北师大版 八年级数学 下学期 第二章 分解因式.doc

学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 中考网北师大版 八年级数学 下学期 第二章 分解因式本章教材分析 本章分解因式的内容是多项式分解因式中的一部分最基本的知识和基本的方法，它包括分解因式的有关概念，整式乘法与分解因式的区别和联系。分解因式的两种基本方法，即提公因式法，运用公式法。本章学习目标 1. 了解分解因式的意义及其相关概念。 2. 熟练掌握分解因式的最基本方法：提公因式法和运用公式法。 3. 灵活运用分解因式的方法解决相关的实际应用问题。重点、难点： 本章的重点是分解因式的两种基本方法，灵活运用分解因式的两种基本方法是本章的难点，分解因式是整式乘法的逆运算，可采用对比的方法得出分解因式的概念和方法。教学过程：2.1 分解因式学习目标 1. 经历从分解因数到分解因式的类比过程。 2. 了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的关系。 3. 感受分解因式在解决相关问题中的作用。 整式乘法中的单项式多项式，多项式多项式的恒等变形是本节内容的学习基础，多项式的因式分解就是反用乘法分配律，将乘法变形反过来就得到多项式的分解因式。 本节内容是本章基础，在分解因式时常常要从分解因式概念入手考察检验分解因式的正确性。重点、难点 本节的重点是掌握从分解因数到分解因式的类比思想方法，难点是理解分解因式的概念。知识要点 1. 分解因式 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式。 2. 分解因式的意义 （1）分解因式的对象是多项式。 （2）分解因式的结果是化成整式的积的形式。 （3）因式分解的结果要彻底，要在要求的范围内分解到不能再分解为止。相关知识链接 分解因式与整式的乘法是一个互逆的过程。 即把几个整式的积化成一个多项式的形式。 即把一个多项式化成几个整式的积的形式。2.2 提公因式法学习目标 1. 经历探索多项式各项公因式的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式。 2. 会用提公因式法把多项式分解因式。 3. 进一步了解分解因式的意义，加强直觉思维并渗透化归的思想方法。重点、难点、易错点 重点：分解因式的基本方法提公因式法 难点：求出多项式各项的公因式 易错点：多项式的某一项恰为该多项式的公因式时，在提公因式时易把“1”漏掉。知识要点 1. 公因式 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2. 提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 3. 公因式的确定 取各项系数的最大公约数作为公因式的系数取相同字母（或相同多项式），而且各字母（或各多项式）的指数取次数最低的作为公因式的因式。 注：当首项为负时，可先提“”号，各项都变号后再进行公因式的提取。【典型例题】2.1 分解因式 例1. 判断下列变形是不是多项式分解因式，并说明理由。 精析：本题主要考查认识分解因式的意义。分解因式是把一个多项式化成几个整式的积的一种变形。这里要注意：一是要化成乘积的形式，二是所得因式应是整式。当然，变形的过程应该是恒等变形。 解： （2）不是。原式作的是乘法运算，而不是分解因式。 （3）是。 （4）不是。左右两边不恒等，左边三项有公因式x，提出x之后，应该得到3x2y1这样一个因式。 特殊要求，一般不这样分解。 点评：（1）多项式分解因式的定义包含两方面的条件：其一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式。（2）判断过程要防止从左到右保持恒等变形。 例2. 求值： 解： 解： 点拨：这里应用乘法分配律简化计算，实际上就体现了数学中的分解因式的思想。 例3. 分析： 解： 点拨：根据分解因式的意义，算式的右边只不过是对左边的恒等变形，则右边展开后，应与左边完全相同，这是解决此类问题的依据。2.2 提公因式法 例1. 指出下列多项式中各项的公因式： 解：（1）3与6的最大公约数是3，各项相同字母是x与y，而x与y的指数最低次数分别为2与4，所以公因式为3x2y4。 （2）8、12与24的最大公约数是4，各项的相同字母是a与b，而a与b的指数最低次幂是1与2，所以公因式为4ab2。 （3）15与10的最大公约数是5，各项没有相同的字母因式，只有相同的多项式因式（xy），而（xy）的指数的最低次数为3，所以公因式为5(xy)3。 （4）21与14的最大公约数为7，各项的相同字母因式为a，因为 所以各项的相同的多项式为（2x3y），而a与（2x3y）的指数最低次数分别为1与2，所以公因式为7a(2x3y)2。 点评：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：（1）定系数，即确定各项系数的最大公约数；（2）定字母（或多项式），即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；（3）定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次数。 例2. 把下列各式分解因式。 解： 解： 解： 解： 解： 解： 注：若化简后有公因式应继续提公因式。 解： 例3. 解： 【模拟试题】 1. 下列各式从左到右的变形，是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果二次三项式分解因式的结果是，则_。 4. 如果将分解后得，那么_。 5. 下列各组多项式中，没有公因式的一组是（ ） A. B. 与 C. D. 6. 已知，则代数式的值是_。 7. 如果多项式可分解为，则A为_。 8. 分解因式得_。 9. 计算： （1） （2） 10. 分解因式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 11. 已知，求代数式的值。【试题答案】