湖南长沙市一中2011届高三第四次月考(数学理).doc

您身边的志愿填报指导专家湖南省长沙市第一中学2011届高三上学期第四次月考（数学理）考试范围：集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、数列、不等式、推理与证明时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1计算复数的值为（ ）A0BCD 2已知命题，则命题的否定是（ ） AB CD3已知：等差数列满足，则数列的公差d（ ）A138B135C95D234集合，那么是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5如下图所示的程序框图运行后输出的结果为（ ）A36B45C55D66开始A = 1，S = 0否CBOA是输出SS = S + A结束A = A + 1第5题图 第6题图6如上图，平面内的两个单位向量，它们的夹角是，与、向量的夹角都为，且，若，则值为（ ） A2B4CD 7已知：且，若函数在是增函数，则的取值范围是（ ）ABCD 解：当时，的对称轴，在上递增，且即，是增函数，当时，是减函数，在上是减函数综上：，选8若定义在上的函数满足：对于任意，有设的最大值、最小值分别为，则的值为（ ）A2009B2010C4018D4020二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分把答案填在题中的横线上）9已知函数(其中)的最小正周期为，则的值为 10已知，与的夹角为，则在上的投影为 解： 11已知，且，则的最大值为 12观察下列不等式一般地，当时 （用含的式子表示）13已知函数的定义域为，为偶函数，当时，当时，的递增区间是 14定义，如对于函数，则函数的解析式是：=，且的单调递减区间是 （写成开区间或闭区间都给全分）15若函数，同时满足下列条件，（1）在D内为单调函数；（2）存在实数，当时，则称此函数为内等射函数，设则(1)在的单调性为 ；(2)当为R内的等射函数时，的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（本小题满分12分）在四边形中，且（1）求三角形的面积和边的长度；DABC（2）求的值 17（本小题满分12分）设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角A的大小； （2）若，求ABC的周长l的取值范围 18（本小题满分12分）已知数列是等差数列，是等比数列，且，（1）求数列和的通项公式（2）数列满足，求数列的前项和19（本题满分13分）设函数，已知，且，曲线在x=1处取极值 （）如果函数的递增区间为，求的取值范围； （）如果当是与无关的常数时，恒有，求实数的最小值 20（本小题满分13分）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2009年9月以来的第n个月（2009年9月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量与出口量的和）分别为bn、cn和an(单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：bn + 1 = a an，cn + 1 = an + b an2 （其中a、b为常数），已知a1 = 1万件，a2 = 1.5万件，a3 = 1.875万件 （1）求a，b的值，并写出an + 1与an满足的关系式； （2）试用你所学的数学知识论证销售总量逐月递增且控制在2万件内； （3）试求从2009年9月份以来的第n个月的销售总量an关于n的表达式 21（本小题满分13分）已知函数f (x) = （1）若函数f (x)在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围； （2）若函数f (x)的图象在x = 1处的切线垂直于y轴，数列满足 若a13，求证：ann + 2；若a1 = 4，试比较的大小，并说明你的理由参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1计算复数的值为（C）A0BCD2已知命题，则命题的否定是（ D ） AB CD3已知：等差数列满足，则数列的公差d（C）A138B135C95D234集合，那么是的（A）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5如下图所示的程序框图运行后输出的结果为（B）A36B45C55D66开始A = 1，S = 0否CBOA是输出SS = S + A结束A = A + 1第5题图 第6题图6如上图，平面内的两个单位向量，它们的夹角是，与、向量的夹角都为，且，若，则值为（B） A2B4CD 7已知：且，若函数在是增函数，则的取值范围是（A）ABCD 解：当时，的对称轴，在上递增，且即，是增函数，当时，是减函数，在上是减函数综上：，选8若定义在上的函数满足：对于任意，有设的最大值、最小值分别为，则的值为（C）A2009B2010C4018D4020二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分把答案填在题中的横线上）9已知函数(其中)的最小正周期为，则的值为2 10已知，与的夹角为，则在上的投影为解： 11已知，且，则的最大值为412观察下列不等式一般地，当时（用含的式子表示）13已知函数的定义域为，为偶函数，当时，当时，的递增区间是 解：关于y轴对称，关于x=1成轴对称 14定义，如对于函数，则函数的解析式是：=，且的单调递减区间是（写成开区间或闭区间都给全分）解：， 又由，得即的单调减区间为15若函数，同时满足下列条件，（1）在D内为单调函数；（2）存在实数，当时，则称此函数为内等射函数，设则(1)在的单调性为 增函数；(2)当为R内的等射函数时，的取值范围是解：（1）, 在上是增函数（2）为等射函数有两个不等实根即有两个不等实根令,令 当时，时，；时，当时，时，；时，综上：三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）DABC16（本小题满分12分）在四边形中，且（1）求三角形的面积和边的长度；（2）求的值 解：（1）由已知， 3分，则 5分由余弦定理得7分（2）在Rt中，9分12分17（本小题满分12分）设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角A的大小； （2）若，求ABC的周长l的取值范围 解：（1）由 2分 4分，又 6分（2）由正弦定理得：， 8分 10分， 11分 12分18（本小题满分12分）已知数列是等差数列，是等比数列，且，（1）求数列和的通项公式（2）数列满足，求数列的前项和解：(1)设的公差为，的公比为由，得，从而因此 3分又， 从而，故 6分（2）令9分两式相减得 2，又 12分19（本题满分13分）设函数，已知，且，曲线在x=1处取极值 （）如果函数的递增区间为，求的取值范围； （）如果当是与无关的常数时，恒有，求实数的最小值 解：（），又，可得，即，故，则判别式知方程（*）有两个不等实根，设为，又由知，为方程（*）的一个实根，又由根与系数的关系得，3分当或时，当时，故函数的递增函数区间为，由题设知，因此， 6分由（1）知，得的取值范围为 8分（）由，即，即因，得，整理得 9分设，它可以看作是关于的一次函数由题意，函数对于恒成立故即得或11分由题意，故因此的最小值为13分20（本小题满分13分）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2009年9月以来的第n个月（2009年9月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量与出口量的和）分别为bn、cn和an(单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：bn + 1 = a an，cn + 1 = an + b an2 （其中a、b为常数），已知a1 = 1万件，a2 = 1.5万件，a3 = 1.875万件 （1）求a，b的值，并写出an + 1与an满足的关系式； （2）试用你所学的数学知识论证销售总量逐月递增且控制在2万件内； （3）试求从2009年9月份以来的第n个月的销售总量an关于n的表达式 【解析】（1）依题意：an + 1 = bn + 1 + cn + 1 = a an + an + b an2，则a2 = a a1 + a1 + b a12 a + 1 + b = 则a3 = a a2 + a2 + b a22 解得a = 1，b = 从而an + 1 = 2an an2 (nN*) 5分（2）证法（）由于an + 1 = 2an an2 = (an 2)2 + 22但an + 12，否则可推得a 1= a 2= 2与a 1= 1，a2 = 1.5矛盾故an + 12 于是an2又an + 1 an= an2 + 2an an = an (an 2) 0，所以an + 1an 从而anan + 12 9分证法（）由数学归纳法（i）当n = 1时，a1 = 1，a2 = 1.5，显然a1a22成立（ii）假设n = k时， akak + 12成立由于函数f (x) = x2 + 2x = (x 2)2 + 2在0，2上为增函数，则f (ak) f (ak + 1) f (2)即ak (4 ak) ak + 1(4 ak + 1) 2(4 2) 即 ak + 1ak + 22成立 综上可得nN*有anan + 12 9分（3）由an + 1 = 2an an2得2 (an + 1 2) = (an 2)2 即(2 an + 1) = (2 an)2又由（2）anan + 12可知2 an + 10，2 an0 则lg (2 an + 1) = 2 lg (2 an) lg 2 lg (2 an +1) lg2 = 2lg (2 an) lg2即lg (2 an + 1) lg2为等比数列，公比为2，首项为lg (2 a1) lg 2 = lg 2故lg (2 an) lg 2 = (lg 2)2n 1 an = 2 2 (nN*)为所求 13分21（本小题满分13分）已知函数f (x) = （1）若函数f (x)在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围； （2）若函数f (x)的图象在x = 1处的切线垂直于y轴，数列满足 若a13，求证：ann + 2；若a1 = 4，试比较的大小，并说明你的理由【解析】（1）f (1) = a b = 0，a = b，f(x) = 要使函数f (x)在其定义域内为单调函数，则 (0，+)内(x) = 恒大于等于零，或恒小于等于零 由得而 由得 而 经验证a=0及a=1均合题意，故所求实数a的取值范围为a1或a0 5分（2）函数f (x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，f(1) = 0，即a + a 2 = 0，解得a = 1，f(x) = ，an + 1 = f 7分用数学归纳法证明：（i）当n = 1时，a13 = 1 + 2，不等式成立；（ii）假设当n = k时不等式成立，即那么ak k20，ak + 1 = ak (ak k) + 12 (k + 2) + 1 = (k + 3) + k + 2k + 3，也就是说，当n = k + 1时，ak + 1(k + 1) + 2根据（i）和（ii），对于所有n1，有ann + 2 10分由an + 1 = an (an n) + 1及，对k2，有ak = ak 1 (ak1 k +