图形运动与几何证明题中的辅助线添加1.doc

努力打造国内最开放的资源下载基地和最专业的远程教育平台！图形运动与几何证明题中的辅助线添加上海初中数学新教材的特色之一是打破平面几何的公理体系，将平面几何大致分成直观几何、实验几何和论证几何。其编者意图一方面是为了顺利实现几何的入门教学，另一方面通过实验几何中学生的动手操作去发现几何知识并进一步发现解决几何问题的方法。教学中如果能利用好这部分内容对于提高学生的数学素质将很有裨益。由于实验几何又以线段或直线的平移、基本图形的旋转与翻折为核心，而这部分内容对于几何证明题中的辅助线添加又有着非常密切的关系。因为我们可以通过图形运动把几何题中分散的条件汇聚到一个基本图形或者通过图形运动把题目中不很明朗的、比较隐蔽的条件明朗化。本文试图通过图形运动的三种基本形式对平面几何证明题中的辅助线添加作点探索，抛砖以期引玉。一、线段或直线的平移平移的特征是把线段或直线从一个地方移动到另一个地方，通过平移可以将图形中一些分散的条件汇集到一起，也可以把不太明朗的关系明朗化。特别是对于有些条件比较隐蔽的几何题，往往能起到“柳暗花明又一村”的效果。由于线段或直线在平移过程中保持着线段的长短和角的大小不变，这一结论对于将题目中的有用条件集中到一起从而能比较容易的添加出辅助线以达到解题的目的很有好处。例、如图一，在梯形ABCD 中，A+B=90，ABCD，M、N分别是AB、CD 的中点，求证：MN=（ABCD）。分析：观察本题的已知条件90中的、分别为梯形的两个底角不利于这一条件的应用。比较理想的是将这两个角放到一个三角形中，从而可以利用直角三角形的有关性质来解决。又考虑到通过线段的平移可以将一个角从一个位置移动到另一个位置，这样，就想到过点作的平行线。也就是将线段平移到线段，可以得到。自此不难发现（ABCD）AP。而AP为直角三角形ADP的斜边，要证MNAP，只要证等于边上的中线，因此，想到取线段AP的中点G并连结DG，这样只要证明=MN，只需证明四边形DGMN为平行四边形就可以了。这由GM=AMAG=（ABAP）=BCD=DN及ABCD即可证明。证明从略。例、求证：两中线相等的三角形是等腰三角形。已知：如图二，ABC中，、分别是AB、AC的中点，BECD。求证：ABAC。分析：本题中的BECD不能直接应用，而证明ABAC的基本思路是证明ABC=ACB,因此只需证明BCECBD,只需证明EBC=DCB,要证明这两个角相等就需要把这两个角中的一个进行移动。考虑到线段的平移能把一个角从一个地方移动到另一个地方，故过点作的平行线并和BC的延长线相交于F,从而把平移到位置。只需证明，而连结、后，DEBC，容易证明四边形为平行四边形，从而原命题可证。证明从略。例、由平行四边形ABCD的顶点作它的高AE、AF，已知EF，AC（如图三），求点到AEF的三条高的交点的距离。 分析：若从已知条件直接求相当困难。而题目中的基本图形是平行四边形，平行关系较多，如、FHCEAG等等,因此可以考虑将图中的某些线段进行平移。故将AE平移到CG。这一平移既保持了CG=AE，又有CGAD。从而EG=AC，由于四边形HECF为平行四边形，四边形AECG为矩形，所以HF=CE=AG，从而四边形AHFG为平行四边形，AH=FG，又AHEF，GFAH，EFG为直角三角形，所以。本题的解题关键是将平移到并由此得到若干个相等线段和平行四边形，由此可见，线段或直线的平移对于几何题中的辅助线添加有着非常重要的作用。证明从略。二、图形的旋转图形的旋转是把图形的一部分或全部绕着一个确定的点从一个位置移动到另一个位置。通过旋转可以把题目中一些不明朗的关系明朗化，它的最大特点是在旋转过程中旋转部分两点之间的距离不变、两直线间的夹角不变和对应直线的夹角等于旋转角。它的使用范围一般是等腰三角形或中心对称图形。有时再结合基本辅助线添加更能体现其在添加辅助线中的优势。例、如图四，已知ABC中，点M是BC边上的中点，过M作BAC的平分线AD的平行线交AB于E，交CA的延长线于F点。求证：BE=CF分析：这一题的已知条件中有M是线段BC的中点，即点M为线段BC的对称中心，同时考虑到相似三角形中的基本图形“8”字形，故可将FMC绕中点 M旋转180，这时线段CF也由原来的位置移动到线段BN位置，而BN、E同在BEN中，只要证明BEN为等腰三角形即可。而，BEM=FEA，只要证明FEA=F。又F=CAD，FEA=BAD，AD又是角平分线，从而此题可证。此题的解题关键在于将线段CF旋转到线段BN，从而将要证明相等的两条线段集中到一个三角形中，而这一考虑正是基于点M为线段BC的中点（对称中心），因此，有中心对称图形的几何题的辅助线添加不妨仿此一试。 证明从略。例5、设P为等边三角形ABC内的一点，且PA=5，PB=4，PC=3，求此等边三角形的边长。分析：如图五，本题的难度在于已知的PA、PB、PC是分散的，难以直接利用，因此必须添加辅助线。又由于ABC为等边三角形，从而可以考虑到利用旋转法来添加辅助线。但将那一部分旋转又怎样怎样旋转呢？注意到CA=CB=AB，因而将ACP绕C点按逆时针旋转60，点A到达点B，点P到达点D，即ACPBCD， 此时PCD是等边三角形。PD=3，BD=AP=5，PB=4，根据勾股定理的逆定理知BPD=90。过B点作CP的垂线交CP的延长线于E。BPE=180，从而，CE=3+2这样可以通过直角三角形CBE的斜边长求出三角形ABC的边长。证明从略。 例6、在等腰直角三角形ABC中E、D分别是直角边BC、AC上的点，且CE=CD。过C、D作AE的垂线交斜边AB于L、K，求证：BL=LK。分析：如图六，欲证BL=LK，由于三角形ABC为等腰直角三角形，即CA=CB，因此可以将直角三角形CAE绕C点旋转90得到直角三角形CBF。这时点A、D、C、E在一条直线上且有CF=CE=CD，因此只要证明BFLCKD，只要证明FBC=LCB，而FBC=EAC，只要证明LCB=EAC，这一点利用同角的余角相等即可得到该结论。证明从略。三、图形的翻折翻折就是将图形中的一部分沿着一条直线进行翻折。通过翻折可以构造出轴对称图形并充分利用轴对称图形的性质进行解题。例如等腰三角形、等腰梯形等等。它的基本特点是各个对称点到对称轴的距离相等，因此利用图中的已知相等线段并以其对称轴为对称轴构造轴对称图形是一种常见的辅助线添加方法。例、如图七，已知：ABC中，AD为BAC的平分线，EF为AD的垂直平分线 ，EF、BC交于F，求证：DF2=FCFB。分析：这个题目中既有角平分线又有线段的垂直平分线，它们分别是这两个基本图形的对称轴，若要翻折将那一部分翻折？结合结论中的线段DF、FC、FB都在一条直线上证明起来很不方便，因此考虑到将DFE沿着直线EF（EF为线段AD的对称轴）翻折。故连结A、F。这时，只要证明AF2=FCFB，只要证明ACFABF，只要证明FAC=FBA。由于FA=FD，所以FAD=FDA，ADF=B+BAD，FAD=FAD+CAD，而BAD=CAD为已知，故命题得证。证明从略。例8、如图八，已知ABC中，ABAC，AD平分BAC，P是AD上任一点，求证：AB。 分析：由于P点在BAC的平分线上，直线AP是BAC的对称轴。又因为线段AB、AC、PB、PC在图中相对分散，因此可将ABP沿着直线AD翻折得到AEP。这时，AE=AB，PE=PB，ABAC=AEAC=CE。因此只要比较PEPC与CE的大小，而这一点在PCE中是显然的。证明从略。 例9、如图九，在等腰直角三角形ABC中，E、F分别是底边BC上的两点，且EAF=45。求证：以BE、EF、FC 为边的三角形为直角三角形。分析：线段BE、EF、FC在一条直线上，要证明它们能组成直角三角形，关键是将它们移到一个三角形中以便于找到其边或角之间的关系。所以将ACF沿着直线AF翻折得到ADF，这时DF=CF，考虑到移动的目的，连结DE并期望着DE=BE。故想到证明ABEADE。因为CAF=DAF，所以DAE=BAE。又AD=AC=AB，故ABEADE。ADE=B=45，而ADF=C=45，所以EDF为直角三角形。即BE、EF、FC组成直角三角形。本题的翻折主要着眼于要将三条