现代数值计算方法实验一.doc

实验报告实验一线性方程组迭代法实验 班级：15软件本 学号：38381115117 姓名：张宏 一、实验目的1、通过本实验学习线性方程组的迭代解法。掌握高斯 - 赛德尔迭代法、雅可比迭代法、 SOR 迭代法的编程与应用，对比分析在不同条件下三种迭代法的收敛情况并得出一般结论。2、 培养编程与上机调试能力。二、实验题目1、迭代法的收敛速度实验题目：用迭代法分别对n=20， n=200 解方程组 Ax=b 其中4-1/3-1/5-1/34-1/3-1/5-1/5-1/34-1/3-1/5A=.-1/5-1/34-1/3-1/5-1/34n * n（1）选取不同的初值x 0 和不同的右端向量 b，给定迭代误差，用两种迭代法计算，观测得到的迭代向量并分析计算结果给出结论；（2）取定初值 x 和右端向量 b，给定迭代误差，将 A 的主对角元成倍放大，0其余元素不变， 用 Jacobi 迭代法计算多次， 比较收敛速度， 分析计算结果给出结论 .2、 SOR 迭代法松弛因子的选取实验题目：用超松弛 (SOR)迭代法解方程组 Ax=b, 其中1221x1521221x 25121221x 35A.121221 x 198512122 x 19951212 x 2005(1) 给定迭代误差，选取不同的超松弛因子1进行计算，观测得到的近似解向量并分析计算结果，给出你的结论；(2) 给定迭代误差，选取不同的超松弛因子1进行计算，观测得到的近似解向量并分析计算结果，给出你的结论. 3、 实验原理 1、 算法原理：Jacobi迭代法： function x=majacobi(A,b,x0,ep,N) n=length(b); if nargin5,N=500; end if nargin4,ep=1e-6; end if nargin3,x0=zeros(n,1); %用途：用Jacobi迭代法解线性方程组Ax=b %格式：x=majacobi(A,b,x0,ep,N) A为系数矩阵，b为右端向量 % x0为初始向量（默认零向量）ep为精度（默认1e-6）N为 %（默认500次），x返回近似解向量 x=zeros(n,1); k=0; while kN for i=1:n x(i)=(b(i)-A(i,1:i-1,i+1:n)*x0(1:i-1,i+1:n)/A(i,i); end if norm(x-x0,inf)ep,break;end x0=x;k=k+1; end if k=N,Warning(已达到迭代次数上限); end disp(k= ,num2str(k) 2、 算法原理：Seidl迭代法 %maseidel.m function x=majacobi(A,b,x0,ep,N) n=length(b); if nargin5,N=500; end if nargin4,ep=1e-6; end if nargin3, X0=zeros(n,1);end %用途：用Jacobi迭代法解线性方程组Ax=b %格式：x=majacobi(A,b,x0,ep,N) A为系数矩阵，b为右端向量， % x0为初始向量（默认零向量），ep为精度（默认1e-6），N为 %（默认500次），x返回近似解向量 x=zeros(n,1); k=0; while kN for i=1:n x(i)=(b(i)-A(i,1:i-1,i+1:n)*x0(1:i-1,i+1:n)/A(i,i); end if norm(x-x0,inf)ep,break; end x0=x;k=k+1; end if k=N,Warning(已达到迭代次数上限); end disp(k= ,num2str(k) 3、 算法原理：SOR迭代法 %masor.m function x=masor(A,b,omega,x0,ep,N) %用途：用SOR法解线性方程组Ax=b %格式：x=masor(A,b,omega,x0,ep,N) A为系数矩阵，b为右端向量， % omega为松弛因子（默认1.5）， x0为初始向量（默认零向量）， % ep为精度（默认1e-6），N为（默认500次），x返回近似解向量 n=length(b); if nargin6,N=500; end if nargin5,ep=1e-6; end if nargin4,x0=zeros(n,1); end if nargin3,omega=1.5; end x=zeros(n,1); k=0; while kN for i=1:n If i=1 x1(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x0(2:n)/A(1,1); else if i=n X1(n)=(b(n)-A(n,1:n-1)*x(1:n-1)/A(n,n); else x1(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n)/A(i,i); end end x(i)=(1-omega)*x0(i)+omega*x1(i); end if norm(x0-x,inf)ep, break; end k=k+1;x0=x; end if k=N,Warning(已达到迭代次数上限); end disp(k= ,num2str(k) 4、 矩阵程序 第一题： function A,b=matrix(n) clc; A=zeros(n,n); b=zeros(n,1); for i=1:n A(i,i)=4; b(i)=2; end for i=1:n-1 A(i,i+1)=-1./3; A(i+1,i)=-1./3; end for i=1:n-2; A(i,i+2)=-1./5; A(i+2,i)=-1./5; end 第二题： function A,b=matrix1(n) %n=200; clc; %clear; A=zeros(n,n); for i=1:n A(i,i)=12; b(i)=5; end for i=1:n-1 A(i,i+1)=-2; A(i+1,i)=-2; end for i=1:n-2; A(i,i+2)=1; A(i+2,i)=1; end 5、 运行程序 第一题 n=20; A,b=matrix(n); x1=majacobi(A,b) x2=maseidel(A,b) %0.45*ones(n,1) 第二题： n=200; A,b=matrix1(n); omega=0.99; x=masor(A,b,omega)4、 实验内容 1、 迭代法的收敛速度 当n=20，右端向量b不变，初值x0改变时 输入运行程序： n=20; A,b=matrix(n); x1=majacobi(A,b,0.25*ones(n,1) x2=maseidel(A,b,0.25*ones(n,1) x3=majacobi(A,b,0.50*ones(n,1) x4=maseidel(A,b,0.50*ones(n,1) x5=majacobi(A,b,0.75*ones(n,1) x6=maseidel(A,b,0.75*ones(n,1) x7=majacobi(A,b,ones(n,1) x8=maseidel(A,b,ones(n,1) 输出结果中的k值：k1= 10 k2= 7 k3= 9 k4= 7 K5= 9 k6= 7 k7= 10 k8= 7 当n=200，右端向量b不变，初值x0改变时 输入运行程序： n=200; A,b=matrix(n); x1=majacobi(A,b,0.25*ones(n,1)x2=maseidel(A,b,0.25*ones(n,1) x3=majacobi(A,b,0.50*ones(n,1) x4=maseidel(A,b,0.50*ones(n,1) x5=majacobi(A,b,0.75*ones(n,1) x6=maseidel(A,b,0.75*ones(n,1) x7=majacobi(A,b,ones(n,1) x8=maseidel(A,b,ones(n,1) 输出结果中的k值：k1= 10 k2= 7 k3= 9 k4= 7 K5= 9 k6= 7 k7= 10 k8= 7 当n=20，初值x0不变为0向量，右端向量b改变时 b(i)=1; k1= 9 k2= 7 b(i)=2; k1= 10 k2= 7 b(i)=100; k1= 13 k2=10 b(i)=1000; k1= 15 k2= 11 b(i)=1000000 k1= 20 k2= 14 当n=200，初值x0不变为0向量，右端向量b改变时 b(i)=1; k1= 9 k2= 7 b(i)=2; k1= 10 k2= 7 b(i)=100; k1= 13 k2=10 b(i)=1000; k1= 15 k2= 11 b(i)=1000000 k1= 20 k2= 15 将A的主对角元成倍放大，其余元素不变，用Jacobi迭代法计算多次 当n=20,b(i)=1;x0=zeros(n,1) 取主对角元a=4 ，k= 10 取主对角元a=8，k= 7 取主对角元a=16，k=6 取主对角元a=32，k=5 取主对角元a=512，k=3 当n=200, b(i)=1;x0=zeros(n,1) 取主对角元a=4 ，k= 10 取主对角元a=8，k= 6 取主对角元a=16，k=5 取主对角元a=32，k=4 取主对角元a=512，k=2 2. SOR迭代法松弛因子的选取 当SOR迭代法松弛因子w1时 1、 w=1.5 K=26 2、2、 W=1.75 K=64 3、 W=1.25 K=14 4、 W=1.03 K=8 5、 W=1.01 K=8 当SOR迭代法松弛因子w1时，w越大时，迭代法的迭代次数越大，收敛速度越慢，w越趋近于1时，迭代法的迭代次数越小，收敛越快. 2、当SOR迭代法松弛因子w1时，w越小时，迭代法的迭代次数越大，收敛速度越慢，w越趋近于1时，迭代法的迭代次数越小，收敛越快. 六、实验结果分析 1、当右端向量b不变，初值x0改变时对Jacobi迭代法的迭代次数影响较大，对Seidel迭代法的迭代次数影响较小。当初值x0不变为0向量，右端向量b改变时对Jacobi和Seidel迭代法