高中数学校本教材专题七——函数的性质(单调性、奇偶性、周期性).doc

专题七 函数的性质（一）函数的单调性一知识方法函数单调性的定义：如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；设函数在某区间内可导，若，则为的增函数；单调性的定义的等价形式：设，那么在增；在减。复合函数单调性的判断“同增异减”函数单调性的应用.（1）若在区间上递增且()；主要用于：比较函数值的大小可用来解不等式.求函数的值域或最值等。（2）若在区间上递增5讨论函数单调性必须在其定义域内进行，函数的单调区间是定义域的子集； 6判断函数的单调性的方法有：用定义；用已知函数的单调性；利用函数的导数；如果在区间上是增（减）函数，那么在的任一非空子区间上也是增（减）函数图象法；复合函数的单调性结论：“同增异减” 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.在公共定义域内，增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。函数在上单调递增；在上是单调递减。二题型演练：题型一：证明函数的单调性：证明函数单调性的步骤：第一步：设x、x给定区间，且xx； 第二步：计算f(x)f(x)至最简；第三步：判断差的符号；第四步：下结论.例1证明：函数在上是增函数证明：设即故函数在上是增函数例2判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论证明：函数是增函数证明如下： 设，则 ，即，函数是增函数说明：本题中的函数可视作函数和的和，这两个函数在内都是增函数，也是增函数由此可见：如果两个函数在同一区间上都是增（减）函数，那么它们的和也是增函数。题型二：求单调区间例31）求函数的单调区间；（2）已知若试确定的单调区间和单调性解：（1）单调增区间为：单调减区间为，（2）， 令 ，得或，令 ，或单调增区间为；单调减区间为题型三：已知函数单调性，求参数范围： 例4(1)若函数在上是增函数，在上是减函数，则实数的值为 ；（2）若函数在上是增函数，则实数的取值范围为 ；（3）若函数的单调递增区间为，则实数的值为 解：（）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是即即；（）由题意可以知道即；（）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是即即；例5 已知函数的定义域为，且对任意的正数，都有，求满足的的取值范围解: 时，函数是减函数， 由得：，解得， 的取值范围是评注: 注意函数的单调区间是定义域上的区间，也就是说函数的单调区间一定是函数定义域的子集。若本例题中的定义域改为的的范围又怎样了呢？题型四：单调性的应用例6. 设为奇函数，且在定义域上为减函数，求满足的实数a的取值范围。解：由为奇函数知： 由是减函数知： 解得例7. 设是定义在上的增函数，且，求满足不等式的的取值范围。解： 又 化为 解得例8已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，（1）求证：是偶函数；（2）在上是增函数；（3）解不等式解：（1）令，得，令，得，是偶函数（2）设，则，即，在上是增函数（3），是偶函数不等式可化为，又函数在上是增函数，解得：，即不等式的解集为（二）函数的奇偶性一知识方法1函数的奇偶性定义偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数2、函数奇偶性的几个性质：（1）奇偶函数的定义域关于原点对称；（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；（3）是偶函数是奇函数；（4）, ；（5）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；（6）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。3. 函数奇偶性的判定方法 (1)根据定义判定，首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再判定f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x). 有时判定f(-x)=f(x)比较困难，可考虑判定f(-x)f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=1 (2)利用定理，借助函数的图象判定 (3)性质法判定设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇二题型演练题型一、判断有解析式的函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）；（3）；（4）分析判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。解：（1）函数的定义域x（，+），对称于原点.f（x）=|x+1|x1|=|x1|x+1|=（|x+1|x1|）=f（x），f（x）=|x+1|x1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由0，得1x1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由得故f（x）的定义域为1，0）（0，1，关于原点对称，且有x+20.从而有f（x）= =，f（x）=f（x）故f（x）为奇函数.（4）函数f（x）的定义域是（，0）（0，+），并且当x0时，x0，f（x）=（x）1（x）=x（1+x）=f（x）（x0）.当x0时，x0，f（x）=x（1x）=f（x）（x0）.故函数f（x）为奇函数.【评注】函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为D, 则时) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件分段函数的奇偶性一般要分段证明.判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.题型二、证明抽象函数的奇偶性例2 定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的，都有. 求证f (x)为奇函数；分析欲证明为奇函数，就要证明，但这是抽象函数，应设法充分利用条件“对任意的，都有”中的进行合理“赋值”解：令x = y = 0，则f (0) + f (0) = f (0) = 0令x(1, 1) x(1, 1) f (x) + f (x) = f () = f (0) = 0 f (x) =f (x) f (x) 在(1，1)上为奇函数【评注】对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函数的不等式问题，要灵活利用已知条件，尤其是f (x1) f (x2) = f (x1) + f (x2)题型三、 函数奇偶性、单调性的综合应用例3 已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。分析 欲求的取值范围，就要建立关于的不等式，可见，只有从出发，所以应该利用的奇偶性和单调性将外衣“”脱去。解： 是定义在上奇函数对任意有由条件得=是定义在上减函数，解得实数的取值范围是【评注】利用函数的奇偶性可以求对称区间上的函数的表达式例4. 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(,0)内单调递增，f(2a2+a+1)f(3a22a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.分析 欲由f(2a2+a+1)f(3a22a+1)求a的取值范围，就要设法利用函数f(x)的单调性。而函数y=()是一个复合函数，应该利用复合函数单调性的判定方法解决解：设0x1x2,则x2x10，f(x)在区间(,0)内单调递增，f(x2)f(x1),f(x)为偶函数，f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2)f(x1).f(x)在(0，+)内单调递减.由f(2a2+a+1)3a22a+1.解之，得0a3.又a23a+1=(a)2.函数y=()的单调减区间是结合0a3,得函数y=()的单调递减区间为，3).【评注】偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，而奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同。 （三）函数的周期性一、知识方法周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）, ，则是以为周期的周期函数； ，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数； ，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数.，则是以为周期的周期函数.，则是以为周期的周期函数.函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数；函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；对于三角函数，其周期；对于，其周期3.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的恒有; 二是能找到适合这一等式的非零常数，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.4.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。二、题型演练题型一、求函数周期性例1若存在常数，使得函数满足，的一个正周期为 【分析】本题考查函数的周期性的定义。注意周期性是对x 而言的。解：由可得周期为。例2设是定义在上的正值函数,且满足.若是周期函数,则它的一个周期是（ ） .；.；.；.解：由是定义在上的正值函数及得，所以，即的一个周期是6题型二、函数周期性与奇偶性综合应用例3已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则f(6)的值为（ ）(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)2【分析】本题考查函数的周期性和奇偶性，基础题。解：由由是定义在R上的奇函数得，故选择B。【评注】本题用到两重要性质：的周期为；如是定义在R上的奇函数，则。例4设f(x)是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)= _.【分析】本题考查函数的周期性解：得，假设因为点（，0）和点（）关于对称，所以因此，对一切正整数都有：从而：。本题答案填写：0例5已知是周期为2的奇函数，当时，设则（A）（B）（C）（D）解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，0，选D.【评注】本题是对函数周期性、奇偶性和单调性的综合应用，注意数形结合。例6函数对于任意实数满足条件，若则_。【分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。解：由得，所以，则。【评注】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵活。本题应直观理解 “只要加2，则变倒数，加两次则回原位” 则一通尽通也。例7、是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ B ） A5B4C3D2解：由的周期性知，即至少有根1，2，4，5。故选择B例8、设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有（）试判断函数的奇偶性；（）试求方程=0在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(II) 又故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2005上有402个解,在-2005.0上有400个解,所以函数在-2005,2005上有802个解.习题七1 已知是定义在R上的函数，且满足，则“为偶函数”是 “2为函数的一个周期”的 ( )A充分不必要条件；B必要不充分条件；C充要条件；D既不充分也不必要条件2若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A；B； C；D3设函数 (xR)为奇函数，则（ ）A0；B1； C；D54函数在其定义域内是( ) A. 是增函数又是偶函数；B. 是增函数又是奇函数C. 是减函数又是偶函数；D. 是减函数又是奇函数5偶函数满足：，且在区间与上分别递减和递增，则不等式的解集为（ ）A；BC；D6设函数为奇函数，则_。7已知是定义域为R的奇函数，若当时，则满足的的取值范围是 8. 设是上的奇函数，当时，则为 9. 已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则 _ 。10. 设是连续的偶函数,且当时是单调函数,求满足的所有之和。11. 定义在上的偶函数，当时，单调递减，若，求的取值范围。12.若为奇函数，且在上是减函数，又，求 的解集。答案：1、解析C；由得若为偶函数，则，即2为函数的一个周期；若2为函数的一个周期，则，又由得，所以，即为偶函数2、解析D；因为为偶函数，故，又，在上是增函数，所以3、解析C；特取，则4、解析B；因为，故是奇函数；又，可见是增函数，所以应选B5、解析D；由已知条件通过的草图得知函数的值在、上都为正，在、上为负，故不等式的解集