2011-12-1浙江T《数字信号处理原理及实现》综合练习

1 T 数字信号处理原理及实现数字信号处理原理及实现 综合练习综合练习 第一 二章第一 二章 一 填空题一 填空题 1 线性系统对信号的处理是符合 叠加原理 的 2 因果系统的时域充要条件是 h n 0 n 0 稳定系统的时域充要条件是 n nh 3 因果 稳定系统的系统函数 H z 的收敛域可表示为 R z R 1 4 序列 x n 的傅立叶变换是 x n 在 Z 平面 单位圆 上的 Z 变换 5 Z 变换在单位圆上的值表示 序列的频谱 6 从模拟信号到数字信号要经过 抽样 量化 编码 三个过程 其中 抽样 过程是线性的 量化 过程是非线性的 7 数字角频率 对应的模拟角频率为 s f 8 离散时间系统的时域特征可用 h n 来描述 也可用 差分方程 来描述 9 序列 x n 的傅立叶变换在 S 平面为 虚轴对应的拉氏变换 而在 Z 平面为 单位圆对应的 Z 变换 10 描述离散时间系统的方法 时域有 h n 差分方程 频域有 H z 11 现行时不变离散时间系统的时域分析和频域分析的方法有差分方程 单位脉冲响应和系统函数 其中瞬态分析是 差分方程 单位脉冲响应 稳态分析是 系统函数 12 系统函数称为全通函数的要求是 幅频特性为常数 1 系统函数称为纯振幅函数的要求是 相频特性为常数 0 13 数字域频率所对应的信号的实际频率为 采样频率 fs 2 14 序列的周期是 12 序列的周期是 nnx 6 sin 1 nnnx 6 sin 4 cos 2 24 4 128 12 8gcd 128 gcd 21 21 NN NN N 15 要使一个正弦序列是周期序列 必须满足 数字频率 是 的函数 条 sin nAnx 件 16 采样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期函数 其周期为 采样频率或 折叠频率为 s s f 或 2 s 2 s f 17 某线性时不变离散系统的单位脉冲响应应为 则该系统的因果性及稳定性分 3 0 nunh n 别为 因果 非稳定 18 已知某离散系统的输入输出关系是 试判断系统的线性时不变和 2 2 1 nxnxny 2 因果特性分别为 线性 时不变 因果 19 已知系统的输入输出关系为 则系统的线性性和时不变性分别为 非线性 8 3 nxny 及 时不变 20 有一连续信号 用采样间隔对进行采样 则采样信号 40cos ttxa sT02 0 txa 的表达式为 采样后所 txa txa nn aa ntnnTtnTxtx 02 0 8 0cos 得时域离散信号 x n 的周期为 N 5 21 若一个理想采样及恢复系统 采样频率为 采样后经一个带宽为 增益为 1 3 的 6 s 3 理想低通还原 现有输入 输出信号为ttttxa 5cos2coscos ny ttty cos22cos 22 如果截止频率为 8 的低通数字滤波器 采样频率为 fs 1 T 10kHz 那么等效的模拟滤波器 的截止频率是 625Hz 23 对于稳定的因果系统 如果输入一个频率为 0的复正弦序列 则其输出为 y n nj enx 0 设系统的频率响应已知 00 jnj eHe j eH 24 设序列 则的值为 2 1 1 2 nnnnh 0 j eH 25 因果稳定系统的收敛域为 1 XX RzR 26 若序列 x n 的傅里叶变换是 则的傅里叶变换是 j eX nj enx 0 0 j eX 27 已知一个线性时不变离散系统的系统函数为 若收敛域为 1 01 3 01 5 0 1 zz zH 10 z 试判断系统的因果稳定性 因果非稳定性 28 如果 h n 是实序列 式是否成立 是 jj eHeH 29 表达式的物理意义是 序列的傅里叶变换实质上是单位圆上的 Z 变换 j ez j zXeX 代表序列的频谱 30 稳定系统的收敛域必须包括 单位圆 31 若 h n 为实序列 则是 偶 对称的 是 奇 对称 j eH arg j eH 32 序列的傅里叶变换是 的连续周期函数 周期为 2 j eX 二 判断题二 判断题 1 实际工作中 抽样频率总是选得小于两倍模拟信号的最高频率 2 因果系统一定是稳定系统 3 3 只要因果序列 x n 有收敛的 Z 变换形式 则其 序列傅氏变换 就一定存在 4 右边序列一定是因果序列 5 当输入序列不同时 线性时不变系统的单位脉冲响应也不同 6 离散时间系统的滤波器特性可以由其幅频特性直接看出 7 某系统只要满足 T kx n ky n 即可判断系统为线性系统 8 差分方程的求解方法有递推法 时域经典法 卷积法和变换域法 其中递推法的求解依赖于初 始条件和给定输入 9 确定一个线性时不变系统 在时域可由差分方程加初始条件 在 Z 域可由系统函数加收敛域 10 因果稳定系统的系统函数的极点均在单位圆内 11 稳定系统的收敛域必须包括单位圆 三 简答题三 简答题 1 请说明采样定理的内容 答 如果要求信号经理想抽样后的频谱不发生混叠 抽样频率 s必须大于或等于原信号频谱中 最高频率 m的两倍 2 请写出单位脉冲序列和单位阶跃序列的关系式 答 1 0 nunun knnu k 3 请写出矩形序列和单位阶跃序列的关系式 答 NnununRN 4 请写出线性系统的定义及判定公式 答 线性系统对信号的处理是符合叠加原理的 判定条件 若系统输入序列分别为和时 输出序列分别为和 1 nx 2 nx 1 ny 2 ny 即 那么当系统输入为时 22 11 nxTny nxTny 21 nbxnax 有 成立 则该系统为线性系统 2121 nbynaynbxnaxT 5 请写出时不变系统的定义及判定公式 答 时不变系统是指系统对信号的处理 运算 不随时间的改变而改变 判定条件 若系统输入序列为时 输出序列为 nx ny 即 那么当系统输入为时 nxTny 0 nnx 有 成立 则该系统为时不变系统 00 nnynnxT 6 请写出因果系统的定义及判定公式 答 因果系统指的是系统现时刻的输出值仅决定于现时刻的输入值以及以前各时刻 ny nx 的若干输入值 x n 1 x n 2 而与现时刻以后即 未来时刻 的输入值 x n 1 x n 2 等无关 或者说 系统是符合 有因才有果 前因后果 关系的 4 判定条件 0 0 nhn 7 请写出稳定系统的定义及判定公式 答 稳定系统指的是在输入序列幅度有界的情况下 系统输出序列的幅度亦有界 判定条件 n nh 8 请写出数字信号处理中常用 Z 变换的三条性质 答 1 线性性质 如果 zXnxZ xx RzR zYnyZ yy RzR 则对任意常数 a b Z 变换都能满足以下等式 zbYzaXnbynaxZ min max yxyx RRzRR 2 移位性质 如果 zXnxZ xx RzR 则序列的 Z 变换为 0 nnx 0 0 zXznnxZ n xx RzR 3 序列卷积 如果 zXnxZ xx RzR zYnyZ yy RzR 且 nynxnw 则 zYzXnwZ min max yxyx RRzRR 9 请写出 S 平面和 Z 平面的对应关系 答 S 平面的虚轴对应于 Z 平面的单位圆 S 平面的左半平面对应于 Z 平面的单位圆内的区域 S 平面的右半平面对应于 Z 平面的单位圆外的区域 10 简述系统函数的频率响应的作用 j eH 答 系统函数的频率响应是一个非常重要的物理量 它通常为复数 且为的函数 j eH jj ez j eeHzHeH j 其中称为系统函数的幅频特性 而称为相频特性 它们分别表示了系统的幅度和 j eH 相位特性 由于决定着输出幅度的大小 所以系统的滤波特性可以由幅频特性直接给出 j eH 5 11 从差分方程出发 给出时域分析法和 Z 域分析法的内容 答 N i N i ii inybinxany 01 n nh nnh nhnxny nh 00 含单位园的 的 R x ROCzH zROCzH zHzXzY zH j ez j zHeH 12 某系统输入与输出y n 为 请说明该系统是否为线性和时不变系统 nx sin nnxny 四 画图题四 画图题 1 请图示下述序列 1 其中 6 sin 80 nnRn 8 2 0 2 2 2 nu n 3 2 2 nu n 25 0 707 1 0 707 24 23 n 22 n 0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 0 707 0 707 2 2 2 3 2 4 2 5 n 0 1 2 3 4 5 6 2 请给出模拟信号数字化处理系统的基本组成方框图 并说明其中所需滤波器的作用和相应的截 止频率 xa t x n y n ya t 模拟信号数字化处理系统的基本组成方框图 前置 滤波器 A D 变换器 数字信号 处理器 D A 变换器 后置 滤波器 6 需要前置滤波器和后置滤波器共两个 它们的截止频率均为fsa 2 五 计算题五 计算题 1 已知某因果系统的系统函数 1 1 3 1 1 z z zH 1 请求出该系统的单位脉冲响应 h n 2 如输入序列为 计算此时系统的输出序列 y n 4 nRnx 3 判断该系统的稳定性 解 1 3 1 3 1 1 1 1 nu z n 根据 Z 变换的移序性质有 1 3 1 3 1 1 1 1 1 nunh z z n 2 3 2 1 4 nnnnnRnx 3 2 1 1 3 1 1 nnnnnunhnxny n 4 3 1 3 3 1 2 3 1 1 3 1 4321 nunununu nnnn 3 H z 的 ROC 为 z 包含单位圆 3 1 该系统是稳定的 2 设某线性时不变系统的单位脉冲响应序列 求其系统函数 差分方程和频 1 5 0 nunh n 响 并画出该系统的正准型结构 解 求系统函数 H z 1 5 05 0 1 5 0 1 nununh nn 根据 z 变换的移序性质有 1 1 5 01 5 0 z z zH 求差分方程 H z Y z X z 1 1 5 01 5 0 z z zXzY 5 0 5 01 11 zXzzzY 7 5 0 5 0 11 zYzzXzzY 对以上方程两边同时取 Z 反变换 y n 0 5x n 1 0 5y n 1 求频响 j j jj e e ezzHeH 5 01 5 0 jj eeH 画正准型结构 x n y n z 1 0 5 0 5 3 设某因果数字系统的系统函数为 设系统在 n 0 时 y n 0 当输入序列为 2 3 01 1 z zH 时 求输出序列 y n 3 nnnx 解 3 01 1 2 zX zY z zH y n x n 0 3y n 2 初始条件全部为零 即 y n 0 n 0 时 y 0 x 0 0 3y 2 1 y 1 x 1 0 3y 1 0 y 2 x 2 0 3y 0 0 3 y 3 x 3 0 3y 1 1 y 4 x 4 0 3y 2 0 32 y 5 x 5 0 3y 3 0 3 y 6 0 3y 4 0 33 y 7 0 3y 5 0 32 4 已知线性移不变系统的输入为 系统的单位抽样响应为 试求系统的输出 nx nh ny 1 nnx 5 nRnh 2 3 nRnx 4 nRnh 8 3 2 nnx 5 0 3 nRnh n 4 1 2 nunx n 5 0 nunh n 分析 如果是因果序列 可表示成 例如 小题 2 的结果可 ny 2 1 0 yyyny 表示为 1 2 3 3 2 1 ny mnxnxmnnxnxn 卷积和求解时 对要分段处理 n 解 1 5 nRnhnxny 2 1 2 3 3 2 1 nhnxny 3 2 5 0 5 0 2 3 2 3 nRnRnny nn 4 1 2 nunx n 5 0 nunh n 得 1 3 1 25 0 m mmn ny 2 n n0 n m mmn ny 3 4 25 0 2nn1 5 已知 求出对应的各种可能的单位脉冲响应的 1 121 2 2 1 1 3 z z zH zH nh 表达式 解 由 X z 的表达式可求得极点为 则收敛域有 3 种可能 2 2 1 21 zz 2 1 z2 2 1 z2 z 1 当收敛域为时 X z 式中第 1 2 项都为左边序列 则对应的序列为 2 1 z 1 2 2 1 3 1 nunh n n 2 当收敛域为时 X z 第 1 项为右边序列 第 2 项为左边序列 则对应的序列为 2 2 1 z 9 1 2 2 1 3 1 nununh n n 3 当收敛域为时 X z 式中第 1 2 项都为右边序列 则对应的序列为 2 z 2 2 1 3 1 nunh n n 6 判断下列每个序列是否为周期性的 若是周期性的 试确定其周期 87 3 cos nAnx nAnx 3 13 sin 6 n j enx 分析 或的周期性判断方法如下 cos 0 nAnx sin 0 nAnx 当为整数时 例 则的周期为 0 2 N 0 2 nxN 当为有理数时 例 为互素的整数 则的周期为 0 2 P Q P 2 0 Q nxP 当为无理数时 为非周期序列 0 2 nx 解 1 由 87 3 cos nAnx 可得 3 14 7 3 2 2 0 所以是周期的 周期为 14 nx 2 由 nAnx 3 13 sin 可得 13 6 3 13 2 2 0 所以是周期的 周期为 6 nx 10 3 由 6 sin 6 cos 6 sin 6 cos 6 n n j nn j n enx j 可得 是无理数 所以是非周期的 12 2 0 nx 7 有一理想抽样系统 抽样角频率为 抽样后经理想低通滤波器还原 其中 6 s jHa 0 2 1 jHa 3 3 今有两个输入 输出信号有无失真 ttxttx aa 5cos 2cos 21 21 tyty aa 为什么 分析 要想时域抽样后能不失真地还原出原信号 则抽样频率必须大于 2 倍信号谱的最高频率 s f 即满足 h f hs ff2 解 根据奈奎斯特定理 因为 而频谱中最高频率 所以无失真 ttxa 2cos 1 3 2 6 2 1 a 1 tya 因为 而频谱中最高角频率 所以失真 ttxa 5cos 2 3 2 6 5 2 a 2 tya 8 设有一系统 其输入输出的关系由以下差分方程确定 1 2 1 1 2 1 nxnxnyny 设系统是因果性的 1 求该系统的单位抽样响应 2 由 1 的结果 利用卷积和求输入的响应 nuenx nj 分析 小题 1 可用迭代法求解 小题 2 要特别注意结果的值范围 n 解 1 nnx 因为 00 nhnyn 11 所以 1 2 1 2 1 0 2 1 1 0 2 1 1 1 1 2 1 0 1 2 1 0 xxyh xxyh 2 2 1 2 2 1 3 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 xxyh xxyh 可以推出 1 2 1 1 2 1 1 2 1 n nxnxnynh 即 1 2 1 1 nnunh n 2 1 2 1 1 nuennunhnxny nj n 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 nuenu e e nuenu e ee nuenu e ee e nuenue nuenuenu nj j n nj nj j j n nj nj j nj n j nj n m njmnj m njnj n 9 假如的 Z 变换表示式是下式 问可能有多少不同的收敛域 它们分别对应什么序列 nx zX 12 212 2 8 3 4 5 1 4 1 1 4 1 1 zzz z zX 分析 1 有限长序列的收敛域为 1 n n 0z 2 n 特殊状况有 0 1 n 0z 0 0z 2 n 2 右边序列的收敛域为 1 n x Rz n 如果序列是右边序列的一个特例 其收敛域为 1 n 0 x Rz n 3 左边序列的收敛域为 0 z x Rn 2 n 特殊情况有 0z x Rn 2 n 4 双边序列的收敛域为 x Rz x R 有三种收敛域 圆内 圆外 环状 需单独讨论 zz 0 解 对的分子和分母进行因式分解 得 zX 112 11 4 3 1 2 1 1 4 1 1 2 1 1 2 1 1 zzz zz zX 111 1 4 3 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 zjzjz z 从上式得出 的零点为 1 2 极点为 j 2 j 2 3 4 zX 所以的收敛域为 1 1 2 3 4 为双边序列 zXz 2 1 2 为左边序列 z 3 3 4 为右边序列 z 10 研究一个输入为和输出为的时域线性离散移不变系统 已知它满足 nx ny 13 并已知系统是稳定的 试求其单位抽样响应 1 3 10 1 nxnynyny 分析 在 Z 变换域中求出 然后把分解成部分分式 分别求 Z 反变换来得 zXzYzH zH 到 nh 解 对给定的差分方程两边取 Z 变换 得 3 10 1 zXzzYzYzYz 则 3 1 3 3 10 1 1 zz z zz zX zY zH 可求得极点为 3 1 z 3 1 2 z 为了使系统稳定 收敛区域必须包括单位圆 故取 1 3 3 利用第 3 题的结果z 1 1 21 12 nuanua aa nh nn 3 1 a3 1 2 a 即可求得 3 1 1 3 8 3 nununh n n 11 下图是一个因果稳定系统的结构 试列出系统差分方程 求系统函数 当 时 求系统单位冲激响应和频率响应 5 0 1 5 0 110 abb x n b0 y n a1 x1 n b1 分析 因为此系统是一阶系统 写出其差分方程 令二阶项系数为零 可得一阶差分方程 取 Z 变换 求得 从而求得 zH nh 解 由图示可得 z 1 14 1 1 1110 111 nxbnxbny nxanxnx 则 2 1 1 1 11101110 nxkbnxkbnxbnxbnkyny 1 2 1 01010 11101010 nxkbbbanxb nxkbnxkbbbanxb 2 2 11101011 nxkbnxkbbbaa 由图可看出 差分方程应该是一阶的 即 1101110 2 1 0akkbbkababa 则有 1 1 0110101 nxbabbanxbnyany 1 10 nxbnxb 即 1 1 10 1 1 zXzbbzazY 所以 1 1 1 10 1 za zbb zX zY zH 当时5 0 1 5 0 110 abb 1 1 11 1 1 1 1 10 5 015 01 5 0 5 01 5 0 1 z z zz z za zbb zH 因为此系统是一个因果稳定系统 所以其收敛域为 可求得5 0 z 1 5 0 5 0 11 nununh nn j ez j zHeH j j e e 5 01 5 0 第三章第三章 一 填空题一 填空题 1 有限长序列 x n 的离散傅立叶变换 X k 就是 x n 在 Z 平面 单位圆 上的 等距离 抽样点上的 Z 15 变换 2 模拟时域抽样不失真条件 数字频域抽样不失真条件 N M ms ff2 3 实序列 x n 的 10 点 DFT 已知 则 kXnx 90 kjX 1 1 9 X j 1 4 DFT 与 DFS 有密切关系 因为有限长序列可以看成周期序列的 主值序列 二 判断题二 判断题 1 有限长序列 x n 的离散傅立叶变换 X k 就是在 Z 平面单位圆上的 Z 变换 2 FFT 与 DFT 在本质上根本不同 3 DFT 算法使信号的实时处理成为可能 4 有限长序列由于不存在离散时间傅立叶变换 所以才去求它的离散傅立叶变换 5 对于离散傅里叶变换而言 其信号特点是 时域 频域均离散周期 6 实序列的 10 点 已知 则 nx kXnxDFT 90 kjX 1 1 jX 1 9 7 FFT 是序列傅里叶变换的快速算法 8 离散傅立叶变换隐含周期性 三 简答题三 简答题 1 简述时域采样定理和频域采样定理的内容 答 做一个概念的类比 时域采样 频域周期延拓 如不造成频域混叠 延拓周期 或 必 s s f 须大于或等于原模拟信号 非序列 频宽 即满足 2 则频域采样 时域周期延拓 如 nx s f c f 不造成时域混叠 延拓周期 N 时间周期 NT 必须大于或等于原非周期信号 非周期序列 时宽 即满足 N M 2 写出序列的离散时间傅氏变换 离散傅氏变换 X k 和 Z 变换 X z 10 Nnnx j eX 的定义式 并说明这三种变换之间的关系 答 1 0 N n njj enxeX 1 0 N n nk N WnxkX10 Nk 1 0 N n n znxzX 或 X k 是序列傅氏变换的采样值 k N j eXkX 2 16 或 X k 是该序列 Z 变换单位圆上等距离的采样值 k N Wz zXkX 或序列傅氏变换实质上就是单位圆上的 Z 变换 j ez j zXeX 3 请说明 DFT 隐含周期性 离散傅氏变换 DFT 与离散傅氏级数变换 DFS 有什么关系 答 kXnx IDFT DFT 截取主值周期延拓 周期延拓截取主值 kXnx p IDFS DFS p 4 用圆周卷积计算线性卷积的条件 答 设是长度为 N1的有限长序列 是长度为 N2的有限长序列 则线性卷积为 1 nx 2 nx 21 nxnxnyl 是一个长度为 N1 N2 1 的有限长序列 nyl 设是长度为 L 的有限长序列 也是长度为 L 的有限长序列 则圆周卷积为 1 nx 2 nx 1 nxnyc 2 nx 是一个长度为 L 的有限长序列 nyc 所以 L 点圆周卷积是线性卷积以 L 为周期的周期延拓序列的主值序列 因为 nyc nyl 有 N1 N2 1 个非零值 所以只有当 L N1 N2 1 时 各延拓周期才不会混叠 也即要使圆周 nyl 卷积等于线性卷积而不产生混叠失真的充要条件是 L N1 N2 1 5 简述 DFT 参数选择的一般原则 答 1 确定信号的最高频率后 为防止混叠 采样频率 c f cs ff 6 3 2 根据实际需要 即根据频谱的 计算分辨率 需要确定频率采样两点之间的间隔 F F 越 小频谱越密 计算量也越大 3 F 确定后 就确定做 DFT 所需要的点数 N 即 F f N s 为了使用基 2 FFT 算法 一般取 N 2M 若点数 N 已给定且不能再增加 可采用补零的分法使 N 为 2 的整数幂 4 和 N 确定后 则可确定所需要的数据长度 即 s f 17 NT f N T s P 四 画图题四 画图题 1 图示利用 DFT 分析连续信号频谱的基本步骤 并指出在此分析过程中会产生哪些效应 txa nx nRnxnX NN kX jXa j eX j R jj N eWeXeX k N j N eX 2 时域采样 频域采样 在此分析过程中会产生混叠效应 截短效应 栅栏效应 五 计算题五 计算题 1 设表示长度为 N 的有限长序列的 DFT kX nx 证明 1 0 1 0 22 1 N n N k kX N nx 这就是离散傅里叶变换的帕斯维尔关系式 证明 0 1 0 N n nk N Wnx nxDFTkX 其它 10 Nk 0 1 1 0 N k kn N WkX NkXIDFTnx 其它 10 Nn 由有限长序列的性质 nx 2 nxnxnx 可得 1 0 1 0 2 N n N n nxnxnx 1 0 1 0 1 N n N k nk N WkX N nx 采样截短DFT 18 1 0 1 0 1 0 1 1 N k N k N n nk n kXkX N WnxkX N 所以 1 0 2 1 0 2 1 n k N n kX N nx 2 已知某有限长序列 求该序列的离散傅里叶变换 1 4 nRnnx kX 解 k 0 1 2 3 N 4 1 0 2 N n nk N j enxkX 1 0 4 2 1 0 1 104321 0 N n nkj N n enxX nxX jjj eeee jjjj 224 1 3 21 432 3 4 2 2 4 2 1 4 2 0 4 2 3 2 4 2 2 2 4 2 1 2 4 2 0 2 4 2 432 2 jjjj eeeeX 2 1 43 2 1 3 3 4 2 2 3 4 2 1 3 4 2 0 3 4 2 432 3 jjjj eeeeX jjj22 4 3 21 3 设某有限长序列 x n 的长度 N 4 其序列的傅氏变换如图所示 请写 j eX 出 x n 所对应的 4 点 DFT 即 X k 之值 j eX 2 0 2 解 且 k N j eXkX 2 1 2 1 0 Nk 4 N 19 k j eXkX 2 3 2 1 0 k 2 0 0 j eXX1 1 2 j eXX 0 2 j eXX1 3 2 3 j eXX 4 用微处理器对实数序列作谱分析 要求谱分辨率 信号最高频率为 1kHz 试确定HzF50 以下各参数 1 最小记录时间 T pmin 2 最大取样间隔 T max 3 最少采样点数 N min 4 在频带宽度不变情况下 将频率分辨率提高一倍的 N 值 解 1 在已知 F 50Hz s F Tp02 0 50 11 min 2 ms ff T ss 5 0 102 1 2 11 3 maxmin max 3 40105 0 02 0 3 min TTN p 4 频带宽度不变就意味着采样间隔 T 不变 应该记录时间扩大一倍 0 04s 实现频率分辨率提 高 1 倍 2 1 变为原来的F 80 5 0 04 0 min N 第五章第五章 一 填空题一 填空题 1 在双线性变换中 S 平面的左半平面对应于 Z 平面 单位圆内 的区域 2 在双线性变换中 S 平面的右半平面对应于 Z 平面 单位圆外 的区域 3 在利用双线性变换法设计数字滤波器时 所用到的两个变换公式分别为和 2 2 tg T 1 1 1 12 z z T s 4 在利用双线性变换法设计数字滤波器时 需要用到公式 该公式的意义是 表示 2 2 tg T S 平面上的模拟角频率 与 Z 平面单位圆上的数字频率 之间的关系 5 在利用双线性变换法设计数字滤波器时 需要用到公式 该公式的意义是 表 1 1 1 12 z z T s 示 S 平面与 Z 平面之间的映射关系 20 6 在脉冲响应不变法中 S 平面的左半平面对应 Z 平面的 单位圆内 区域 S 平面的虚轴对 应 Z 平面的 单位圆上 区域 7 从频率看 脉冲响应不变法是一种 线性 变换 不适应于设计 高通 带阻等数字滤波器 8 数字域所对应的信号的实际频率为 采样频率 fs 2 9 脉冲响应不变法的缺点是会产生 频率混叠 现象 优点是 和 成线性关系 因此只适合 低通和带通 滤波器的设计 双线性变换法的优点是不会产生 频率混叠 现象 付出的代价是 和 成非线性关系 因此适合于 片段常数特性 滤波器的设计 10 借助模拟滤波器的设计一个 IIR 数字高通滤波器 如果没有强调特殊要求 宜选用 双 sHa 线性变换 法 11 数字滤波器的传输函数的周期为 2 低通滤波器的通带处于 2 的整数倍 附近 j eH 而高通滤波器的通带处于 的奇数倍 附近 这一点和模拟滤波器是有区别的 12 某一模拟滤波器系统函数的极点位于 s 平面左半平面 采用脉冲响应不变法映射数字滤波器 则所得数字滤波器系统函数的极点位于 z 平面 单位圆内 13 设理想低通数字滤波器的截止频率 该滤波器是在 T 0 1ms 时用脉冲响应不变法转2 c 换理想低通滤波器得到的 则该模拟滤波器的截止频率 5000 rad s c 14 双线性变换是一种从 s 平面到 z 平面的映射 若 则 z js 22 22 2 2 1 2 2 1 TT TT 15 脉冲响应不变法是从时域出发 利用 h n 来模仿 即使 h n 等于的 采样值 设某 tha tha 一模拟滤波器的传输函数 则利用脉冲响应不变法得到的数字滤波器系统函 2 1 1 1 ss sHa 数 设采样周期 T 0 1s zH 10211 0 1 1 1 1 zeze 16 假设某模拟滤波器是一个高通滤波器 通过映射为数字滤波器 则所得 sHa 1 1 z z s zH 数字滤波器为 低通 滤波器 若是一个低通滤波器 则是一个 高通 滤波器 zH zH zH 二 判断题二 判断题 1 设计 IIR DF 时 必须借助于模拟滤波器的设计理论来设计 2 双线性变换可以克服频谱混叠 因为它是标准 Z 变换 3 双线性变换可以克服频谱混叠 其代价是频率变换的非线性 4 在双线性变换法中 不可以将关系直接代入来获取 1 1 1 12 z z T s sH zH 5 在脉冲响应不变法中 可以将关系直 ST ez 接代入来获取 sH zH 21 三 简答题三 简答题 1 设计数字滤波器的一般步骤 答 1 按照实际需要确定滤波器的性能指标 2 设法寻找一个因果稳定的系统函数 H z 使其频响满足这个性能指标 3 用适当的结构去实现上步得到的转移函数 H z 即得到符合要求的数字滤波器 2 设计 IIR 数字滤波器有哪几类方法 答 第一类方法 利用模拟滤波器的设计理论来设计数字滤波器 第二类方法 利用最优化设计方法 借助计算机进行设计 3 利用模拟滤波器的设计理论来设计数字滤波器的设计过程 4 把 H s 转换到 H z 是应遵循的两个基本目标是什么 答 第一 由于的频率响应是定义在 S 平面的虚轴上的 而 H z 的频响 sHa jHa j 是定义在 Z 平面的单位圆上 因而这个变换应使 S 平面的虚轴转换 j eH j e j 到 Z 平面的单位圆上 第二 如果是稳定的 则通过变换后 得到的 H z 仍然应该是稳定的 即要求 S 平 sHa 面的左半平面应该变换到 Z 平面的单位圆内 四 画图题四 画图题 1 请画出用双线性变换法设计 DF LP 和 DF HP 的设计流程图 2 ctg 原型设计 1 1 1 1 z z cS 2 ctg HP LP 1 原型设计 HP LP s 1 s 1 1 1 1 z z cs 五 计算题五 计算题 1 已知模拟系统函数 采样周期 T 0 25 s 试用脉冲响应不变法和双线性变 23 2 2 ss sHa 换法将以上模拟系统函数转换为数字系统函数 H z 并求解两种数字系统函数的频率响应 解 用脉冲响应不变法 15 0125 0 121 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 23 2 zezezeze zH ssss sH TT a DF LP 的 技术要求 AF LP 的 技术要求 HLP s HLP z DF HP 的 技术要求 AF HP 的 技术要求 AF LP 的 激素要求 HLP s HHP s HHP z 22 21 1 275 0 15 025 0 15 025 0 4724 0 3853 1 1 3445 0 1 2 zz z zezee zee 2 4724 0 3853 1 1 3445 0 jj j ez j ee e zHeH j 用双线性变换法 21 21 1 1 2 1 1 1 12 4212490 242 2 1 1 83 1 1 8 2 1 1 zz z z z z z sHzH z z T s a 21 21 4667 0 3778 1 1 0222 0 0444 0 0222 0 zz z 2 2 4667 0 3778 1 1 0222 0 0444 0 0222 0 jj jj ez j ee ee zHeH j 2 用双线性变换法设计一个三阶巴特沃兹数字低通滤波器 采样频率为 截止频率kHzfs2 1 为 Hzfc400 解 1 3 2 1200 1 4002 1 22 s ccc f fTf 2 预畸 3 2 3 2 2 2 T tg T tg T c c 3 将代入三阶巴特沃兹模拟低通传递函数c 1 32 2 32 2 32 1 122 1 2 2 3 3 2 3 s T s T s Tsss sH ccc a 4 双线性变换 1 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 12 1 1 z z z z z z sHzH z z T s a 321 321 357 373 373 357 331 33 zzz zzz 321 321 66 1 124 9 124 1566 15 196 5 588 15588 15196 5 zzz zzz 23 321 321 106 0 583 0 966 0 1 332 0 995 0 995 0 332 0 zzz zzz 3 设计一个数字高通滤波器 它的通带为 400 500 Hz 采样频率为 fs 1 kHz 通带截止频率为 fc 400 Hz 阻带内衰减在不小于 371 Hz 的频带内至少为 18 dB 采用巴特沃兹滤波器 由于混叠 效应 只能选择双线性变换法 预畸变 解 1 滤波器选型 根据题意可以选择巴特沃思滤波器 2 变换法选择 由于混叠效应 只能选择双线性变换法 3 根据高通变换 预畸变的模拟边界频率为 32492 0 25 2 cot 22 2 cot 22 cot 2 TTf f TT s c c c 4 10624 1 32492 0 2 1 s f 6498 0 21000 317 cot 22 2 cot 22 cot 2 TTf f TT s r r r 4 10249 3 6498 0 2 1 s f 4 确定巴特沃思滤波器的阶数 取 则 rscp 9821 2 3010 0 8976 0 32492 0 6498 0 1 110 110 1 1 110 110 1 3 0 8 1 1 0 1 0 g g g g N p s A A p s 取 N 3 能满足要求 三阶巴特沃思模拟低通滤波器原型为 3223 3 22 ccc c a sss sH 5 根据巴特沃思模拟低通滤波器原型 用双线性变换法求高通数字滤波器的系统函数 321 321 1 1 2 27732 0 1805 1 7577 1 1 0182 0 0546 0 0546 0 0182 0 1 1 zzz zzz sHzH z zT s a 第七章第七章 一 填空题一 填空题 24 1 IIR 系统的单位脉冲响应 无限长 流图结构中 有 反馈支路 2 FIR 系统的系统函数中分母因式为 1 流图结构中 没有 反馈支路 3 IIR 滤波器的流图结构中 有 反馈支路 所以称为 递归型 结构 4 FIR 滤波器的流程图结构中可以 没有 反馈支路 所以称为 非递归型 结构 5 无限长单位脉冲响应数字滤波器的基本结构有直接 I 型 典范型 级联型和 并联型 四种 6 FIR 数字滤波器的基本结构有直接型 和 级联型 而直接型也可称为 卷积型 7 运算结构不同 所需的存储单元及乘法次数不同 前者影响运算的 复杂性 后者影响运算的 速度 8 在 IIR 滤波器中的几种结构中 直接型 II 型或典范型 结构所用的延时器最少 级联型 结 构可以灵活控制零极点特性 并联型 结构量化误差累计最小 9 线性时不变数字滤波器的算法可以用 加法器 乘法器 和 延时器 这三个基本单元来描 述 10 已知系统函数为全通系统 若是的实零点 为的实极点 则 zH k z zH k p zH k z 应满足 k p k z1 k p 11 一般情况下 从结构流图上看 FIR 滤波器与 IIR 滤波器的结构最大不同在于 不存在反馈 12 已知一滤波器的结构如图所示 其系统函数为 21 1 851 21 zz z zH 1 x n y n 5 z 1 2 8 z 1 13 已知系统单位脉冲响应为 求其系统函数 7 3 nnnnh 73 1 zzzH 14 级联型数字滤波器的 H z 是各子系统的 乘积 而并联型数字滤波器的 H z 是各子 zHi 系统的 相加 zHi 15 用信号流图表示滤波器结构简洁但不直观 16 用方块图表示滤波器结构直观但不简洁 二 判断题二 判断题 1 FIR 滤波器的系统函数无分母因式 系统具有递归型结构 2 用