恒定磁场资料

2020 4 12 第四章恒定磁场 1 第四章恒定磁场 4 1基本方程及其微分形式 4 2标量磁位 4 3矢量磁位 4 4磁场中的镜像法 4 5电感 4 6磁场能量与磁场力 4 7磁路及其计算 2020 4 12 第四章恒定磁场 2 4 1基本方程及其微分形式 当电荷与电流不随时间变化时 产生的电场和磁场都不随时间变化 D t 0 B t 0 电场 磁场方程各自独立 4 1 1安培环路定理的微分形式 当磁力线所在平面上的闭合回路l缩小 其面积 S 0时 可写为 表明恒定磁场是有旋场 其场源是电流密度J 2020 4 12 第四章恒定磁场 3 4 1 2磁通连续性原理的微分形式 当闭合面S缩小 体积 V 0时 磁通连续性原理可写为 表明恒定磁场是无散场 磁力线是无头无尾的 例4 1在园柱坐标系中下列矢量中常数K 0 问哪个可能是磁感应强度B 如果是 求相应的电流密度J F1 K xex yey F2 Kre 解 B 0是磁场的特有性质 因此根据矢量的散度是否总为0 来判断 2020 4 12 第四章恒定磁场 4 F1决不可能是磁感应强度B F2可能是磁感应强度B 电流为沿z轴方向的常数 2020 4 12 第四章恒定磁场 5 4 1 3B和H的衔接条件 在两种电介质分界面上 围绕P点作一个很小的矩形回路 由于 h 0 H1t l H2t l K l 由 包围P点作一个很小的扁平闭合圆柱面 由 由于 h 0 B1n S B2n S 0 2020 4 12 第四章恒定磁场 6 1 r R时 满足 解 由于电流分布具有轴对称性 可知磁场分布也具有轴对称性 H只有沿圆周的 分量 且只与r有关 不定积分求解 得 由于r 0处H 故C1 0 因此 导体内 2 r R时 满足 不定积分求解 得 r R处H1t H2t 即 得 故导体外 2020 4 12 第四章恒定磁场 7 4 2标量磁位 H J表明恒定磁场是有旋场 但在无电流区域 H 0 可有条件地定义标量磁位 4 2 1标量磁位的定义 在无电流区域 H 0 可定义标量磁位 m H m 两点间的磁压 标量磁位与静电场中相似 但有很大不同 1 电位具有明确的物理意义 但标量磁位没有物理意义 2 电压与积分路径无关 但是两点间的磁压随积分路径而变 2020 4 12 第四章恒定磁场 8 对于图示闭合路径 由 得 即 可见 mA mA 表明积分路径不同标量磁位有不同数值 4 2 2标量磁位的边值问题 2020 4 12 第四章恒定磁场 9 不同媒质分界面上的衔接条件 m1 m2 例4 3求无限长直电流I周围的磁位 m和场强H 设x轴 0 为磁位参考点 则 解法一 由安培环路定律 得 2020 4 12 第四章恒定磁场 10 通过不定积分求解 设x轴上 0处A点为磁位参考点 则C2 0 因 2 处B点 m I 因此 C1 I 2 则 解法二 由于等磁位面与H线正交 在圆柱坐标系中 m只与 有关 导线外的无电流区 满足 2 m 0 柱坐标下简化为 2020 4 12 第四章恒定磁场 11 等磁位面方程为 m 常数 即 K 它是以AB为弦 以 为圆周角的圆弧 K值不同可得一系列以AB为弦的园 其圆心y轴上 解 设两线之连线为磁位 m参考点 由叠加原理 例4 4求双线传输线周围的磁位 m及其等磁位面 由H m知 B线与等磁位面正交 也是一族偏心园 圆心在x轴上 2020 4 12 第四章恒定磁场 12 4 3矢量磁位 4 3 1矢量磁位的定义 由 B 0 引入一个矢量A 满足B A A称为磁场B的矢量磁位 单位 韦伯 米 Wb m 由毕 萨定律可导出A的电流积分公式 将 代入毕 萨定律 由于J是源点坐标 x y z 的函数 而算符 是对场点坐标 x y z 求导 2020 4 12 第四章恒定磁场 13 磁感应强度B是唯一的 但 的存在使得矢量磁位A不是唯一的 矢量场不仅要规定它的旋度 还必须规定它的散度 由于 A Ax x Ay y Az z 在恒定磁场中 为了方便规定 A 0 称为库仑规范 因此 根据定义可知 而B A与 Ax x Ay y Az z无关 因此 A可以任意规定 每种规定称为一种规范 2020 4 12 第四章恒定磁场 14 4 3 2矢量磁位的边值问题 A A 2A H J 2020 4 12 第四章恒定磁场 15 三式合并 得 考虑到各种电流 则为 已知各种电流的分布时 可计算矢量磁位A 再由 A求磁感应强度B 还可以由A直接计算磁通量 2020 4 12 第四章恒定磁场 16 4 3 3矢量磁位的衔接条件 围绕媒质分界面上任一点P取一矩形回路 令 h 0 A1t A2t 在分界面P点处作一个小圆柱 上下端面为 S 高 h 0 由于 A 0 A1n S A2n S 0 A1n A2n 2020 4 12 第四章恒定磁场 17 由H1t H2t K和 得 对于平行平面磁场 A1 A2 2020 4 12 第四章恒定磁场 18 解 在求解之前 先分析本题给定的条件 进行必要的简化 例4 7半径为R的长直圆柱导体沿z轴通有电流I 导体内外媒质的磁导率均为 0 求导体内外的矢量磁位A和磁场强度H 1 导体内的电流密度均匀分布J I R2 ez 具有轴对称性 2 矢量磁位A只有Az分量 与J同方向 矢量形式泊松方程 2A 0J 简化为标量形式泊松方程 2Az 0Jz 3 由于Az只与r有关 偏微分方程进一步简化为只含一个变量r的微分方程 2020 4 12 第四章恒定磁场 19 导体内 泊松方程简化为 通过不定积分求解 得 通解为 导体外 拉氏方程简化为 通过不定积分求解 得 通解为 2020 4 12 第四章恒定磁场 20 确定积分常数 设r R处为磁位参考点A1 0 则 r R处 A1 A2 0 即C3lnR C4 0 得 所以 2020 4 12 第四章恒定磁场 21 4 1已知无限大平面上均匀分布面电流 密度为Kez 试用安培环路定律微分形式 求载流平面外的磁场强度H 作业 4 3真空中在x 2m处分别有沿z轴正 反方向的线电流6mA 设坐标原点磁位为零 求 y轴上任一点的磁位 m 4 5已知电流密度为J J0rez r a 求矢量磁位A 参考点选在r r0 a处 和磁感应强度B 2020 4 12 第四章恒定磁场 22 4 3 4磁力线方程与等A面方程 等A面微分方程为 在平行平面场中 若矢量磁位A Azez 则在xoy平面内B线的微分方程为 即 2020 4 12 第四章恒定磁场 23 因为 2020 4 12 第四章恒定磁场 24 解 根据矢量恒等式 并利用 1 R eR R2 可将 4 22 式改写为 由于磁偶极子的尺度远小于到场点的距离R r eR er 因而 由于ez er sin e 且磁偶极子的磁矩m IS 得 2020 4 12 第四章恒定磁场 25 例4 6空气中有一长度为l 截面积为S的短铜线位于z轴上 电流密度J Jez 求离铜线较远处的磁感应强度B 由于r l r可提到积分号前 且在横截面上I JS 故 式中 解 2020 4 12 第四章恒定磁场 26 用球坐标系表示为 直角坐标系中 可见 B的分布与r2成反比 且与 角有关 2020 4 12 第四章恒定磁场 27 4 4磁场中的镜像法 4 4 1一般媒质的镜像电流 两种媒质的磁导率为 1和 2 在媒质1内有平行于分界面的无限长线电流I 根据衔接条件B1n B2n和H1t H2t可确定镜像电流 2020 4 12 第四章恒定磁场 28 4 4 2铁磁媒质的镜像电流 1 设载流导线在空气中 1 0 媒质2为铁磁媒质 2 H2将处处为零 但不要认为磁感应强度B2也处处为零 铁磁媒质内的磁感应强度B2与不存在铁磁媒质相比增大了一倍 2020 4 12 第四章恒定磁场 29 空气中的磁感应强度B2与不存在铁磁媒质相比增大了一倍 2 设载流导线在铁磁媒质中 1 媒质2为空气 2 0 2020 4 12 第四章恒定磁场 30 4 5电感 4 5 1内自感和外自感 在各向同性的线性媒质中 穿过电流回路所限定面积的磁链与回路中的电流成正比 式中 L为自感磁链 L为自感系数 简称自感 单位是亨 H 自感仅与回路的几何形状 尺寸及媒质的分布有关 而与电流及磁链的大小无关 自感有内自感和外自感之分 2020 4 12 第四章恒定磁场 31 1 在导线内部仅与部分电流交链的B线形成的磁通称为内磁通 对应的磁链称为内磁链 用 i表示 2 完全在导线外部闭合的B线形成的磁通称为外磁通 对应的磁链称为外磁链 用 o表示 自感为内自感与外自感之和 对于平行平面场 2020 4 12 第四章恒定磁场 32 例4 7求半径为R的长直圆柱形导线的内自感 解 由安培环路定律求得导线内 穿过轴向长度为l 宽度为dr的矩形面积上的元磁通 相应的元磁链 2020 4 12 第四章恒定磁场 33 导线内的自感磁链总量为 因此 单位长度的内自感为 可见 圆柱形导体内自感的大小与其半径无关 其中 为导体材料的磁导率 对于铜铝导线 0 4 10 7 H m 相应的内自感很小 一般可忽略不计 对于钢 0 则必须考虑其内自感 2020 4 12 第四章恒定磁场 34 例4 8求双线传输线的自感 例4 8题图 解 计算外磁链时 可认为电流集中在几何轴线上 两个电流在两线之间产生的磁场强度方向相同 均为垂直进入纸平面 由叠加原理 穿过元面积 ldx 的元磁通d 21 B ldx 故外磁链 因而 外自感 2020 4 12 第四章恒定磁场 35 一般情况下d R 故 两根导线的内自感 所以 双线传输线的自感 2020 4 12 第四章恒定磁场 36 4 5 2互感与聂以曼公式 线性媒质中 回路2相交链的互感磁链 21 与产生它的回路电流I1成正比 互感不仅与线圈或导线的几何形状 尺寸及周围媒质和导线材料的磁导率有关 还与两回路的相互位置有关 回路2对回路1的互感可表示为 互感具有互易性M12 M21 2020 4 12 第四章恒定磁场 37 解 图中标出的矩形线圈电流i2具有很大迷惑性 若根据i2求B2和互感磁链 12计算量将很大 由于互感具有互易性M12 M21 可假设长直导线中通电流I1 便能很简便地求得 可得互感 例4 9求图示直与单匝矩形线圈之间的互感M 2020 4 12 第四章恒定磁场 38 已知电流分布计算互感可分为三个步骤 1 先由电流分布求得矢量磁位 2 再计算磁通 3 最后得到互感 2020 4 12 第四章恒定磁场 39 作业 4 7空气中有一平行于媒质分界面的长直线电流I 10A 距分界面1m 已知分界面另一侧的媒质磁导率 1 5 0 求图示矩形面积穿过的磁通 4 9空气中甲 乙两对双线传输线之间的相对位置如图所示 求两者之间沿纵向单位长度的互感 2020 4 12 第四章恒定磁场 40 4 6磁场能量与磁场力 4 6 1外源做功转化为磁场能量 假设 电流和磁场的建立过程都是缓慢进行的 周围均为线性媒质 且没有能量辐射及其他损耗 这样 外源所做的功转变为磁场中储存的能量 在电流i1由0 I1的过程中 外源所作功为 因此 在dt时间内 外源作功为 2020 4 12 第四章恒定磁场 41 其中 回路2中的外源在建立电流I2时作功 同理为 此外 回路1中的外源为了抵制互感磁链对电流I1的影响 也要作功 因此 在电流i2由0 I2的过程中 外源作功之和为 2020 4 12 第四章恒定磁场 42 3 两个回路系统 外源做功转化的磁场总能量为 上式可整理为 4 对于n个电流回路组成的系统 磁场能量为 2020 4 12 第四章恒定磁场 43 磁链可通过矢量磁位计算 因此 磁场能量的另一个计算式为 例4 10双线传输线导体半径均为R 几何轴间距离为d 通过电流为I 求单位长度储存的磁场能量 解 由叠加原理 2020 4 12 第四章恒定磁场 44 4 6 2磁场能量分布及其密度 利用矢量恒等式 H A A H H A 对于体电流产生的磁场 2020 4 12 第四章恒定磁场 45 当r 时 第一项积分等于零 对于各向同性的线性媒质 2020 4 12 第四章恒定磁场 46 例4 11同轴电缆内外导体半径分别为R1和R2 长度为l 导体的磁导率为 1 媒质的磁导率为 2 通恒定电流I 求同轴电缆储存的磁场能量 解 内导体中 内外导体之间 长度为l的同轴电缆储存的磁场总能量为 2020 4 12 第四章恒定磁场 47 4 6 3虚位移法求磁场力 载流导体或运动电荷在磁场中所受的力称为磁场力或电磁力 许多仪表就是利用电磁力进行设计的 电力工程设计中也常需要校验导体或绝缘子承受电磁力 运动电荷所受磁场力F qv B 设有n个载流回路所构成的系统 分别与外源相联 通有电流I1 I2 In 假设除了第p号回路外 其余都固定不动 而且回路p也仅有一个广义坐标g发生变化 磁场力的计算方法 虚位移法计算磁场力 载流回路所受磁场力 电源提供的能量 磁场能量的增量 磁场力所作的功 2020 4 12 第四章恒定磁场 48 1 假定各回路电流保持不变 即Ik 常量 外源提供的能量一半为磁场能量的增量 另一半作机械功 则 2 假定各回路磁链保持不变 即 k 常量 磁场力作功只有靠减少系统内的磁场能量来完成 则 2020 4 12 第四章恒定磁场 49 解 系统相互作用能 选取线圈法线与外磁场的夹角 为广义坐标 则对应的广义力为力矩 可见 载流回路所受力矩作用趋势是使该回路包围尽可能多的磁通 2020 4 12 第四章恒定磁场 50 解 取铁棒插入深度x为广义坐标 由于 则位移前后磁场能量变化 故铁棒受力 由于 0 f 0 电磁力使x增加 铁棒被自动吸入 2020 4 12 第四章恒定磁场 51 解 长直导线产生的 相互作用能 求线圈的 边受力时 取a为广义坐标 2020 4 12 第四章恒定磁场 52 求线圈的 边受力时 取X2为广义坐标 求线圈的 和 边受力时 取c为广义坐标 求线圈的 边受力时 取X1为广义坐标 令X1 a X2 a b 2020 4 12 第四章恒定磁场 53 4 6 4法拉第对磁场力看法 每束磁力线所形成的磁感应管沿其轴向受到纵张力 在垂直方向上受到侧压力 单位面积上的张力和压力的量值相等 都等于 2020 4 12 第四章恒定磁场 54 空气隙中的磁通与铁心中的磁通相等 即 1 2 B1n B2n 但由于铁心 气隙 0 因而 铁心内H1 B1 远远小于气隙的H2 B2 0 故可近似认为H1 0 因此 衔铁的起重力仅为气隙中的B管沿轴向收缩的吸力 解 由法拉第的看法可知 空气隙中的B管有沿轴向收缩的趋势 因而在气隙铁心表面上表现为吸力 2020 4 12 第四章恒定磁场 55 作业 4 10铁心横截面为矩形 磁导率为 均匀密绕N匝的螺线管通电流I 求其储存的磁场能量 4 11双线传输线导体半径均为R 几何轴间距离为d 通过电流为I 试用虚位移法求单位长度所受的磁场力 2020 4 12 第四章恒定磁场 56 4 7磁路及其计算 工程中常应用铁磁材料 其 远远大于一般材料的 0 因此 常把此类问题简化为磁路问题进行近似计算 4 7 1铁磁材料中的B线 媒质分界面上没有电流时 由于铁磁媒质的 2 空气的 1 因此而且常常是 2 900 1 00 这样 铁磁材料内的B线可看为与分界面平行 而且磁通远大于外部 2020 4 12 第四章恒定磁场 57 在电气工程和无线电技术中 很多需要较强磁场或较大磁通的设备 载流线圈都是绕在一个闭合或基本闭合的铁心上 这样 不仅会使绝大多数B线集中于铁心内部 并沿着铁心走向分布 而且通有较小的电流便能得到较强的磁通 闭合的铁心或开有狭窄空气隙的铁心是B线的主要通路 通常称其为磁路 绝大部分B线是通过磁路闭合的 磁路中的磁通称为主磁通 少量B线经过磁路外空气或非铁磁媒质而闭合 相应的磁通称为漏磁通 2020 4 12 第四章恒定磁场