等差数列前n项和教案

等差数列前n项和教案宁夏六盘山高中 数学教研组 等差数列前n项和教案宁夏六盘山高级中学 教材选自：普通高中课程标准试验教材数学（人教A版）必修5“2.3等差数列前项和”第一课时。一、教学目标设计课程标准指出本节课的学习目标是：探索并掌握等差数列前项和公式；能在具体的问题情景中，发现数列的等差关系并能用相关知识解决相应的问题。考虑到学生的接受能力和课容量，本节课只要求学生探索并掌握等差数列前项和公式，并会对公式进行简单的应用。故结合课标的要求，我将本节课的教学目标确定为：知识与技能：探索并掌握等差数列前项和公式，会用公式解决一些简单的问题；方法与过程：通过对等差数列前项和公式的探索，体会“从特殊到一般”的数学研究方法和数形结合的数学思想方法，学会观察、归纳、反思；情感、态度与价值观：让学生亲身经历知识的建构过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。二、教学重、难点：教学重点：能从具体实例中探索并掌握等差数列前项和公式,并用其解决一些简单的问题。教学难点：等差数列前项和公式推导思路的获得。三、课堂结构设计新课程提倡在教学过程中，学生是一个积极的探究者，教师的作用是创设问题情境，帮助学生在积极参与中遇水架桥、逢山开路。因此，本节课设计了如下的课堂结构。创设情境，提出问题问题呈现阶段自主探究、合作交流 探究发现阶段巩固应用阶段“倒序相加法”的提出 公式的探究公式的理解知三求二、渗透思想分析实例，感悟生活演练反馈、提升能力总结反思，深化认识布置作业，任务延伸四、教学媒体设计为了保证教学任务的完成，顺利实现本节课的教学目标，在教学媒体的使用上，主要体现以下两个特点： 1、根据教学论中的“可接受原则”和“直观性原则”，我采用多媒体技术与实物投影仪相结合的辅助教学。目的是通过形象生动的情景，吸引学生的注意力，激发学生的兴趣，使其思维参与到问题的探究中，另外也可以增加课堂容量；2、设计科学合理的板书，尽管多媒体教学直观有趣,但是绝对不可能完全取代板书。板书可以把教学内容形象精炼地呈现在黑板上，对学生理解教学内容、启发思维、发展智力、指引学路，都起着画龙点睛的作用。2.3.1等差数列前项和一、等差数列前项和公式 ： 二、等差数列前项和公式的探究：三、公式的应用例1、例2、例3、五、教学过程设计结合本节课的特点，我主要安排了以下六个环节：(一)问题呈现阶段1、创设情境，提出问题展示图片（印度的泰姬陵）泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰汗为纪念其爱妃所建，历时22年，它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见上右图），奢靡之程度，可见一斑。欣赏完如此美的故事及图案，请问：你知道这个图案一共花了多少宝石吗？设计意图：源于历史，富有人文气息；图中算数，激发学生学习兴趣和探究欲望；承上启下，探讨高斯算法.2、自主探究，合作交流此时，教师先不参与，给学生一定的思考时间和思考空间，让学生自主活动。问题一：这一组求和的数有何特征？设计意图：复习回顾等差数列定义及通项公式和性质，为后面推导等差数列前项和公式作铺垫。问题二：显然，我们可以采用连加的方法把它算出来，但计算量非常大。那么谁有更为简洁的方法？设计意图：引出高斯算法。此时，学生兴趣高涨，会有学生很快回答采用高斯的首尾配对的方法来求和，并给出答案。教师简单讲述德国数学家高斯的故事，进一步体现数学的人文价值。同时课题的引入已经水到渠成。正式引入并板书本节课题等差数列前项和.(二)探究发现阶段1、“倒序相加法”的提出虽然学生能很快计算出上述问题的结果，但是学生对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段。为了促进学生对这种算法的进一步理解，设置了下面问题。 问题三：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？设计意图：对学生来说，他们可能认为这个问题比计算100层更为容易，但要引导学生这是求奇数项和的问题，显然不能正好凑成整数对，说明不能简单模仿偶数项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项.通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对” 的算法还得分奇数、偶数项的情况求和。问题四：那么有无更好的方法，可以避免对项数的讨论？学生交流讨论，教师给予一定指导并点评，同时引导学生使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。（如下图）123212120191借助几何图形之直观性，获得算法：设计意图：几何直观能启迪思路，帮助理解，只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想，而且使学生在真正意义上理解了“倒序相加法”。 2、对公式的探究有了前面的铺垫，我很快提出问题五：如何求（设）设计意图：在教师的指导下，让学生经历从特殊到一般的过程，从求确定的前个正整数之和到求一般项数的前个正整数之和，旨在让学生体验“倒序相加求和”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对求和”算法的改进。此时引导学生得出： 问题六：在上面的求解中,我们发现所求的和可用首项、尾项及项数来表示,且任意的第项与倒数第项的和都等于首项与尾项的和,这能给我们求一般等差数列前项和带来怎样的启发呢?（教师在提出探究性问题的过程中板书：如果已知等差数列的首项为，尾项为，项数为，则求其前项和，并给出等差数列的前项和定义.）此时学生顺水推舟，容易得出如下过程： 设等差数列的前n项和为，即. (1)把项的次序反过来, 又可以写成 . (2)把(1)、(2)两边分别相加, 再根据等差数列性质可以得到.由此得到等差数列的前项和为的公式：(公式一)问题七：若有学生没有掌握等差数列的这个性质，又该如何计算呢？设计意图：引导学生用项（首项或尾项）、公差两个基本元表示等差数列.即 问题八：上述求和公式中涉及到三个元素，是否还可以用基本量,，来表示呢？设计意图：推出等差数列的前项和公式二。思路1：用代入公式1.思路2：换个角度看问题，即： .(公式2)为使学生迅速记忆公式，教学时，可以引导学生联想梯形的面积公式（见下图），帮助学生理解和记忆，从而将数与形有机进行结合。3、对公式的理解问题九：比较两个公式，说说它们从哪些角度反映了等差数列的性质？设计意图：为了让学生认识两个公式本身的结构特征，以便学生在做题过程中能够恰当地选择公式，进而揭露公式的本质。要求学生互相讨论并共享他们讨论的结果，教师给予点评和小结：（1）两个公式的共同点是需知和，不同点是前者还需知，后者需知，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。（2）前者反映了等差数列的任意的第项与倒数第项的和等于首项与末项的和这个内在的性质。后者反映了等差数列的前项与它的首项、公差之间的关系，而且是关于的“二次函数”，可以与二次函数进行比较，这为学习第二课时做下铺垫。(三)巩固应用阶段例1： 根据下列各题中的条件，求等差数列的前项和.（1）；（2）.设计意图：由于教科书上例1是一个实际问题，需要从中建立等差数列模型。对于刚学完公式的学生来讲，直接学习例1跨度稍微大了点，因此，选择本节练习1的2个小题，目的是为了让学生熟悉公式，同时也考查了学生对公式的选择是否合适。例2：（课本上的例1）由于例题较长，可以先让学生阅读题目，从中提取出有用的信息，构建等差数列模型，然后教师引导学生写出这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差自己选择前项和公式进行求解。（由一个学生板演，教师巡视并对个别学生进行指导，然后师生共同点评，规范做题步骤。）设计意图：渗透数学应用意识，使学生体会运用数学建模解决实际应用问题的方法。例3：（1）等差数列10，6，2，2，的前几项和为54？（2）在等差数列中，求.（3）在等差数列中，求.设计意图：在求和公式、通项公式中共有首项、公差、项数、尾项、前项和五个元素，如果已知其中三个，联立方程组，就可求其余二个。体现了方程的思想。（四）演练反馈,提升能力练习1：课堂导用的基础自测练习2：为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛,某同学给自己指定了7天的训练计划:第一天跑5000m,以后每天比前一天多跑500m.这个同学7天一共将跑多长的距离?（3题）设计意图：1题是让学生所学的知识在基础题体现；2题是数学生活的刻意强化，与本节课引入的实例前呼后应，一进一出，使整堂课浑然一体，让学生再次领悟数学在现实生活中的应用。 （五）总结反思，深化认识1、回顾从特殊到一般的研究方法；2、体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及