高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积课件1

2 5从力做的功到向量的数量积 物理中我们学过功的概念 一个物体在力的作用下产生位移 如图 力所做的功W可用下式计算 其中 是与的夹角 当0 90 时 W 0 即力F做正功 当 90 时 W 0 即力F不做功 当90 180 时 W 0 即力F做负功 从力所做的功出发 我们引入向量的数量积的概念 1 通过物理中 功 等实例 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 几何意义 重点 2 体会平面向量的数量积与向量射影的关系 3 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律和它的一些简单应用 重点 4 能运用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 难点 两个非零向量和 作 则 叫作向量与的夹角 问题1如何定义向量的夹角 计算向量的夹角时要将两个向量起点放在一起 探究点1向量的数量积 由于零向量的方向是任意的 为方便起见 规定 零向量可与任一向量垂直 过点B作BB1垂直于直线OA 垂足为B1 则 cos 叫作向量在方向上的射影 也叫投影 当 为锐角时 cos 0 问题2什么是向量的射影 B1 O B A 当 0 时 cos 当 为钝角时 cos 0 当 为直角时 cos 0 O B A 当 180 时 cos B1 物理实例中 与位移方向一致的分力的长度为 cos 即是力在方向上的射影 问题3平面向量的数量积的定义如何 已知两个向量与 它们的夹角为 我们把 cos 叫作与的数量积 或内积 记作 cos 注意 向量的数量积是一个数量 特别地 零向量与任一向量的数量积为0 例1 已知 3 4 且与的夹角 150 求 解 cos 3 4 cos150 3 4 6 变式练习 已知 1 1 2 0 与的夹角 45 求 解 2 45 所以 cos 2 cos45 2 问题4数量积的几何意义是什么 特别提醒 1 2 若是单位向量 则 重要性质 1 若是单位向量 则 2 3 4 5 当且仅当 时等号成立 问题5数量积的物理意义是什么 反之成立吗 解答 不成立 解答 成立 思考 探究点2向量的数量积的运算律 练习 判断下列说法的正误 3 若 0 则 2 若 则对任一非零向量 有 0 1 若 则对任一向量 有 0 4 若 0 则 中至少有一个为 5 若 则 6 若 且 当且仅当 时成立 7 对任意向量有 例2在 ABC中 设边BC CA AB的长度分别为a b c 证明 a b c 2bccosA b c a 2cacosB c a b 2abcosC 证明 设则 同理可证其他两式 我们把这个结果称为余弦定理 b c 2bccosA 向量法证明几何问题的步骤 1 将三角形的边用有向线段表示 2 根据向量的运算及向量的几何意义 写出向量之间的关系 3 通过平方和向量的数量积整理出所要的结果 例3证明菱形的两条对角线互相垂直 证明 菱形ABCD中 AB AD 由于 可得 0 所以 即菱形的两条对角线互相垂直 A B C D O 证明线段垂直的方法 1 取两个不共线的向量作基底 2 将要证明的向量用这两个向量表示 3 利用进行证明 提升总结 例4已知单位向量 的夹角为60 求向量 的夹角 解 由单位向量 的夹角为60 得 又 设与的夹角为 由 可得 又所以 即向量与的夹角为 技巧点拨 1 以 为基底 计算的值 2 利用向量的夹角公式计算 1 判断下列说法的正误 1 平面向量的数量积可以比较大小 2 3 已知为非零向量 因为0 0 所以 4 2 ABC中 则该三角形为 A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 不能确定 解析 由知 ABC为锐角 由知 ACB为钝角 C C 5 在 ABC中 M是线段BC的中点 AM 3 BC 10 则 16 2 6 若 a 1 b 2 且a b反向 则a b 解 本节课主要学习了 1