高中数学-异面直线所成角PPT课件

异面直线所成的角 一 定义 直线a b是异面直线 经过空间任意一点O 分别引直线a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 说明 1 a和b所成的角的大小与空间点的选取无关 2 实质 把a和b平行移动使之相交 把抽象的空间位置用平面内具体的角来体现 3 范围 0 2 异面直线所成的角的求法 例1 如图正方体AC1 求异面直线AB1和CC1所成角的大小 求异面直线AB1和A1D所成角的大小 解 CC1 BB1 AB1和BB1所成的锐角是异面直线AB1和CC1所成的角 在 ABB1中 AB1和BB1所成的角是450 异面直线AB1和CC1所成的角是450 分析 1 做异面直线的平行线2 说明哪个角就是所求角3 把角放到平面图形中求解 在面A1B1CD中 A1B1CD A1D B1C AB1和B1C所成的锐角是异面直线AB1和A1D所成的角 在 AB1C中 AB1和CC1所成的角是600 异面直线AB1和A1D所成的角是600 求角的步骤 做 利用定义画平行线 移到同一平面 证 简单论证 3 求 解平面图形 通常将角置于一个三角形中 利用平面几何知识解决 求异面直线所成角的步骤有哪些 想一想 正方体ABCD A1B1C1D1中 P为BB1的中点 如图 画出下面各题中指定的异面直线所成的角 A B C D D1 B1 A B C D B1 A B D B1 P D1 D1 C 例2 长方体ABCD A1B1C1D1 AB AA1 2cm AD 1cm 求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值 解法二 方法归纳 补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 如正方体 长方体等 其目的在于易于发现两条异面直线的关系 在 A1C1E中 由余弦定理得 A1C1与BD1所成角的余弦值为 如图 补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面 连结A1E C1E 则 A1C1E为A1C1与BD1所成的角 或补角 BC1的方体B1F 在空间四边形S ABC中 SA BC且SA BC E F分别为SC AB的中点 那么异面直线EF与SA所成的角等于 C D A 300 B 450 C 600 D 900 练习1 B G G 定角一般方法有 1 平移法 常用方法 2 补形 小结 1 求异面直线所成的角要认识到 空间的角可以用平面的角来定义 体现了立体几何中的降维思想 2 求角的方法 解平面图形 一般为三角形 用余弦定理求异面直线所成角时 要注意角的范围 1 当cos 0时 所成角为 2 当cos 0时 所成角为 3 当cos 0时 所成角为 3 当异面直线垂直时 还可应用线面垂直的有关知识解决 90o 思考 已知正方体的棱长为a M为AB的中点 N为BB1的中点 求A1M与C1N所成角的余弦值 解 如图 取A1B1的中点E 连BE 有BE A1M 取CC1的中点G 连BG 有BG C1N 则 EBG即为所求角 BG BE a FC1 a 由余弦定理 cos EBG 2 5 取EB1的中点F 连NF 有BE NF 则 FNC为所求角