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n维球面的面积太原师范学院数学系014班:付丽萍指导老师:王新年摘 要 定积分在几何中有较好的应用,笔者学习了数学分析后在本文中用定积分的方法求出了n维球面的面积 关键字 球面 面积 定积分 旋转 冯.诺伊曼曾经说过：“微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论作怎样的估计都不会过分.”在数学分析中用定积分分别求出了圆的周长和球面的面积后,是否可以用同样的方法求出n维球面的面积呢？下面是笔者所做的一些努力.我们把半径为R的圆的周长就看作是一维球面的面积,显然,若把作为积分变量,弧微分(其中)利用极坐标计算可得一维球面的面积而二维球面我们认为是由曲线绕轴旋转一周产生的旋转曲面.依然把横坐标作为积分变量,相应与任一区间的小弧段绕x轴旋转而生成的一圈带状曲面的面积近似等于,即曲面面积元素则二维球面的面积由二维球面与一维球面的关系我们得到启示,认为三维球面是由二维曲面绕xoy面旋转而产生的旋转曲面,显然,三维球面面积元素令同样,我们可以一直算下去我们得到如下规律 继续计算我们容易得到当n为奇数时当n为偶数时n 维球面的面积公式为 其中 以上是笔者在王新年老师精心指导下所做关于定积分的一个简单应用,笔者认为有一定的道理,当然疏忽和纰漏也在所难免,敬请老师们批评指正.参考文献 华东师大数学系,数学分析（第三版）,高等教育出版社,01年6月 上海市教育委员会组,高等数学一元微积分及其教学软件,科学出版社 The Proportion of N Dimension Spherical SurfaceStudent Fu LipingInstructor Wang XinnianAbstract: The paper calculates the proportion of n dimension spherical surface by the method of definite integral.Key word: spherical proportion definite integral rotate指导教师意见：论文运用专业知识探讨n维球面的面积问题，具有一定的
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