理论力学1梁的位移计算ppt课件

第十一章梁的位移计算 梁的位移计算 工程实例 2 梁的位移计算 工程实例 3 梁的位移计算 工程实例 本章对平面弯曲下梁变形的基本概念 基本方法以及简单静不定梁进行简要介绍 4 梁的位移计算 挠度 转角及其相互关系 挠曲线 梁变形后的轴线 在小变形情况下 任意横截面的形心位移是指 方向的线位移 截面形心垂直于轴线方向的线位移称为挠度 yA q Bx x v l 向上为正 向下为负 v f x 挠曲线方程 弯曲变形时 横截面绕中性轴转动的角度称为转角 x 转角方程 逆转为正 顺转为负 5 梁的位移计算 q B A x v l dv tg dx 横截面的转角与挠曲线在该截面处的斜率近似相等 即挠曲线方程的一阶导数为转角方程 6 梁的位移计算 曲率公式 挠曲线微分方程 q B 1M x x EIz A x v l 挠曲线为一平面曲线 其上任一点的曲率 1 dv2dx dv 1 dx 2 2 3 2 dv2dx dv2 1 dx 32 2 M x EIz 微小量 挠曲线微分方程 7 梁的位移计算 在小变形情况下 dvM 2dxEIz 2 正负号与弯矩符号规定及所取坐标系有关 y M 0 dv 02dx 2 y M 0 dv 02dx 2 O 2 x O x dvM 2dxEIz 挠曲线近似微分方程 8 梁的位移计算 积分法求梁的位移 dvM x 2dxEIz 2 dvM x x dx CdxEIz M x v x dx dx Cx D EIz C D为积分常数 由梁的位移约束条件确定 挠曲线近似微分方程通解的积分常数确定以后 就得到了挠曲线方程和转角方程 这种求梁变形的方法称为积分法 9 梁的位移计算 确定积分常数的条件有两类 边界条件和变形连续条件 边界条件 位于梁支座处的截面 其挠度或转角常为零或为已知 y l x y l x 固定铰链支座 固定端约束 x 0 v 0 x l v 0 v 0 x 0 0 10 梁的位移计算 变形连续条件 位于梁的中间截面处 其左右极限截面处的挠度和转角相等 在中间铰链位置左右极限截面的挠度相等 y 2l3l x 边界条件 变形连续条件 2x 0 v 0 x l v 03 2x l v1 v2 1 2 3 11 梁的位移计算 思考 用积分法计算图示梁的挠度和转角 其边界条件和连续条件是什么 y q x l a x a lv 0 0 答 边界条件x 0v 0 连续性条件x l v1 v2 12 例 如图所示悬臂梁 在自由端受集中力 作用 设 为常量 试求梁的最大挠度和最大转角 解 建立挠曲线近似微分方程 取坐标系如图所示 弯矩方程 P y l x M x P l x P x l dvP x l 2dxEIz 2 x 积分求通解 PPx x l dx lx CEIzEIz2 2 13 例 2 PPx x l dx lx CEIzEIz232PxlxPv x l dxdx Cx DEIzEIz62 确定积分常数 P x x 0 v 0C D 0 转角方程和挠曲线方程 Px lx EIz2 2 3 y l x 2 Pxlxv EIz62 确定最大挠度和最大转角 max Pl 2EIz 2 Plv 3EIz 3 14 例 求简支梁挠曲线方程 已知 EI为常数 解 建立挠曲线微分方程 y q dvM x 1112 qlx qx 2dxEIzEIz22 积分求通解 2 112M x qlx qx22 A ql2 Bx x l ql2 ql2q3EIz x x C46ql3q4EIzv x x Cx D1224 15 例 ql2q3EIz x x C46 y q ql3q4EIzv x x Cx D1224 确定积分常数 A Bx ql2 x 0 v 0 3 x l D 0 v 0 ql2 x l qlC 24 转角方程和挠曲线方程 ql213l x x EIz4624 3 qxl213lv x x EIz122424 16 3 例 求简支梁最大挠度 已知 EI为常数 解 建立挠曲线微分方程 y a F b A x1 x2 l C Bx aFl bM1 x1 Fx1l bF 0 x1 a l bM2 x2 Fx2 F x2 a l a x2 l dvbEI2 Fx1dxl 2 2 0 x1 a dvbEI2 Fx2 F x2 a dxl a x2 l 17 例 分两段积分 b2EI 1 Fx1 C12l b3EIv1 Fx1 C1x1 D16l y bF2F2EI 2 x2 x2 a C22l2 a F b A bFl Bx aFl x1 x2 l C bF3F3EIv2 x2 x2 a C2x2 D26l6 确定积分常数 x1 0 v1 0 x2 l v2 0 x1 x2 a v1 v2 1 2 Fb22C1 C2 l b 6l D1 D2 0 18 例 转角方程和挠曲线方程 bFx1222Fb222EIv1 x1 l b EI 1 x1 l b 6l6lbF3l2222 3x2 l b x2 a EI 2 6lbbF32l23EIv2 x2 l b x2 a 6lb 求最大挠度 设 a b 则最大挠度在AC段 最大挠度处截面的转角为零 32 1 0 x0 l b3 2 2 vmax Fbl b 1 2 93EI l 2 2 19 梁的位移计算 叠加法求梁的位移 在小变形和材料服从胡克定律的条件下导出挠曲线近似微分方程 dvM x 2dxEIz 2 此方程为线性方程 外力和弯矩之间也为线性关系 挠度和转角和外力之间为线性关系 当梁上作用几种载荷时 各载荷同时作用引起变形 等于各载荷单独作用引起的变形的代数和 叠加原理 叠加法求梁的变形 20 梁的位移计算 梁在简单载荷作用下的变形 21 梁的位移计算 22 梁的位移计算 23 梁的位移计算 24 梁的位移计算 25 梁的位移计算 思考 应用叠加法求梁的位移 必须满足的条件是什么 答 小变形 材料符合胡克定律 26 梁的位移计算 4 3 已知图1B点的挠度和转角分别为ql 8EI ql 6EI 图2C截面的转角为多少 q A l B ql 8EI 3 q A B C l l 27 例 如图所示简支梁 已知 试利用叠加法求vc 解 将荷载分解为两组 q F A l 2 l C B q A l B 4 l 2 F A l B 3 5qlvc1 384EI 5qlFlvc vc1 vc2 384EI48EI 4 3 Flvc2 48EI 28 例 如图所示悬臂梁 已知 试利用叠加法求vB 解B为自由端 CB段无内力 梁变形后CB段必保持为直线 q l 2 ql vC 8EI128EI33q l 2 ql C 6EI48EI 4 4 q A l 2 CC C l B vB1 vB2 vB1 ql vC 128EI 4 4 vB2 llql tan C C 2296EI 4 4 29 4 qlql7qlvB vB1 vB2 128EI96EI384EI 例 如图所示外伸梁 已知 试利用叠加法求vD 解 D为自由端 BD段无内力 梁变形后BD段仍保持为直线 将AB段视为简支梁 查表 B Fl 16EI 2 B A C F l 2 B B D l 2 a vD a B Fla 16EI 30 2 梁的位移计算 梁的刚度条件提高粱刚度的主要措施 一 梁的刚度条件 vmax v max v 许用挠度 许用转角 一般轴 滑动轴承 吊车梁 v 0 0003 0 0005 l 0 003 0 005 rad v 0 0013 0 0025 l 31 例 机床主轴的支撑和受力可简化为如图所示的外伸梁 其中P为由于切削而施加于卡盘上的力 P2为齿轮间1的相互作用力 主轴为空心圆截面 外径D 80mm la内径d 40mm 400mm 100mm P 2kN 1P2 1kN 材料的弹性模量为E 200GPa 规定主轴的许用转角和许用挠度为 卡盘 处的挠度不超过43两轴承间距的1 10 轴承 处的转角不超过1 10rad 试校核主轴的刚度 P2 A C P1 B D l 2 l 2 a 32 例 解 Iz D 4 64 1 1 885 10mm 4 6 4 B A C P2 l 2 B B D P2l 4 B P2 0 265 10rad16EIZ 2 l 2 a B vD P2 B P2 a 2 65 10mm 3 Pal 41 B P1 0 707 10rad3EIZ Pa 31vD P l a 8 84 10mm13EIZ 2 A C P1 D l 2 l 2 a vD vD P vD P2 6 19 10mm1 3 B B P1 B P2 0 442 10rad 4 vD v 5 1 548 10 l l 满足刚度要求 33 梁的位移计算 二 提高粱刚度的主要措施 增大截面惯性矩 因为各类钢材的弹性模量比较接近 采用优质钢材对提高弯曲刚度意义不大 所以一般选择合理的截面形状以增加惯性矩 如 采用薄壁工字形 箱形截面 或采用空心圆轴等 尽量减少梁的跨度或长度 因为梁的挠度和转角分别与梁跨度的立方和平方成正比 所以减少梁的跨度是提高粱的刚度的主要措施 34 梁的位移计算 增加支撑 35 梁的位移计算 改善受力情况 改善受力情况可以减小弯矩 从而减小梁的挠度和转角 P y l x qlv 3EIz qlv 8EIz 36 4 y q x l 4 梁的位移计算 简单静不定梁 梁支座约束力的数目超出了独立的平衡方程数目 因而仅靠平衡方程不能求解 静不定梁 q A B l 37 梁的位移计算 变形比较法比较基本静定系和原超静定系统在多余约束处的变形 写出变形协调条件进行求解 将 处约束去掉 基本静定系静定基 相当系统 A l B 加上 及约束力 变形协调条件 3 4 q A vB 0 MA RBlqlvB 03EI8EI RB B l q A B 38 3RB ql8 梁的位移计算 本章小结 挠曲线 挠度 转角 挠曲线方程 转角方程 v f x x dv tg dx 挠曲线微分方程 dv2dx dv2 1 dx 32 2 M x EIz dvM 2dxEIz 39 2 梁的位移计算 积分法求梁的位移 边界条件和连续条件 dvM x x dx CdxEIz M x v x dx dx Cx D EIz 叠加法求