向规定,例如回路的方向、电动势的方向、曲面的方向、电场强度和磁感应强度的方向等。下面我们以电磁学中的一道题目为例来说明该类问题。 如图4,有一均匀分布的磁场,位于圆柱形区域内,0,有一根长为L的导体棒AB如图放置,棒与圆柱轴线之间的垂直距离为d,求导体棒AB上的感应电动势。 图4变化的磁场在导体棒中引发感应电动势 由电磁学知识可知,变化的磁场可以引发涡旋电场,其电场线为闭合曲线。因随时间逐渐增加,可知涡旋电场的电场线方向为顺时针方向(如图4中的圆形虚线)。选取圆柱形区域内,距中心为r处的涡旋电场的电场线与导体棒相交位置处的导体棒线元,该线元距B端(设为坐标原点)距离为l,其正方向为水平向左。线元处的涡旋电场方向为电场线的切线方向,其与线元之间的夹角为。由法拉第电磁感应定律可知,导体棒上电动势的方向为由B指向A。若能求得,根据电动势的定义式,即可求得导体棒上的感应电动势。 下面首先根据关系式 来求解,其中曲面S为积分回路l(即半径为r的圆周)所包围的面积。假设顺时针方向为积分回路的正方向,因积分回路l的绕行方向与曲面S的法线方向成右手螺旋关系,所以面积元的正方向为垂直纸面向里。因仅随时间逐渐增加,可知,其方向为垂直纸面向外。值得注意的是,涡旋电场的方向与所选积分回路方向相同,均为顺时针方向,且积分回路上涡旋电场的大小处处相等。由此,可得: 由此,可得。利用公式即可求得感应电动势。注意到,公式中积分路径的方向(由B沿棒指向A)与棒的方向相平行。所以, 可见,这说明棒上感应电动势的方向由B指向A,与采用法拉第电磁感应定律判断的结果相一致。 基于上述讨论,可以采用微元法求解通过任意曲面的物理量(例如:电场强度、电位移和磁感应强度等)的通量,其中要保证所取面积元处的该物理量近似为常矢量,还可以用来求解物理量(例如:电场强度、磁感应强度和磁场强度)的环流。 导数的应用2.1 力学中导数的应用 对于大学物理中的运动学，可以分为两类问题：第一类是微分问题，即已知物体的运动方程，求解物体的运动速度和加速度；第二类问题则是已知物体的加速度和初始条件求解物体的运动方程和轨道方程。对第一类问题，其本质就是利用微元思想，根据物理量的定义求解运动方程关于时间的一阶导数或二阶导数（ ； ）。此外还有牛顿第二定律的普遍表达式 、功率 以及刚体力学中的角速度、角加速度都是关于时间的导数求解3。2.2 物理中的极值问题在求解物理问题中，常遇到一些求极值的问题，单从物理知识的角度又不易解答，若将这类难于解答的问题转化为数学问题，问题就要简单的多。最常用的方法为求导法，即将要求物理量的表达式看成是某一个变量的函数，将该函数关于变量求一阶导数并令其等于零则可以求出变量的定值，然后带入原表达式就可以求出该物理问题的极值。例如：气体分子速率分布中的最概然速率 的求解、含源闭合回路最大匹配功率的求解。此外，还可以利用二次方程判别式求解物理问题的极值，即把含求物理量的表达式看成是方程，在方程中选定适当的物理量为未知量，通过变换使该物理出现二次项，这样，方程就变成了一元二次方程，通过判别式 就可求出极值。某些时候也利用三角函数值域求解物理极值，即当待求量表达式中含有正弦(或余弦)函数时，通过三角函数变换，用某一个正弦函数(或余弦函数)表示待求量，运用三角函数值域，分析待求量的表达式，求得极值。3 积分的应用对于所有的物理问题，我们都可以根据已有的定律、定理及物理问题的客观属性进行定性分析，但涉及到定量计算则必须利用数学表达式，而大部分定律、定理都是针对离散量或理想模型，对于连续量的物理问题我们除了应用微元法外，还要利用积分知识，即对求得的离散的微元问题进行求和，从物理上将就是标量的代数和、矢量的迭加原理。例如：电场高斯定理中高斯面内电荷的代数和、磁场安培环路定理中环路内电流的代数和等标量的迭加，还有电场强度、磁场强度等矢量的迭加原理。可以说积分是大学物理中应用最广泛的工具之一，若能灵活巧妙的掌握积分方法，则可以简便快捷的求解物理问题3.1 积分变量的选取积分变量的选取在很大程度上决定了解决问题的繁简程度，积分变量越少，即积分重数（或维数）越少，问题的求解越简单，大多数情况下可以根据求解问题的相互关系转换积分变量以达到简化求解问题的目的。例如：大学物理静电场基本规律中求解有限长均匀带电细棒在空间一点激发的电场强度时，就将电荷元 转化为 ，这样就将含有两个变量 的原电荷元激发的电场强度 转化为只含有一个变量 的电荷元激发的电场强度 ，从而简化了积分的难度。与此相同的问题比较多，例如有限长载流直导线空间激发的磁场、有限长载流螺旋管内部激发的磁场等等。此外积分变量的选取还要遵循简单的原则，最好可以直接通过几何或代数的方法直接求解，这样就可以使问题大为简化。例如：在静电场中应用高斯定理时，要根据带电体的形状来选择高斯面和积分微元，若带电体是球形则选择球面作为高斯面；若带电体是轴对称分布则选择柱面作为高斯