高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单性质学业分层测评含解析北师大版选修.docx

2.3.2 双曲线的简单性质(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1等轴双曲线的一个焦点是F1(6,0)，则它的标准方程是() A.1B1C.1D1【解析】设等轴双曲线方程为1(a0)a2a262，a218.故双曲线方程为1.【答案】B2若双曲线x2ky21的离心率是2，则实数k的值是()A3BC3D【解析】双曲线x2ky21可化为1，故离心率e2，解得k.【答案】D3双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()A.1B1C.1D1【解析】由顶点在y轴上得该双曲线焦点位于y轴，排除A、D，B项，a2，b2，c2，2a2b2c符合题意【答案】B4双曲线1的渐近线与圆(x3)2y2r2(r0)相切，则r() A.B2C3D6【解析】双曲线的渐近线方程为yx，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r，且r.【答案】A5双曲线1和椭圆1(a0，mb0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形【解析】双曲线的离心率e1，椭圆的离心率e2，由e1e21得(a2b2)(m2b2)a2m2，故a2b2m2，因此三角形为直角三角形【答案】B二、填空题6双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m_. 【解析】2a2,2b2， 2，m.【答案】7若双曲线中心在原点，焦点在y轴，离心率e，则其渐近线方程为_【解析】由于焦点在y轴，则渐近线方程为yx.而e，则1，渐近线方程为yx.【答案】yx8双曲线1(a0，b0)的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为边作等边MF1F2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为_【解析】如图，点N为MF2的中点，且在双曲线上，利用双曲线的定义即可求解|F1N|c，|NF2|c.又|NF1|NF2|2a，即cc2a.e1.【答案】1三、解答题9求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)顶点间距离为6，渐近线方程为yx；(2)求与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程【解】(1)设以yx为渐近线的双曲线方程为(0)，当0时，a24，2a26；当0时，a29，2a261.双曲线的标准方程为1和1.(2)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2(0)，将点(2，2)代入双曲线方程，得(2)22.双曲线的标准方程为1.10已知椭圆D：1与圆M：x2(y5)29，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程【解】椭圆D的两个焦点为F1(5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c5.设双曲线G的方程为1(a0，b0)，渐近线方程为bxay0，且a2b225，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r3.3，得a3，b4，双曲线G的方程为1.能力提升1设a，b是关于t的方程t2cos tsin 0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线1的公共点的个数为()A0B1C2D3【解析】由根与系数的关系，得abtan ，ab0，则a，b中必有一个为0，另一个为tan .不妨设A(0,0)，B(tan ，tan2 )，则直线AB的方程为yxtan .根据双曲线的标准方程，得双曲线的渐近线方程为yxtan ，显然直线AB是双曲线的一条渐近线，所以直线与双曲线没有公共点【答案】A2设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.B.C.D.【解析】设双曲线方程为1(a0，b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为yx，而kBF，1，整理得b2ac.c2a2ac0，两边同除以a2，得e2e10，解得e或e(舍去)，故选D.【答案】D3设双曲线1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB面积为_. 【解析】A(3,0)，F(5,0)，取过F平行于渐近线yx的直线，则方程为y(x5)由得B.AFB的面积S(53).【答案】4已知双曲线3x2y23，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长【解】双曲线方程可化为1，c2a2b24，c2.F2(2,0)，又l的