测试点11(二次函数).docVIP

二 次 函 数1.二次函数的基本知识（1）二次函数解析式的三种形式： 一般式： 顶点式： 双根式： 求二次函数解析式的方法：待定系数法。 可根据题设的条件选用适当形式的： a. 已知三个点坐标时，宜用一般式； b. 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式； c. 若已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用双根式求更方便。（2）二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程式是，顶点坐标是.当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减；当时，。（3）二次函数当时，图象与x轴有两个交点、，。例 已知二次函数满足，且的最大值是8，试确定此二次函数。解法一 利用二次函数一般式。 设，由题意得 解之得所求二次函数为。解法二利用二次函数顶点式设 抛物线对称轴为。 即。又根据题意函数有最大值n=8， 解之得，所以解法三 利用双根式由已知的两根为，故可设即又函数有最大值8， 解之得 或（舍）所求函数解析式为。练习：1、设，且，则（ ）A. B C. D. 2、 若有负值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3、已知二次函数的顶点在第一或第四象限，且，则为增函数的区间是（ ）A. B. C. D. 4、若二次函数满足，则=_。5、不等式对一切恒成立，则a的取值范围是_。6、设，当时，恒成立，求a的取值范围。7、已知二次函数同时满足条件：；的最大值为15；的两根立方和等于17。求的解析式。8、已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为。（1）若方程有两个相等的根，求的解析式。（2）若的最大值为正数，求a的取值范围。2. 实系数二次方程实根的符号与二次方程系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根一负根。注意 （3）中没有，因为。练习题：1、已知函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值区间是（ ）A. B. C. D. 2、不等式的解集为，则函数的图象为（ ） 3. 已知二次函数的解析式，求某单调区间；已知二次函数的某一单调区间，求参数范围。这两类是常见题型，关键是利用二次函数的图象。 例1 函数在上递减，则a的取值范围是_。 解 的对称轴为，且在上递减 解得例2 已知函数（为正常数），且函数与的图象在y轴上的截距相等。（1）求a的值；（2）求函数+的单调递增区间。解 （1）由题意，（2）+=当时，+=，它在单调递增；当时，+=，它在上单调递增。综上，结合+的图象可知，+的单调递增区间是。练习题： 1、 若函数在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 2、是在区间上为减函数的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3、若二次函数满足条件：在上单调递增，对任意实数（）都有，则_,_。（只需填上你认为正确的一组即可，不必考虑所有情况）4. 一元二次方程根的分布（1）如在开区间（m，n）内方程（的情况）有两个实数根，利用草图采用数形结合的方法得出 （2）如在（m，n）内有且只有一个实数根需满足（需检验）或。例1 方程在（-1，1）上有实根，求的取值范围。解 本题要分在（-1，1）上有两解和一解两种情况来解。解法一：设 （1）方程在（-1，1）上有两解， ， 解得 （2）方程在（-1，1）上有一解，则 或或 解得 由（1）（2）得解法二：本题也可以从函数的值域入手。 由当时，当时，可得同样结论。 （3）若在闭区间m，n内方程有且只有一个实数解，利用就不行了，因为满足此不等式方程也可能有两个解，为避免出现上述错误，可先利用求得开区间（m，n）结果，再令x=m，x=n，检查端点的情况。例2已知函数。 （1）若关于x的方程的解都在区间（0，1）内，求实数a的取值范围；（2）若函数在区间上单调递增，求正实数a的取值范围。解 （1）令方程的两根为负， （2）函数在上单调递增， 在上大于零且单调递增即练习题：1、关于x的方程的两实根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是_。5. 二次函数在闭区间上的最值 （1）二次函数在区间m，n上的最值问题。一般情况下，需要分三种情况讨论解决。 （2）当，在区间p，q上的最大值M，最小值m，令，若，则；若，则；若，则；若，则。注意 在区间同时讨论最大值和最小值需分四种情况进行讨论。（3）对二次函数在区间m,n上的最值问题，有以下结论：若，则若，则，。（时可仿此讨论）。注意 =2，即集合中元素的最大值。例 已知函数在区间上的最大值为1，求实数a的值。解 的最大值可能产生在抛物线段的顶点或端点处。即函数的最大值只能在或处取得。（1）令，解得，则故的最大值不可能在处取得。（2）令，解得，则故当时，取得最大值1。（3）令，解得。要使在处取得最大值，必须且只需且。 经检验，只有