第八章：平面解析几何.doc

五年高考真题分类汇编 平面解析几何五年高考真题分类汇编 平面解析几何 一 选择题一 选择题 1 2013 湖南高考理 在等腰直角三角形 ABC 中 AB AC 4 点 P 是边 AB 上异于 A B 的一点 光线从点 P 出发 经 BC CA 反射后又回到点 P 如图 若光线 QR 经过 ABC 的重心 则 AP 等于 A 2 B 1 C D 8 3 4 3 解析 选 D 本小题主要考查对称性和解析法 考查转化化归 数形结合等数学思想 以 AB AC 所在直线分别为 x 轴 y 轴建立平面直角坐标系 则 A 0 0 B 4 0 C 0 4 得 ABC 的重心 D 设 AP x 从而 P x 0 x 0 4 由光的几何性质可知点 P 关于直线 4 3 4 3 BC AC 的对称点 P1 4 4 x P2 x 0 与 ABC 的重心 D共线 所以 4 3 4 3 4 3 4 3 x 求得 x 4 3 4 x 4 3 4 4 3 2 2013 福建高考理 双曲线 y2 1 的顶点到其渐近线的距离等于 x2 4 A B C D 2 5 4 5 2 5 5 4 5 5 解析 选 C 本题考查双曲线的图象与性质 点到直线的距离等基础知识 意在考查考 生的数形结合能力 转化和化归能力以及运算求解能力 双曲线 y2 1 的渐近线方程为 x2 4 y 即 x 2y 0 所以双曲线的顶点 2 0 到其渐近线距离为 x 2 2 5 2 5 5 3 2013 辽宁高考理 已知点 O 0 0 A 0 b B a a3 若 OAB 为直角三角形 则 必有 A b a3 B b a3 1 a C b a3 0 D b a3 0 b a3 1 a b a3 1 a 解析 选 C 本题主要考查斜率的定义 两条直线相互垂直的条件的应用 意在考查分 类讨论思想 若 A 为直角 则根据 A B 的纵坐标相等 可得 b a3 若 B 为直角 则由 kOBkAB 1 得 b a3 0 所以选 C 1 a 4 2013 安徽高考理 函数 y f x 的图象如图所示 在区间 a b 上可找到 n n 2 个不 同的数 x1 x2 xn 使得 则 n 的取值范围是 f x1 x1 f x2 x2 f xn xn A 3 4 B 2 3 4 C 3 4 5 D 2 3 解析 选 B 本题考查斜率公式 通过对问题的求解注意到数形是一个统一的整体 的几何意义是指曲线上存在 n 个点与坐标原点连线的斜率相等 即 f x1 x1 f x2 x2 f xn xn n 为过原点的直线与曲线的交点个数 由图可得 n 的取值为 2 3 4 故选 B 5 2013 浙江高考理 如图 F1 F2是椭圆 C1 y2 1 与双曲线 C2的公共焦点 x2 4 A B 分别是 C1 C2在第二 四象限的公共点 若四边形 AF1BF2为矩形 则 C2的离心率 是 A B C D 23 3 2 6 2 解析 选 D 本题考查椭圆 双曲线的定义 几何图形和标准方程 简单几何性质 考 查转化与化归思想 数形结合思想 函数与方程思想以及运算求解能力 设双曲线方程为 1 a 0 b 0 点 A 的坐标为 x0 y0 x2 a2 y2 b2 由题意得 a2 b2 3 c2 则 OA c 3 所以Error 解得 x y 又点 A 在双曲线上 代入 得 b2 a2 a2b2 联立 2 0 8 32 0 1 3 8 3 1 3 解得 a 所以 e 故选 D 2 c a 6 2 6 2013 重庆高考理 已知圆 C1 x 2 2 y 3 2 1 圆 C2 x 3 2 y 4 2 9 M N 分别是圆 C1 C2上的动点 P 为 x 轴上的动点 则 PM PN 的最小值为 A 5 4 B 1 C 6 2 D 217217 解析 选 A 本题考查与圆有关的最值问题 意在考查考生数形结合的能力 两圆的圆 心均在第一象限 先求 PC1 PC2 的最小值 作点 C1关于 x 轴的对称点 C 2 3 则 1 PC1 PC2 min CC2 5 所以 PM PN min 5 1 3 5 4 12 22 7 2013 新课标 高考理 已知双曲线 C 1 a 0 b 0 的离心率为 则 C x2 a2 y2 b2 5 2 的渐近线方程为 A y x B y x C y x D y x 1 4 1 3 1 2 解析 选 C 本题考查双曲线的标准方程和几何性质 意在考查考生对于双曲线的几何 性质的熟练掌握和运算求解能力 解题时 先根据双曲线的标准方程判断出双曲线的焦点 位置 再由双曲线的离心率的概念得到 a c 之间的关系 再根据双曲线中 a b c 之间的 关系转化为 a 与 b 之间的关系 从而求出其渐近线方程 因为双曲线 1 的焦点在 x2 a2 y2 b2 x 轴上 所以双曲线的渐近线方程为 y x 又离心率为 e b a c a a2 b2 a 1 b a 2 5 2 所以 所以双曲线的渐近线方程为 y x 选择 C b a 1 2 1 2 8 2013 新课标 高考理 已知椭圆 E 1 a b 0 的右焦点为 F 3 0 过点 F 的 x2 a2 y2 b2 直线交 E 于 A B 两点 若 AB 的中点坐标为 1 1 则 E 的方程为 A 1 B 1 C 1 D 1 x2 45 y2 36 x2 36 y2 27 x2 27 y2 18 x2 18 y2 9 解析 选 D 本题考查直线与椭圆的位置关系 斜率公式 焦点弦和中点弦问题 意在 考查考生通过解方程组求解弦的中点的能力 运用两点式得到直线的方程 代入椭圆方程 消去 y 由根与系数的关系得到 a b 之间的关系 并由 a b c 之间的关系确定椭圆方 程 因为直线 AB 过点 F 3 0 和点 1 1 所以直线 AB 的方程为 y x 3 代入椭圆 1 2 方程 1 消去 y 得x2 a2x a2 a2b2 0 所以 AB 的中点的横坐标为 x2 a2 y2 b2 a2 4 b2 3 2 9 4 1 即 a2 2b2 又 a2 b2 c2 所以 b c 3 选择 D 3 2a2 2 a2 4 b2 9 2013 新课标 高考理 设抛物线 C y2 2px p 0 的焦点为 F 点 M 在 C 上 MF 5 若以 MF 为直径的圆过点 0 2 则 C 的方程为 A y2 4x 或 y2 8x B y2 2x 或 y2 8x C y2 4x 或 y2 16x D y2 2x 或 y2 16x 解析 选 C 本题考查抛物线与圆的有关知识 意在考查考生综合运用知识的能力 由已知得抛物线的焦点 F 设点 A 0 2 抛物线上点 M x0 y0 则 p 2 0 AF AM 由已知得 AF AM 0 即 p 2 2 y2 0 2p y0 2 y 8y0 16 0 因而 y0 4 M 由 MF 5 得 5 又 p 0 解得 2 0 8 p 4 8 p p 2 2 16 p 2 或 p 8 故选 C 10 2013 新课标 高考理 已知点 A 1 0 B 1 0 C 0 1 直线 y ax b a 0 将 ABC 分割为面积相等的两部分 则 b 的取值范围是 A 0 1 B C D 1 2 2 1 2 1 2 2 1 3 1 3 1 2 解析 选 B 本题考查直线与方程 三角形面积的求解等基础知识和方法 考查一般与 特殊的思想 考查考生分析问题 解决问题的能力 由Error 消去 x 得 y 当 a 0 时 直线 y ax b 与 x 轴交于点 结合图形 a b a 1 b a 0 知 化简得 a b 2 a a 1 则 a 1 2 a b a 1 1 b a 1 2 b2 1 2b a 0 0 解得 b b2 1 2b 1 2 考虑极限位置 即 a 0 此时易得 b 1 故答案为 B 2 2 11 2013 北京高考理 若双曲线 1 的离心率为 则其渐近线方程为 x2 a2 y2 b23 A y 2x B y x C y x D y x 2 1 2 2 2 解析 选 B 本题考查双曲线的方程和简单几何性质 意在考查考生的运算求解能 力 在双曲线中离心率 e 可得 故所求的双曲线的渐近线方程 c a 1 b a 23 b a2 是 y x 2 12 2013 北京高考理 直线 l 过抛物线 C x2 4y 的焦点且与 y 轴垂直 则 l 与 C 所围 成的图形的面积等于 A B 2 C D 4 3 8 3 16 2 3 解析 选 C 本题考查抛物线的几何性质 定积分的几何意义 微积分基本定理等基础 知识 考查数形结合思想以及考生的运算求解能力 由题意知抛物线的焦点坐标为 0 1 故直线 l 的方程为 y 1 该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为 2 1 根据对称性和定 积分的几何意义可得所求的面积是 2dx 2 2 0 1 x2 4 x x3 12 2 0 8 3 13 2013 江西高考理 过点 0 引直线 l 与曲线 y 相交于 A B 两点 O 为 21 x2 坐标原点 当 AOB 的面积取最大值时 直线 l 的斜率等于 A B C D 3 3 3 3 3 33 解析 选 B 本题考查圆的标准方程 直线与圆的位置关系 意在考查考生的数形结合 的数学思想及运算能力 由 y 得 x2 y2 1 y 0 即该曲线表示圆心在原点 半 1 x2 径为 1 的半圆 如图所示 故 S AOB OA OB sin AOB sin AOB 所以当 sin AOB 1 即 OA OB 时 S 1 2 1 2 AOB取得最大值 此时点 O 到直线 l 的距离 d OA sin 45 设此时直线 l 的斜率为 k 2 2 则方程为 y k x 即 kx y k 0 则有 解得 k 由图可知 22 2 2 0 0 2k k2 1 3 3 直线 l 的倾斜角为钝角 故取 k 3 3 14 2013 广东高考理 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F 3 0 离心率等于 3 2 则 C 的方程是 A 1 B 1 C 1 D 1 x2 4 y2 5 x2 4 y2 5 x2 2 y2 5 x2 2 y2 5 解析 选 B 本题考查双曲线的方程 考查考生的运算能力 由题意可知 c 3 a 2 b 故双曲线的方程为 1 c2 a232 225 x2 4 y2 5 15 2013 山东高考理 过点 3 1 作圆 x 1 2 y2 1 的两条切线 切点分别为 A B 则 直线 AB 的方程为 A 2x y 3 0 B 2x y 3 0 C 4x y 3 0 D 4x y 3 0 解析 选 A 本题考查直线与圆的位置关系 直线方程等基础知识和基本方法 考查数形 结合思想 一般与特殊思想 等价转化思想等数学思想方法 考查运算求解能力 考查分 析问题和解决问题的能力 根据平面几何知识 直线 AB 一定与点 3 1 1 0 的连线垂直 这两点连线的斜率为 故直线 AB 的斜率一定是 2 只有选项 A 中直线的斜率为 2 1 2 16 2013 山东高考理 抛物线 C1 y x2 p 0 的焦点与双曲线 C2 y2 1 的右焦 1 2p x2 3 点的连线交 C1于第一象限的点 M 若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线 则 p A B C D 3 16 3 8 2 3 3 4 3 3 解析 选 D 本题考查抛物线方程 双曲线的几何性质 直线方程 导数的几何意义等 基础知识 考查方程思想 考查运算求解能力和逻辑推理能力 考查综合运用知识分析问 题和解决问题的能力 抛物线的焦点坐标为 双曲线的右焦点坐标为 2 0 所以上述 0 p 2 两点连线的方程为 1 双曲线的渐近线方程为 y x 对函数 y x2求导得 y x 2 2y p 3 3 1 2p x 设 M x0 y0 则 x0 即 x0 p 代入抛物线方程得 y0 p 由于点 M 在直线 1 p 1 p 3 3 3 3 1 6 x 2 1 上 所以p 1 解得 p 2y p 3 6 2 p p 6 4 3 4 3 3 17 2013 大纲卷高考理 椭圆 C 1 的左 右顶点分别为 A1 A2 点 P 在 C 上 x2 4 y2 3 且直线 PA2斜率的取值范围是 2 1 那么直线 PA1斜率的取值范围是 A B C D 1 2 3 4 3 8 3 4 1 2 1 3 4 1 解析 选 B 本题考查椭圆的定义和不等式的性质 由题意知点 P 在第一象限 设 P 点 横坐标为 x 则纵坐标为 y 由 PA2的斜率得 1 2 即 3 24 x2 3 2 2 x 2 x 2 3 PA1的斜率为 所以 PA1的斜率取值范围为 故选 B 2 x 2 x 4 3 3 2 2 x 2 x 3 8 3 4 18 2013 大纲卷高考理 已知抛物线 C y2 8x 与点 M 2 2 过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A B 两点 若 MA MB 0 则 k A B C D 2 1 2 2 22 解析 选 D 本题考查直线与抛物线的位置关系及平面向量的数量积等知识 设 A x1 y1 B x2 y2 直线方程为 y k x 2 将直线方程与 y2 8x 联立组成方程组 解 得 x1x2 4 x1 x2 由 MA MB 0 即 x1 2 y1 2 x2 2 y2 2 0 求得关于 k 4k2 8 k2 的二次方程为 k2 4k 4 0 解得 k 2 故选 D 19 2013 湖北高考理 已知 0 则双曲线 C1 1 与 C2 4 x2 cos2 y2 sin2 y2 sin2 1 的 x2 sin2 tan2 A 实轴长相等 B 虚轴长相等 C 焦距相等 D 离心率相等 解析 选 D 本题考查三角函数 双曲线等知识 意在考查考生对双曲线知识的掌握情 况 会求实轴 虚轴 焦距和离心率的值 掌握三角函数的重要公式是求解本题的基 础 双曲线 C1的离心率 e1 双曲线 C2的离心率 c1 a1 a2 1 b2 1 a2 1 cos2 sin2 cos2 1 cos e2 所以 e1 e2 而 c2 a2 a2 2 b2 2 a2 2 sin2 sin2 tan2 sin2 1 tan2 1 sin2 cos2 1 cos 双曲线 C1的实轴长为 2a1 2cos 虚轴长为 2b1 2sin 焦距为 2c1 2 2 双 a2 1 b2 1 曲线 C2的实轴长为 2a2 2sin 虚轴长为 2b2 2sin sin 焦距为 2c2 2 a2 2 b2 2 2 2tan 所以 A B C 均不对 故选 D sin2 sin2 tan2 20 2013 四川高考理 抛物线 y2 4x 的焦点到双曲线 x2 1 的渐近线的距离是 y2 3 A B C 1 D 1 2 3 23 解析 选 B 本题考查抛物线的焦点 双曲线的渐近线及点到直线的距离公式 意在考 查考生的基本运算能力 因为抛物线的焦点坐标为 1 0 而双曲线的渐近线方程为 y x 所以所求距离为 故选 B 3 3 2 21 2013 天津高考理 已知双曲线 1 a 0 b 0 的两条渐近线与抛物线 x2 a2 y2 b2 y2 2px p 0 的准线分别交于 A B 两点 O 为坐标原点 若双曲线的离心率为 2 AOB 的面积为 则 p 3 A 1 B C 2 D 3 3 2 解析 选 C 本题考查双曲线 抛物线的几何性质 意在考查考生等价转化的能力 因 为双曲线的离心率 e 2 所以 b a 所以双曲线的渐近线方程为 y x x 与 c a3 b a3 抛物线的准线 x 相交于 A B 所以 AOB 的面积为 p 2 p 2 3 2 p p 2 3 2 p p 又 p 0 所以 p 2 1 2 p 233 22 2013 北京高考文 双曲线 x2 1 的离心率大于的充分必要条件是 y2 m2 A m B m 1 C m 1 D m 2 1 2 解析 选 C 本题主要考查双曲线的几何性质 意在考查考生的运算求解能力 依题意 e e2 2 得 1 m 2 所以 m 1 选 C c a c2 a2 23 2013 重庆高考文 设 P 是圆 x 3 2 y 1 2 4 上的动点 Q 是直线 x 3 上的 动点 则 PQ 的最小值为 A 6 B 4 C 3 D 2 解析 选 B 本题主要考查直线与圆的相关内容 PQ 的最小值为圆心到直线的距离减 去半径 因为圆的圆心为 3 1 半径为 2 所以 PQ 的最小值 d 3 3 2 4 24 2013 重庆高考文 设双曲线 C 的中心为点 O 若有且只有一对相交于点 O 所成 的角为 60 的直线 A1B1和 A2B2 使 A1B1 A2B2 其中 A1 B1和 A2 B2分别是这对直线与 双曲线 C 的交点 则该双曲线的离心率的取值范围是 A 2 B 2 C D 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 解析 选 A 本题主要考查双曲线的离心率 直线与曲线的位置关系 不等式的性 质 设双曲线的焦点在 x 轴上 则由题意知该双曲线的一条渐近线的斜率 k k 0 必须满足 k 易知 k 所以 2 3 1 2 4 即有 2 又双曲线的 3 33 b a 1 3 b a 4 3 b a 2 3 3 1 b a 2 离心率为 e 所以b 0 由 x2 a2 y2 b2 题可得 A B 因 AB 3 即 2b2 3a 所以Error 解得 1 b2 a 1 b2 a b2 a b2 a 2b2 a Error 所以 C 的方程为 1 x2 4 y2 3 28 2013 大纲卷高考文 已知抛物线 C y2 8x 与点 M 2 2 过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A B 两点 若 MA MB 0 则 k A B C D 2 1 2 2 22 解析 选 D 本题主要考查抛物线的定义 几何性质 平面向量的垂直关系 以及考查 数形结合的思想 转化的思想 如图所示 设 F 为焦点 取 AB 中点 P 过 A B 分别作准 线的垂线 垂足分别为 G H 连接 MF MP 由 MA MB 0 知 MA MB 则 MP AB AG BH 所以 MP 为直角梯形 BHGA 的中位线 所以 MP AG BH 1 2 1 2 所以 GAM AMP MAP 又 AG AF AM 为公共边 所以 AMG AMF 所以 AFM AGM 90 则 MF AB 所以 k 2 1 kMF 29 2013 福建高考文 双曲线 x2 y2 1 的顶点到其渐近线的距离等于 A B C 1 D 1 2 2 22 解析 选 B 本题主要考查双曲线的图像与性质以及点到直线的距离等基础知识 意在 考查考生的数形结合能力 转化和化归能力 运算求解能力 双曲线 x2 y3 1 的渐近线 为 x y 0 顶点坐标为 1 0 故顶点到渐近线的距离为 2 2 30 2013 新课标 高考文 设椭圆 C 1 a b 0 的左 右焦点分别为 x2 a2 y2 b2 F1 F2 P 是 C 上的点 PF2 F1F2 PF1F2 30 则 C 的离心率为 A B C D 3 6 1 3 1 2 3 3 解析 选 D 本题主要考查椭圆离心率的计算 涉及椭圆的定义 方程与几何性质等知 识 意在考查考生的运算求解能力 法一 由题意可设 PF2 m 结合条件可知 PF1 2m F1F2 m 故离心率 e 3 c a 2c 2a F1F2 PF1 PF2 3m 2m m 3 3 法二 由 PF2 F1F2可知 P 点的横坐标为 c 将 x c 代入椭圆方程可解得 y 所以 b2 a PF2 又由 PF1F2 30 可得 F1F2 PF2 故 2c 变形可得 a2 c2 b2 a33 b2 a3 2ac 等式两边同除以 a2 得 1 e2 2e 解得 e 或 e 舍去 3 3 33 31 2013 新课标 高考文 设抛物线 C y2 4x 的焦点为 F 直线 l 过 F 且与 C 交于 A B 两点 若 AF 3 BF 则 l 的方程为 A y x 1 或 y x 1 B y x 1 或 y x 1 3 3 3 3 C y x 1 或 y x 1 33 D y x 1 或 y x 1 2 2 2 2 解析 选 C 本题主要考查抛物线的几何性质 直线与抛物线的位置关系等知识 意在 考查考生的运算求解能力及对知识综合应用的能力 法一 如图所示 作出抛物线的准线 l1及点 A B 到准线的垂线段 AA1 BB1 并设直线 l 交准线于点 M 设 BF m 由抛物线的定义可知 BB1 m AA1 AF 3m 由 BB1 AA1可 知 即 所以 MB 2m 则 MA 6m 故 AMA1 30 得 BB1 AA1 MB MA m 3m MB MB 4m AFx MAA1 60 结合选项知选 C 项 法二 由 AF 3 BF 可知 AF 3FB 易知 F 1 0 设 B x0 y0 则Error 从而可解 得 A 的坐标为 4 3x0 3y0 因为点 A B 都在抛物线上 所以Error 解得 x0 y0 1 3 所以 kl 2 3 y0 0 x0 13 32 2013 浙江高考文 如图 F1 F2是椭圆 C1 y2 1 与双曲线 C2的公共焦点 x2 4 A B 分别是 C1 C2在第二 四象限的公共点 若四边形 AF1BF2为矩形 则 C2的离心率 是 A B C D 23 3 2 6 2 解析 选 D 本题主要考查椭圆与双曲线的定义 几何性质等基础知识 意在考查考生 对基础知识的掌握情况 以及基本的运算和求解能力 由椭圆与双曲线的定义可知 AF2 AF1 4 AF2 AF1 2a 其中 2a 为双曲线的长轴长 AF2 a 2 AF1 2 a 又四边形 AF1BF2是矩形 AF1 2 AF2 2 F1F2 2 2 2 3 a e 2 3 2 6 2 33 2013 新课标 高考文 已知双曲线 C 1 a 0 b 0 的离心率为 则 C x2 a2 y2 b2 5 2 的渐近线方程为 A y x B y x C y x D y x 1 4 1 3 1 2 解析 选 C 本题主要考查双曲线的离心率 渐近线方程等基本知识 e2 c2 a2 a2 b2 a2 1 y x b2 a2 5 4 b2 a2 1 4 b a 1 2 1 2 34 2013 新课标 高考文 O 为坐标原点 F 为抛物线 C y2 4x 的焦点 P 为 C 上 2 一点 若 PF 4 则 POF 的面积为 2 A 2 B 2 C 2 D 4 23 解析 选 C 本题主要考查抛物线的定义 数形结合思想以及运算能力 由题意知抛物 线的焦点 F 0 如图 由抛物线定义知 PF PM 又 PF 4 所以 xP 3 代入 222 抛物线方程求得 yP 2 所以 S POF OF yP 2 6 1 23 35 2013 天津高考文 已知过点 P 2 2 的直线与圆 x 1 2 y2 5 相切 且与直线 ax y 1 0 垂直 则 a A B 1 C 2 D 1 2 1 2 解析 选 C 本题主要考查直线与圆的位置关系 考查平面上两条直线垂直的条件 意 在考查考生的等价转化能力 由切线与直线 ax y 1 0 垂直 得过点 P 2 2 与圆心 1 0 的直线与直线 ax y 1 0 平行 所以 a 解得 a 2 2 0 2 1 36 2013 湖北高考文 已知 0 b 0 的离心率为 双曲线 x2 y2 1 x2 a2 y2 b2 3 2 的渐近线与椭圆 C 有四个交点 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16 则椭圆 C 的 方程为 A 1 B 1 x2 8 y2 2 x2 12 y2 6 C 1 D 1 x2 16 y2 4 x2 20 y2 5 解析 选 D 因为椭圆的离心率为 所以 e c2 a2 c2 a2 a2 b2 所 3 2 c a 3 2 3 4 3 4 以 b2 a2 即 a2 4b2 双曲线的渐近线方程为 y x 代入椭圆方程得 1 即 1 4 x2 a2 x2 b2 1 所以 x2 b2 x b y2 b2 y b 则在第一象限双曲线的渐 x2 4b2 x2 b2 5x2 4b2 4 5 2 5 4 5 2 5 近线与椭圆 C 的交点坐标为 b b 所以四边形的面积为 4 b b b2 16 2 5 2 5 2 5 2 5 16 5 所以 b2 5 所以椭圆方程为 1 x2 20 y2 5 48 2012 四川高考理 已知抛物线关于 x 轴对称 它的顶点在坐标原点 O 并且经过点 M 2 y0 若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 则 OM A 2 B 2 C 4 D 2 235 解析 选 B 依题意 设抛物线方程是 y2 2px p 0 则有 2 3 得 p 2 故抛物 p 2 线方程是 y2 4x 点 M 的坐标是 2 2 OM 2 222 83 49 2012 陕西高考理 已知圆 C x2 y2 4x 0 l 是过点 P 3 0 的直线 则 A l 与 C 相交 B l 与 C 相切 C l 与 C 相离 D 以上三个选项均有可能 解析 选 A 把点 3 0 代入圆的方程的左侧得 32 0 4 3 30 则有 2 3 得 p 2 故抛物 p 2 线方程是 y2 4x 点 M 的坐标是 2 2 OM 2 222 83 63 2012 辽宁高考文 将圆 x2 y2 2x 4y 1 0 平分的直线是 A x y 1 0 B x y 3 0 C x y 1 0 D x y 3 0 解析 选 C 要使直线平分圆 只要直线经过圆的圆心即可 圆心坐标为 1 2 A B C D 四个选项中 只有 C 选项中的直线经过圆心 64 2012 辽宁高考文 已知 P Q 为抛物线 x2 2y 上两点 点 P Q 的横坐标分别为 4 2 过 P Q 分别作抛物线的切线 两切线交于点 A 则点 A 的纵坐标为 A 1 B 3 C 4 D 8 解析 选 C 因为 P Q 两点的横坐标分别为 4 2 且 P Q 两点都在抛物线 y x2 1 2 上 所以 P 4 8 Q 2 2 因为 y x 所以 kPA 4 kQA 2 则直线 PA QA 的方程 联立得Error 即Error 可得 A 点坐标为 1 4 65 2012 山东高考文 圆 x 2 2 y2 4 与圆 x 2 2 y 1 2 9 的位置关系为 A 内切 B 相交 C 外切 D 相离 解析 选 B 两圆的圆心距离为 两圆的半径之差为 1 之和为 5 而 1 0 b 0 的离心率为 2 若抛物线 x2 a2 y2 b2 C2 x2 2py p 0 的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2 则抛物线 C2的方程为 A x2 y B x2 y C x2 8y D x2 16y 8 3 3 16 3 3 解析 选 D 双曲线的渐近线方程为 y x 由于 2 所以 b a c a a2 b2 a2 1 b a 2 b a 所以双曲线的渐近线方程为 y x 抛物线的焦点坐标为 0 所以 2 所以 33 p 2 p 2 2 p 8 所以抛物线方程为 x2 16y 67 2012 福建高考文 直线 x y 2 0 与圆 x2 y2 4 相交于 A B 两点 则弦 AB 3 的长度等于 A 2 B 2 C D 1 533 解析 选 B 圆心 0 0 到直线 x y 2 0 的距离为 1 所以 AB 2 2 34 13 68 2012 福建高考文 已知双曲线 1 的右焦点为 3 0 则该双曲线的离心率等 x2 a2 y2 5 于 A B C D 3 14 14 3 2 4 3 2 4 3 解析 选 C 由题意知 c 3 故 a2 5 9 解得 a 2 故该双曲线的离心率 e c a 3 2 69 2012 安徽高考文 若直线 x y 1 0 与圆 x a 2 y2 2 有公共点 则实数 a 的取 值范围是 A 3 1 B 1 3 C 3 1 D 3 1 解析 选 C 欲使直线 x y 1 0 与圆 x a 2 y2 2 有公共点 只需使圆心到直线的 距离小于等于圆的半径即可 即 化简得 a 1 2 解得 3 a 1 2 a 0 1 12 1 22 70 2012 湖南高考文 已知双曲线 C 1 的焦距为 10 点 P 2 1 在 C 的渐近线 x2 a2 y2 b2 上 则 C 的方程为 A 1 B 1 C 1 D 1 x2 20 y2 5 x2 5 y2 20 x2 80 y2 20 x2 20 y2 80 解析 选 A 点 P 2 1 在曲线 C 的渐近线 y x 上 1 a 2b 又 b a 2b aa2 b2 5 即 4b2 b2 25 b2 5 a2 20 10 2 71 2012 大纲卷高考文 椭圆的中心在原点 焦距为 4 一条准线为 x 4 则该椭圆 的方程为 A 1 B 1 C 1 D 1 x2 16 y2 12 x2 12 y2 8 x2 8 y2 4 x2 12 y2 4 解析 选 C 由题意知 4 c 2 所以 a2 8 所以椭圆方程为 1 a2 c x2 8 y2 4 72 2012 大纲卷高考文 已知 F1 F2为双曲线 C x2 y2 2 的左 右焦点 点 P 在 C 上 PF1 2 PF2 则 cos F1PF2 A B C D 1 4 3 5 3 4 4 5 解析 选 C 因为 PF1 PF2 2 且 PF1 2 PF2 所以 PF1 4 PF2 2 而 222 F1F2 4 由余弦定理得 cos F1PF2 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2 PF1 PF2 3 4 73 2012 新课标高考文 设 F1 F2是椭圆 E 1 a b 0 的左 右焦点 P 为直 x2 a2 y2 b2 线 x 上一点 F2PF1是底角为 30 的等腰三角形 则 E 的离心率为 3a 2 A B C D 1 2 2 3 3 4 4 5 解析 选 C 由题意可得 PF2 F1F2 2 a c 2c 3a 4c e 3 2 3 4 74 2012 新课标高考文 等轴双曲线 C 的中心在原点 焦点在 x 轴上 C 与抛物线 y2 16x 的准线交于 A B 两点 AB 4 则 C 的实轴长为 3 A B 2 C 4 D 8 22 解析 选 C 抛物线 y2 16x 的准线方程是 x 4 所以点 A 4 2 在等轴双曲线 3 C x2 y2 a2 a 0 上 将点 A 的坐标代入得 a 2 所以 C 的实轴长为 4 75 2012 重庆高考文 设 A B 为直线 y x 与圆 x2 y2 1 的两个交点 则 AB A 1 B C D 2 23 解析 选 D 因为直线 y x 过圆 x2 y2 1 的圆心 0 0 所以所得弦长 AB 2 76 2011 新课标高考 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点 且与 C 的一条对称轴垂直 l 与 C 交于 A B 两点 AB 为 C 的实轴长的 2 倍 则 C 的离心率为 A B C 2 D 3 23 解析 选 B 设双曲线 C 的方程为 1 焦点 F c 0 将 x c 代入 1 x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 可得 y2 所以 AB 2 2 2a b2 2a2 c2 a2 b2 3a2 e b4 a2 b2 a c a3 77 2011 大纲卷高考 已知抛物线 C y2 4x 的焦点为 F 直线 y 2x 4 与 C 交于 A B 两点 则 cos AFB A B C D 4 5 3 5 3 5 4 5 解析 选 D 设点 A x1 y1 B x2 y2 由题意得点 F 1 0 由Error 消去 y 得 x2 5x 4 0 x 1 或 x 4 因此点 A 1 2 B 4 4 FA 0 2 FB 3 4 cos AFB 选 D FA FB FA FB 0 3 2 4 2 5 4 5 78 2011 江西高考 若曲线 C1 x2 y2 2x 0 与曲线 C2 y y mx m 0 有四个不同 的交点 则实数 m 的取值范围是 A B 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 C D 3 3 3 3 3 3 3 3 解析 选 B 整理曲线 C1方程得 x 1 2 y2 1 知曲线 C1为以点 C1 1 0 为圆心 以 1 为半径的圆 曲线 C2则表示两条直线 即 x 轴与直线 l y m x 1 显然 x 轴与圆 C1有两个交点 知直线 l 与 x 轴相交 故有圆心 C1到直线 l 的距离 d 0 b 0 的两条渐近线均和圆 x2 a2 y2 b2 C x2 y2 6x 5 0 相切 且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心 则该双曲线的方程为 A 1 B 1 C 1 D 1 x2 5 y2 4 x2 4 y2 5 x2 3 y2 6 x2 6 y2 3 解析 选 A 圆心的坐标是 3 0 圆的半径是 2 双曲线的渐近线方程是 bx ay 0 根 据已知得 2 即 2 解得 b 2 则 a2 5 故所求的双曲线方程是 1 3b a2 b2 3b 3 x2 5 y2 4 82 2011 四川高考 在抛物线 y x2 ax 5 a 0 上取横坐标为 x1 4 x2 2 的两点 过这两点引一条割线 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2 5y2 36 相切 则抛物线顶点的坐标为 A 2 9 B 0 5 C 2 9 D 1 6 解析 选 A 由已知 抛物线经过 4 11 4a 和 2 2a 1 两点 过这两点的割线的斜 率为 k a 2 于是 平行于该割线的直线方程为 y a 2 x b 该直线 2a 1 11 4a 2 4 与圆相切 所以 该直线又与抛物线相切 于是 a 2 x b x2 ax 5 有 b2 1 a 2 2 36 5 等根 即 x2 2x 5 b 0 的 0 b 6 代入 注意到 a 0 得 a 4 b2 1 a 2 2 36 5 所以抛物线的方程为 y x2 4x 5 x 2 2 9 顶点坐标为 2 9 83 2011 湖南高考 设双曲线 1 a 0 的渐近线方程为 3x 2y 0 则 a 的值为 x2 a2 y2 9 A 4 B 3 C 2 D 1 解析 选 C 双曲线方程 1 的渐近线方程为 3x ay 0 与已知方程比较系数得 x2 a2 y2 9 a 2 84 2011 重庆高考 在圆 x2 y2 2x 6y 0 内 过点 E 0 1 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD 则四边形 ABCD 的面积为 A 5 B 10 C 15 D 20 2222 解析 选 B 由题意可知 圆的圆心坐标是 1 3 半径是 且点 E 0 1 位于该圆内 10 故过点 E 0 1 的最短弦长 BD 2 2 注 过圆内一定点的最短弦是以该点 10 12 22 5 为中点的弦 过点 E 0 1 的最长弦长等于该圆的直径 即 AC 2 且 AC BD 因此 10 四边形 ABCD 的面积等于 AC BD 2 2 10 选 B 1 2 1 21052 85 2011 福建高考 设圆锥曲线 T 的两个焦点分别为 F1 F2 若曲线 T 上存在点 P 满足 PF1 F1F2 PF2 4 3 2 则曲线 T 的离心率等于 A 或 B 或 2 C 或 2 D 或 1 2 3 2 2 3 1 2 2 3 3 2 解析 选 A 设圆锥曲线的离心率为 e 因 PF1 F1F2 PF2 4 3 2 则 若圆锥曲 线为椭圆 由椭圆的定义 则有 e 若圆锥曲线为双曲线 由双 F1F2 PF1 PF2 3 4 2 1 2 曲线的定义 则有 e 综上 所求的离心率为 或 故选 A F1F2 PF1 PF2 3 4 2 3 2 1 2 3 2 86 2011 湖北高考 将两个顶点在拋物线 y2 2px p 0 上 另一个顶点是此拋物线焦 点的正三角形个数记为 n 则 A n 0 B n 1 C n 2 D n 3 解析 选 C 结合图象可知 过焦点斜率为和 的直线与拋物线各有两个交点 所 3 3 3 3 以能够构成两组正三角形 本题也可以利用代数的方法求解 但显得有些麻烦 87 2011 浙江高考 已知椭圆 C1 1 a b 0 与双曲线 C2 x2 1 有公共 x2 a2 y2 b2 y2 4 的焦点 C2的一条渐近线与以 C1的长轴为直径的圆相交于 A B 两点 若 C1恰好将线段 AB 三等分 则 A a2 B a2 13 C b2 D b2 2 13 2 1 2 解析 选 C 对于直线与椭圆 圆的关系 如图所示 设直线 AB 与椭圆 C1的一个交点为 C 靠近 A 的交点 则 OC a 3 因 tan COx 2 sin COx 2 5 cos COx 1 5 则 C 的坐标为 a 3 5 2a 3 5 代入椭圆方程得 1 a2 11b2 5 a2 b2 b2 a2 45a2 4a2 45b2 1 2 88 2011 陕西高考 设拋物线的顶点在原点 准线方程为 x 2 则拋物线的方程是 A y2 8x B y2 8x C y2 4x D y2 4x 解析 选 B 由准线方程 x 2 可知拋物线为焦点在 x 轴正半轴上的标准方程 同 时得 p 4 所以标准方程为 y2 2px 8x 答案为 B 89 2011 辽宁高考 已知 F 是拋物线 y2 x 的焦点 A B 是该拋物线上的两点 AF BF 3 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 A B 1 C D 3 4 5 4 7 4 解析 选 C 根据拋物线定义与梯形中位线定理 得线段 AB 中点到 y 轴的距离为 AF BF 1 2 1 4 3 2 1 4 5 4 90 2010 陕西高考文 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆 x 3 2 y2 16 相切 则p的值为 A B 1 C 2 D 4 1 2 解析 选 C 法一法一 抛物线y2 2px p 0 的准线方程为 因为抛物线 2 p x y2 2px p 0 的准线与圆 x 3 2 y2 16 相切 所以 2 4 2 3 p p 法二法二 作图可知 抛物线y2 2px p 0 的准线与圆 x 3 2 y2 16 相切与点 1 0 所以 2 1 2 p p 91 2010 辽宁高考文 设双曲线的一个焦点为 虚轴的一个端点为 如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 FB A B C D 23 31 2 51 2 解析 选 D 不妨设双曲线的焦点在轴上 设其方程为 则x 22 22 1 0 0 xy ab ab 一个焦点为 一条渐近线斜率为 直线的斜率为 0 0 F cBb b a FB b c 解得 1 bb ac 2 bac 22 0caac 51 2 c e a 92 2010 辽宁高考理 设双曲线的 个焦点为 F 虚轴的 个端点为 B 如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A B C D 23 31 2 51 2 解析 选 D 设双曲线方程为 则 F c 0 B 0 b 直线 22 22 1 0 0 xy ab ab FB bx cy bc 0 与渐近线 y 垂直 所以 即 b2 ac 所以 c2 a2 ac 即 e2 e b x a 1 b b c a A 1 0 所以或 舍去 15 2 e 15 2 e 93 2010 四川高考理 椭圆的右焦点 其右准线与轴的交 22 22 1 xy ab ab Fx 点为 A 在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 则椭圆离心率的取值范围F 是 A B C D 2 0 2 1 0 2 2 1 1 1 1 2 解析 选 D 由题意 椭圆上存在点 P 使得线段 AP 的垂直平分线过点 即 F 点到F P 点与 A 点的距离相等 而 FA PF a c a c 于是 22 ab c cc a c a c 即 ac c2 b2 ac c2 2 b c 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 w w w k s 5 u c o m 又 e 0 1 故 e 1 1 2 94 2010 天津高考理 已知双曲线的一条渐近线方程是 y 22 22 1 0 0 xy ab ab 它的一个焦点在抛物线的准线上 则双曲线的方程为 3x 2 24yx A B 22 1 36108 xy 22 1 927 xy C D 22 1 10836 xy 22 1 279 xy 解析 选 B 依题意知 所以双曲线的方程为 22 222 3 69 27 b a cab ca b 22 1 927 xy 95 2010 福建高考文 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点 点 P 为 22 1 43 xy 椭圆上的任意一点 则的最大值为 OP FP A A 2 B 3 C 6 D 8 解析 选 C 由题意 F 1 0 设点 P 则有 解得 00 xy 22 00 1 43 xy 2 2 0 0 3 1 4 x y 因为 所以 00 1 FPxy 00 OPxy 2 000 1 OP FPx xy 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 00 1 OP FPx x 2 0 3 1 4 x 2 0 0 3 4 x x 因为 所以当时 取得最大值 选 C 0 2x 0 22x 0 2x OP FP 2 2 236 4 96 2010 湖北高考理 若直线 y x b 与曲线有公共点 则 b 的取值范 2 34yxx 围是 A B 1 12 2 1 2 2 12 2 C D 1 2 2 3 12 3 解析 选 C 曲线方程可化简为 即表示圆心为 22 2 3 4 13 xyy 2 3 半径为 2 的半圆 依据数形结合 当直线与此半圆相切时须满足圆心yxb 2 3 到直线 y x b 距离等于 2 解得 因为是下半圆故可得12 212 2bb 或 舍 当直线过 0 3 时 解得 b 3 故所以 C 正确 12 2b 12 23 b 97 2010 福建高考理 若点 O 和点分别是双曲线的中心和左 2 0 F 2 2 2 1 a 0 a x y 焦点 点 P 为双曲线右支上的任意一点 则的取值范围为 OP FP A B C D 3 2 3 32 3 7 4 7 4 解析 选 B 因为是已知双曲线的左焦点 所以 即 所以 2 0 F 2 14a 2 3a 双曲线方程为 设点 P 则有 解得 2 2 1 3 x y 00 xy 2 2 0 00 1 3 3 x yx 因为 所以 2 2 0 00 1 3 3 x yx 00 2 FPxy 00 OPxy 此二次函数对应的抛 2 000 2 OP FPx xy 00 2 x x 2 0 1 3 x 2 0 0 4 21 3 x x 物线的对称轴为 因为 所以当时 取得最小值 0 3 4 x 0 3x 0 3x OP FP 故的取值范围是 选 B 4 32 31 3 32 3 OP FP 32 3 98 2010 重庆高考理 若直线与曲线 有两个不yxb 2cos sin x y 0 2 同的公共点 则实数的取值范围为 b A B 22 1 22 22 C D 22 22 22